数学课堂导学：余弦函数正切函数的图象与性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、图象问题余弦函数的图象可以由正弦函数的图象平移得到,也可以仿照正弦函数图象的作法,使用“五点法";正切函数的图象是由单位圆中的正切线作出的，即几何法.正切函数的图象不连续，只在区间(kπ—，kπ+)上有图象,正切函数图象关于中心对称,对称中心是（，0）,k∈Z。【例1】用“五点法”画下列函数的简图.y=—cosx，x∈［0，2π］。画法一:按五个关键点列表：x02πCosx10-101-cosx—1010—1描点画图(如图所示）:画法二：先用五点法画y=cosx的图象，再作它关于x轴的对称图形。图象如上图。温馨提示类似于正弦函数，也可以由y=cosx变换为y=Acos(ωx+φ），x∈R,并讨论其周期性，单调性,奇偶性等.各个击破类题演练1作出函数y=tan（）在一个周期内的图象是(）解析：首先函数的周期为2π，可排除B，D，其次当x=时，函数无意义,又可排除C。答案:A变式提升1在区间（,）范围内,函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为（)A。1B。2C解法一：在同一坐标系中,首先作出y=sinx与y=tanx在(-,）内的图象,需明确x∈(0，)时,有sinx〈x〈tanx(利用单位圆中的正弦线,正切线就可证明），然后利用对称性作出x∈(-，）的两函数的图象如图,由图象可知它们有三个交点.所以应选C。解法二:x∈(—，），即sinx=tanx=,sinx(1—)=0，sinx=0或cosx=1。在x∈(—,)内x=—π,0，π满足sinx=0,x=0满足cosx=1,所以交点个数为3.所以应选C.答案:C二、定义域与值域余弦函数y=cosx与y=sinx的定义域,值域一样,从图象上看是夹在两直线y=±1之间，故是有界的,利用有界性可以解决与余弦函数有关的问题；正切函数的定义域是{x｜x≠kπ+,k∈Z｝，值域是R，图象只有增区间,无减区间，整个定义域不具备单调性。【例2】求下列函数的定义域：（1)y=;(2）y=解：（1）将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内,如图所示。由图显然可得函数定义域集合为{x|2kπ≤x<2kπ+，k∈Z}∪｛x|x=2kπ+π,k∈Z｝.(2)由可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集，如图所示，即∴定义域为{x|2kπ+＜x＜2kπ+,k∈Z}。类题演练2求函数y=tan（2x+）的定义域.思路分析:把2x+作为一个整体，转化为求y=tanx的定义域的问题.解：令z=2x+，根据y=tanz的定义域为｛z｜z≠kπ+,k∈Z｝,得2x+≠kπ+,于是x≠+。所以y=tan（2x+）的定义域为｛x｜x≠+,k∈Z｝。变式提升2解答下列各题:（1）求函数f（x）=tanx·cosx的定义域与值域；（2）求函数f（x)=tan｜x|的定义域与值域,并作其图象．思路分析:先化简函数,然后确定.解:（1）其定义域是{x｜x∈R且x≠kπ+，k∈Z｝．由f（x)=·cosx=sinx∈（—1，1），∴f(x）的值域是（—1,1)．（2）f（x)=k∈Z．可知，函数的定义域为｛x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}，值域为(-∞,+∞），其图象如图所示。温馨提示（1)为了画出函数图象，有时需对给出的函数式进行变形,化简，在变形，化简过程中一定要注意等价变形，否则作出的图象不是给出函数的图象。(2）由图象可以看到f（x）=tan｜x|不是周期函数。三、周期，单调性问题根据诱导公式知y=cosx的周期T=2π,y=tanx的周期为π。求函数的单调区间和判断函数的单调性常用的方法是：定义法和图象法。利用单调性可以比较三角函数值的大小，也可以求函数的值域等.【例3】已知函数f（x)=asin(kx+)，g（x）=btan（kx—),k>0。若它们的周期之和为，且f()=g(），f（）=g()+1,求这两个函数.思路分析:先求出f（x)、g（x）的周期，再用待定系数法求a，b.解:由f（x）、g(x）的周期之和为，得+=,∴k=2.∵f()=asin(2×+)=-asin=a，g（）=btan（2×-)=-btan=b，由f（)=g(),得a=b，即a=2b。①又f()=asin（2×+)=acos=a，g(）=btan(2×-)=bcot=b.由f(）=g()+1,得a=×b+1,即a=-2b+2.②由①②联立方程组,解得a=1，b=.∴f（x)=sin(2x+),g(x）=tan(2x-).温馨提示求三角函数的周期,通常把它转化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式.周期的大小仅与x的系数ω有关,用公式T=就可求出周期。类题演练3试把tan1、tan2、tan3、tan4按照从小到大的顺序排列,并说明理由.解法一:∵函数y=tanx在区间[，]内是增函数且tan1=tan（π+1），又〈2<3〈4<π+1<，∴tan2<tan3<tan4<tan1.解法二：如图所示，1,2,3，4的正切函数线分别是AT1，AT2,AT3，AT4.所以tan2<tan3〈tan4<tan1。温馨提示（1）将自变量化到同一单调区间，再利用单调性比较大小是比较三角函数值大小的重要方法。（2)本题易产生以下两种误解:误解一：∵函数y=tanx是增函数，又1<2〈3〈4，∴tan1〈tan2〈tan3〈tan4.误解二：∵2和3终边在第二象限，∴tan2,tan3都是负数.又∵1和4的终边分别在第一和第三象限，∴tan1,tan4都是正数.根据y=tanx是增函数且2<3，1<4，∴tan2〈tan3<tan1〈tan4.上述两个误解的根源在于混淆了函数单调性的概念.两个误解都把y=tanx视作定义域上的单调增函数，从而导致了错误的结果.变式提升3给出下列命题:①函数y=sin|x|不是周期函数;②函数y=tanx在定义域内是增函数；③函数y=|cos2x+|的周期是;④y=sin（+x）是偶函数。其中正确命题的序号是_________.解析:对于②,∵0<π，而tan0=tanπ,∴y=