自动控制原理第二章

第二章自动控制系统的数学模型2.1微分方程式的编写2.2非线性数学模型的线性化2.3传递函数2.4系统动态结构图2.5系统传递函数和结构图的等效变换2.6信号流图重点掌握：微分方程传递函数系统结构图及信号流图梅逊公式DifferentialEquationsofPhysicalSystems.TheTransferfunctionofLinearSystems.BlockDiagramandSignal-flowGraph.Mason’sgainformulaMathematicalmodel:Descriptionsofthebehaviorofasystemusingmathematics.数学模型：描述系统的输入、输出变量以及系统内部各个变量之间的数学表达式。常用数学模型：微分方程（或差分方程）

传递函数（或结构图）

频率特性

状态空间表达式（或状态模型）由数学模型求取系统性能指标的主要途径1、解析法（机理分析法）根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程2、实验法（系统辨识法）给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性建模方法2.1微分方程式的编写Thedifferentialequationsdescribingthedynamicperformanceofaphysicalsystemareobtainedbyutilizingthephysicallawsoftheprocess.Step1:确定系统中各元件的输入、输出变量。Step2:按信号传递顺序列写微分方程。Step3:化简（线性化、消去中间变量），写出输入、输出变量间的数学表达式。Step4:变换成标准形式。即与输出量有关的项写在方程左边，与输入量有关的项写在方程右边，方程两边变量的导数项均按降幂排列。理想元件的微分方程(1)电阻（ElectricalResistance）UiRDifferentialEquationsforIdealElements(2)电容（ElectricalCapacitance）CUi(3)电感（ElectricalInductance）Li(4)质量块（Massblock）FvMU(5)弹簧（Spring）kx1x2F(6)阻尼器（Damper）bv1v2F(7)运算放大器（Operationalamplifier）R1R2UrUc例题讲解2.2非线性数学模型的线性化系统的微分方程描述

系统名称微分方程微分方程备注非线性系统非线性微分方程线性系统线性微分方程线性定常系统系数是常数线性时变系统系数是随着时间变化线性系统的重要性质：满足叠加性和均匀性（齐次性）即：如果输入r1(t)—>输出y1(t)，输入r2(t)—>输出y2(t)

则输入ar1(t)+br2(t)—>输出ay1(t)+by2(t)如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。1假设：x,y在平衡点（x0,y0)附近变化，即

x=x0+△x,y=y0+△y2近似处理3数学方法

4略去高阶无穷小项例题讲解****拉氏变换法求解步骤****1、考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；2、求出输出量拉氏变换函数的表达式；3、对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。线性定常微分方程的求解求解方法：经典法、拉氏变换法附：拉氏变换常用公式已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v,ur(t)=1(t)，求uc(t)例：R1C1i1(t)ur(t)uc(t)答案：拉氏变换性质Transferfunction:TheratiooftheLaplacetransformoftheoutputvariabletotheLaplacetransformoftheinputvariable,withallinitialconditionsassumedtobezero.零初始条件下，输出变量的拉氏变换与输入变量的拉氏变换之比。2.3传递函数线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数。传递函数的性质

传递函数是复变量S的有理真分式函数，分子多项式的次数m

低于或等于分母多项的次数n，所有系数均为实数；2)传递函数只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关；3)传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换；4)传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零状态特性；零初始条件含义要明确。传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式：传递函数分子多项式的根zi称为传递函数的零点；分母多项式的根pj称为传递函数的极点。K*称为传递系数或根轨迹增益。传递函数的零点和极点

0

j

S平面传递函数分子多项式与分母多项式也可分解为如下形式：K称为传递系数或增益，在频率法中使用较多典型环节传递函数

一般可将自动控制系统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解。c(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)—比例环节系数拉氏变换:比例环节的传递函数:1．比例环节微分方程:K

比例环节方框图KR(S)C(S)特点:输出不失真,不延迟,成比例地R(s)C(s)G(s)==K复现输入信号的变化.K=-R1R2

比例环节实例(a)-∞++urR1ucR2由运算放大器构成的比例环节(b)线性电位器构成的比例环节K=R2+R1R2uc(t)+-R1R2+-ur(t)r(t)c(t)iK=i(c)传动齿轮构成的比例环节2．惯性环节惯性环节的微分方程:+c

