数学课堂导学：组合（二）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、求解组合问题的等价转化方法【例1】有10级台阶,一个人每步上一级、两级或三级，共7步上完，则不同的走法共有多少种？解析:要首先确定每步一上级、两级或三级的步数,这可将问题等价转化为方程的解的问题。设每步上一级的步数为x，每步上两级的步数为y，每步上三级的步数为z，则(x、y、z∈N）。易知0≤z≤1，可解得或当x=4，y=3,z=0时,它等价于将4个相同的黑球、3个相同的白球排成一列，共有=35种排法，则有35种走法.当x=5,y=1，z=1时,同理可知有=42种走法.由分类计数原理，共有35+42=77种走法.二、注意排列组合应用题中的形同实异问题【例2】（1）把6本不同的书平均分放在三只抽屉里,有多少种不同的放法？(2）把6本不同的书平均分放在甲、乙、丙三只抽屉里，有多少种不同的放法？解析：（1）和（2）的主要区别在于对三只抽屉有没有编号,（1）中对三只抽屉没有编号，所以说哪一只抽屉是第一只、第二只或第三只都是可以的.而(2)中对三只抽屉已经编了号.问题1有··/=15种放法；问题2有··=90种放法.温馨提示在排列组合应用题中,有不少问题形同实异，在学习中容易发生混淆。对这样的题目，如果能经常注意对照、类比、辨析,对提高分析问题和解决问题的能力无疑是很有好处的。三、立体几何中的组合问题的解法【例3】（2005全国高考卷Ⅲ，11)不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共面()A。3个B.4个C。6个D。7个解析：事实上,平面α可以分为两类：一类是在平面α的两侧各有两个点；另一类是在平面α的两侧分别有一个点和三个点.不共面的四个定点可以构成三棱锥（如图），设E、F、G、H、M分别是AB、AC、AD、CD、BD的中点，过E、F、G三点的平面α满足题意，这样的平面有四个;又过E、F、H、M的平面α也满足题意，这样的平面有三个。故适合题设的平面α共有七个，应选D。温馨提示在近几年的高考试题中出现了以立体几何的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合、概率问题,这类问题情景新颖,多个知识点交汇在一起,综合性强，能力要求高，解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素,并与排列组合形成对应关系,转化为排列组合问题，同时要注意避免重复和遗漏。本例中,根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准,从而使问题得以解决.各个击破【类题演练1】8个不加区别的小球放入四个不同的盒子中,每个盒子至少放一个,共有多少种放法?解析：将8个球摆成一列，设法分成四部分,则每种分法对应一种放法.要想分成四部分,只需用3个隔板将它们隔开。8个球共有7个空隙，选其中3个空隙插隔板，共有=35种分法，故共有35种放法。【变式提升1】圆周上有n(n≥4)个点，每两个点连一条弦，这些弦在圆内最多有多少个交点？解析：如图所示，P是圆上四点A、B、C、D所引的弦在圆内的惟一交点，即圆内接四边形ABCD对角线的交点，易知,当没有三弦交于圆内一点（端点除外）时,弦在圆内的交点个数最多，且这时弦在圆内的交点与相应的圆内接四边形可以建立一一映射，所以这些弦在圆内最多有个交点。【类题演练2】（1）把7个不同的玻璃球放在两个布袋中，有多少种不同的放法？(2）把7个玻璃球放在甲、乙两个布袋中,有多少种不同的放法？（必须两个布袋里都有玻璃球）解析：（1）共有++=63(种）；（2）共有2（++）=126（种)。【变式提升2】十件奖品全部赠给九位先进工作者，每人至少得一件。如果十件奖品都相同，有多少种不同的赠送方法？解析：如果10件奖品都相同，那么得奖方法只有得2件与1件的区别,赠2件的方法有9种，也就是赠送的方法一共有种，即9种.【类题演练3】（2005江苏高考，12）四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品在同一仓库存放是危险的，没有公共点的棱所代表的化工产品在同一仓库存放是安全的,现在编号①②③④的四个仓库存放这8种化工产品，则安全存放的不同方法总数为()A。96B。48C。24解析:如图分别用1—8标号的棱表示8种不同的化工产品，易知可以两两放入同一仓库的情况如下：(实质就是异面直线配对）故8种产品安全存放有“（1，5)、（2，6)、（3，7）、（4,8）”和“(1，8）、（2，5)、（3，6)、(4，7）”两种可能，故所求的方法种数为=48(种），故选B.【变式提升3】在四棱锥P—ABCD中，顶点为P,从其他的顶点和各棱的中点中任取3个，使它们和点P在同一平面上,不同的取法有_______________种。()A.40B。48C。56解析：如图满足题设的取法可分为三类：①在四棱锥的每个侧面上除P点