数学课堂导学案：函数y=Asin（ωx+φ）的图象

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析1.求y=Asin(ωx+φ）的振幅、周期、频率、相位及初相【例1】用五点法作出函数y=2sin(x—)+3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间.思路分析：用“五点法”作函数图象，关键是作出决定图象形状的五个点：三个平衡点,一个最高点和一个最低点.解:（1)列表。xx-0π2πy35313(2）描点.(3)作图,如下图所示.周期T=2π,频率f=，相位x—,初相-,最大值5，最小值1，函数的单调递减区间为［2kπ+，2kπ+],单调递增区间为[2kπ-,2kπ+］，k∈Z.将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展即得y=2sin（x—）+3的图象。（图略）温馨提示用“五点法”作y=Asin(ωx+φ）的图象用的是整体换元的思想，即令z=ωx+φ，z取五个关键值0、、π、、2π,相应地解得x的五个值，作为点的横坐标，求得对应的纵坐标,然后描出五个点,即决定形状的五个关键点——三个平衡点，一个最高点，一个最低点。2.由y=sinx到y=Asin(ωx+φ）的变化过程【例2】由y=sinx的图象经怎样变换得到y=sin（2x+）的图象.解法1:(1）将y=sinx的图象向左平移得y=sin(x+)的图象。(2)将y=sin(x+)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短为原来的得y=sin（2x+)的图象.（3）将y=sin(2x+)的图象上各点的横坐标不变,纵坐标缩短为原来的，得到y=sin（2x+）的图象如下图所示.解法2：（1）将y=sinx的图象上各点纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得y=sin2x的图象。（2)将y=sin2x的图象上各点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得y=sin2x的图象.（3）将y=sin2x的图象向左平移个单位，得y=sin[2（x+）］=sin（2x+）的图象。温馨提示（1)由y=sinx的图象可以通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象。其中A只影响纵坐标的伸缩变换,ω只影响横坐标的伸缩变换,φ只影响图象的左右平移变换。（2）本题可以有很多种变换方式,不同的变换次序，直接影响变换的具体过程，特别是周期变换和相位变换的次序改变，直接影响到平行移动的单位.如由y=sin2x得到y=sin（2x+)，是向左平移了个单位，而不是个单位。(3）平行移动的单位是相对于一个x而言的，由y=Asinωx得到y=Asin(ωx+φ）需向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平行移动｜｜个单位.3。先周期变换，后相位变换时，平移量为｜φω｜个单位.【例3】要得到函数y=3cos（2x-)的图象c,需要将函数y=3cos2x的图象c0。经过怎样的路程最小的平移而得到？思路分析：y=3cos(2x—）=3cos（2x+)，要将c0变为y=3cos(2x+）的图象，只需看x变化了多少.解：因为y=3cos(2x—)=3cos(2x+）=3cos［2（x+）］，所以将c0向左平移得c，路程最小。温馨提示图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。由y=sinωx的图象得y=sin（ωx+φ）的图象需向左（φ＞0)或向右（φ＜0）平移|｜个单位。各个击破类题演练1指出下列函数的振幅、周期、初相。（1）y=2sin（+）,x∈R;(2)y=—6sin（2x—),x∈R.解：(1）A=2，T==4π；φ=.(2)将原解析式变形,y=—6sin(2x-)=6sin(2x+）则有A=6，T=2=π；φ=.变式提升1下图表示电流I与时间t的函数关系式I=Asin(ωx+φ）在一个周期内的图象.(1)根据图象写出I=Asin(ωx+φ）的解析式.（2）为了使I=Asin(ωx+φ）中t在任意一段的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？解：(1）由图可知A=300,设t1=，t3=.∵T=2（t3—t1）=2（+）=，∴ω==100π.由ωt1+φ=0知φ=-ωt1=.∴I=300sin（100πt+)。(2）问题等价于，即,也即ω≥100π,故最小正整数为ω=315。类题演练2由y=sinx的图象怎样变换得到y=sinx（—）的图象？解：y=sinx的图象向右平移个单位长度，得到y=sin（x—）的图象；然后使所得曲线各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sin（-）的图象；最后把所得图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍，得到y=sin（-）的图象。另解:先将y=sinx图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍,得y=sinx的图象。再将y=sin图象上各点的横坐标不变,纵坐标缩短为原来的，得y=sin的图象.最后将y=23sin的图象向右平移个单位，得y=23sin［（x-）]=23sin（—)的图象.变式提升2已知函数y=f(x)，f(x）图象上每个点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位,得到的曲线与y=sinx图象相同，则y=f（x）的函数表达式为（）A。y=sin（-）B。y=sin2（x+）C。y=sin（+）D。y=sin（2x-）思路分析：这是一个由复杂函数y=sin（ωx+φ）的图象经过变换得出较简单函数y=sinx图象的问题,可逆过来从简单函数图象出发实施逆变换即可得到复杂函数的解析式。解：根据题意，y=sinx的图象沿x轴向右平移个单位后得到y=sin(x-)，再将此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短原来的倍，得到y=sin(2x—)，此即y=f（x)的解析式.答案：D类题演练3要得到y=sin(2x-)的图象，只要将y=sin2x的图象()A。向右平移个单位B。向左平移个单位C。向右平移个单位D.向左平移个单位解析：y=sin(2x—）=sin2［（x-