(t)=Kr(t)dc(t)dtT—时间常数—比例系数式中KT拉氏变换：TsC

(s)+C

(s)=KR(s)惯性环节的传递函数:R(s)C(s)G(s)=KTs

+

1=

惯性环节方框图R(S)C(S)1+Ts1单位阶跃信号作用下的响应:R(s)=1sKTs

+

11s·C(s)=拉氏反变换得:c(t)=K(1–e)tT-

单位阶跃响应曲线特点:

输出量不能瞬时完成与输入量完全一致的变化.r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.632-∞++R1R0urucC

惯性环节实例(a)运算放大器构成的惯性环节R1CS+1R1/R0G(s)=–R(s)C(s)G(s)==1TsTTsC(s)=R(s)=r(t)dc(t)dtT微分方程：—积分时间常数3．积分环节传递函数：拉氏变换：

积分环节方框图R(S)C(S)Ts11TC(t)=t1TS1S·C(s)=1TS2=R(s)=1S积分环节的单位阶跃响应：

单位阶跃响应曲线

输出量与输入量对时间的积分成正比，具有滞后作用和记忆功能.特点:r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T

积分环节实例(a)由运算放大器构成的积分环节-∞++RucCur1RCSG(s)=–4．微分环节R(S)C(S)Ts理想微分环节数学模型：—微分时间常数

微分环节方框图单位阶跃响应函数：c(t)=dr(t)dtTTR(s)C(s)G(s)==TsC(t)=Tδ(t)

单位阶跃响应曲线

理想脉冲实际中是不可能实现的，实际的物理装置中常用近似理想微分环节。r(t)t0c(t)c(t)r(t)G(s)=RCs(a)

近似理想微分环节实例-Δ∞++RucCur运算放大器构成的微分环节+-uc+-CRur(b)RC电路构成的微分环节RCsRCS+1G(s)=TsTs+1=T=RC<<1G(s)Ts实用微分环节的单位阶跃响应:单位阶跃响应曲线C(s)TsTs+1=1s=1s+1/T

c(t)=etT-特点:

输出量反映了输入量的变化率，而不反映输入量本身的大小.r(t)r(t)t0c(t)c(t)1采用运算放大器构成的比例微分环节：R1ucC1R2ur-Δ∞++

由于微分环节的输出只能反映输入信号的变化率，不能反映输入量本身的大小，故常采用比例微分环节。

传递函数：单位阶跃响应：c(t)=KTδ(t)+K=K[Tδ(t)+1]R(s)C(s)G(s)==K(Ts+1)

单位阶跃响应曲线1c(t)r(t)r(t)t0c(t)5.振荡环节微分方程：+c

(t)=r(t)+2Td2c(t)dt2dc(t)dtT2ζ—时间常数—阻尼比ζT传递函数：1T2S2+2TS+1=R(s)C(s)G(s)=ζG(s)=T21T21T2S2+S+ζn2ωn2ωnζS2+2S+ω=T1ωn=—自然振荡频率

振荡环节方框图S2+2ξωnS+ωn2ωn2R(S)C(S)单位阶跃响应：c(t)=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e

单位阶跃响应曲线1c(t)r(t)r(t)t0c(t)1ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常见振荡环节的实例：（1）弹簧-质量-阻尼器组成的机械位移系统

（2）他激直流电动机

（3）RLC电路1LCs2+RCs+1=Ur(s)Uc(s)G(s)=1/CeTdTms2+Tms+1=Ud(s)N(s)G(s)=R(s)C(s)G(s)==e

-τs=eτs1c(t)=r(t–τ)·

1(t–τ)R(S)C(S)e-τs6．时滞环节—延时时间数学模型：

时滞环节方框图传递函数：时滞环节作近似处理得1+τs1G(s)=eτs1=1+τS+2!2S2+···

1τ

阶跃响应曲线1c(t)r(t)r(t)t0c(t)τ比例环节:G(s)=K积分环节:G(s)=1/s微分环节：G(s)=s时滞环节：惯性环节：振荡环节：典型环节的传递函数

