高等数学（经济类-上册第2版）课件：换元积分法

不定积分换元积分法一、第一换元积分法（凑微分）二、第二换元法三、小结

尽管通过不定积分的定义、性质得到了基本积分表，但利用基本积分表计算的不定积分非常有限，因此本节主要研究一种不定积分的计算方法—换元积分法.一、第一换元法问题：如何计算可以用基本公式吗？显然，用基本公式无法求出这个不定积分.我们可以利用导数运算猜出由于故由不定积分的定义可知，不是所有函数的原函数都能被猜到哦！答：一、第一换元法问题：如何计算可以用基本公式吗？利用复合函数，设置中间变量.不妨令原式为答：则通过换元，引入一个中间变量，把原不定积分化为基本不定积分公式！别忘了，最后还要把t换回x的形式哦！设f(u)具有原函数F(x),定理1可导，则有由复合函数微分法，有即是的一个原函数.说明：简单！不容易求原函数！注意：要利用上式求不定积分需考虑(1)将被积函数g(x)写为的形式；(2)

f(u)具有原函数F(u);第一类换元公式

(凑微分法)(3)

可导，求出原函数F(u)后，要把u换为例1求解：令u=ax+b，则例2求解：总结：凑微分则分析：如果把不定积分化为则直接利用基本公式求不定积分即可.例3求解：例4求分析：被积函数是由复合而成，而被积函数符合的形式.解：分析：被积函数是由复合而成，而被积函数符合的形式.例5求解：显然x>0，例6求解：对凑微分法熟悉后，可直接凑，不用写出中间变量u！例7求解：例8求解：在计算中，要理解、掌握“凑”的规律和技巧！导数要熟练！！例9求解：例10求解：要掌握裂项法例11求解：例12求解法1：试用类似的方法计算例12求解法2：利用例12，还可求得例13求解：例14求解：被积函数出现sin或cos的奇数次或奇偶次乘积时，一般是对奇数次拆项！例15求解：例16求解：被积函数出现sin或cos的偶数次时，利用二倍角公式！例17求解：例18求解：熟记公式：例19求解：例20求解：积化和差公式凑微分法常用形式：二、第二换元法问题：如何计算可以用凑微分吗？答：的形式，无法显然，这个不定积分不是用凑微分法求原函数.能否用换元的方法，去掉根式，化为的形式？可以令则不定积分可以化为（继续应用“凑微分”即可求出结果）又设定理2是单调的可导函数，并且具有原函数，则有上式右端对t求导，t是关于x的复合函数，有

说明：这说明右端是f(x)的不定积分.注意：用第二换元法时，结果要利用换回原来的积分变量x.第二类换元公式1、三角函数代换法当被积函数中出现以下二次根式时，可以利用三角函数代换法，化去被积函数中的根式.一般地，当被积函数中含有可令可令可令应用公式去根号例21求解：令则于是由于因此故有例22求解：令则于是由于故有因此例23求解：显然x的取值应分为两种情况:由于当时，令则因此故例23求解：当时，当时，可令则于是有总之有例24求解：令则利用例22的结论.2、无理函数代换当被积函数中出现形如的二次根式时，分别利用可以化去被积函数中的根式.例25求解：令则于是有根式换元法例26求解：令则于是有例27求解：令则于是有被积函数中有4次根式和2次根式，取4和2的最小公倍数4，作换元！3、倒代换倒代换是指引入变量与原变量为倒数关系，即法适用于被积函数的分母阶次较高时.倒代换例28求解：令则于是有你还能想到其他的方法吗？凑微分？例29求解：令则于是有当时，有当