说明：1、环节是具有相同形式传递函数的元部件的分类。2、不同的元部件可以有 相同的传递函数；3、若输入输出变量选择不同，同一部件可以有不同的传递函数；4、任一传递函数都可看作典型环节的组合。2.4系统动态结构图结构图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包括：信号线：表示信号传递通路与方向。方框：表示对信号进行的数学变换。方框中写入元件或系统的传递函数。比较点：对两个以上的信号进行加减运算。“+”表示相加，“-”表示相减。引出点：表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)(-)（1）、首先按照系统的结构和工作原理， 分解出各环节并写出它的传递函数；（2）、绘出各环节的动态结构图， 方框图中标明它的传递函数，并以箭头 和字母符号表明其输入量与输出量， 按照信号的传递方向把各方框图依次连接起来， 就构成了系统结构图。绘制动态结构图的步骤

例题讲解2.5系统传递函数和结构图的等效变换

系统的动态结构图直观地反映了系统内部各变量之间的动态关系。将复杂的动态结构图进行化简可求出传递函数。等效变换：被变换部分的输入量和输出量之间的数学关系，在变换前后保持不变。（1）串联两个环节串联的变换如图：R(s)C(s)G2(s)G1(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)=G1(s)G2(s)G(s)=等效可得n个环节的串联G

(s)=Σ

Gi(s)ni=1R(s)C(s)=G1(s)+G2(s)G(s)=(2)并联两个环节的并联等效变换如图：G1(s)+G2(s)R(s)C(s)++G2(s)R(s)C(s)G1(s)等效n个环节的并联G

(s)=Σ

Gi(s)ni=1E(s)=R(s)B(s)+–=R(s)E(s)C(s)H(s)+–1±

G(s)H(s)R(s)E(s)=（3）反馈连接G(s)1±G(s)H(s)C(s)R(s)G(s)C(s)H(s)R(s)E(s)B(s)±环节的反馈连接等效变换：根据框图得：则另：得：等效R(s)C(s)1±

G(s)H(s)G(s)=C

(s)=E(s)G(s)（4）综合点和引出点的移动1)

综合点之间或引出点之间的位置交换引出点之间的交换：b综合点之间交换：bc±aa±b±c±cba±c±baaaaaa2）综合点相对方框的移动F(s)R(s)G(s)C(s)±R(s)前移：R(s)C(s)G(s)±F(s)R(s)±C(s)1G(s)F(s)后移：±C(s)G(s)F(s)R(s)C(s)G(s)±F(s)F(s)R(s)G(s)C(s)±3)引出点相对方框的移动C(s)R(s)C(s)G(s)R(s)R(s)C(s)G(s)R(s)G(s)1C(s)R(s)C(s)G(s)前移：G(s)C(s)后移：R(s)R(s)C(s)G(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)系统的开环传递函数

闭环控制系统的典型结构：开环传递函数：系统反馈量与误差信号的比值E(s)B(s)Gk(s)=E(s)B(s)=G1(s)G2(s)H

(s)=G

(s)H

(s)

系统的闭环传递函数1．给定信号R(s)作用_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)

系统的典型结构：D

(s)=0典型结构图可变换为：_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)系统的闭环传递函数:R(s)C(s)Ф

(s)==1+G(s)H(s)G(s)2．扰动信号D(s)作用R

(s)=0D(s)

动态结构图转换成:前向通道:G1(s)H(s)G2(s)D(s)C(s)反馈通道:闭环传递函数为：D(s)C(s)Фd(s)==1+G1(s)G2(s)H(s)G2(s)_R(s)E(s)H(s)G2(s)G1(s)系统的误差传递函数1．给定信号R(s)作用R(s)作用下误差输出的动态结构图:_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)

前向通道:

反馈通道:R(s)E(s)D

(s)=0R(s)E(s)Фer(s)==1+G1(s)G2(s)H(s)1+D(s)G1(s)G2(s)-H(s)E(s)2．扰动信号D(s)作用_B(s)H(s)G1(s)G2(s)