数学课堂导学：向量数量积的物理背景与定义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、平面向量的数量积关于向量的数量积，注意：(1)我们不说两个向量的积,而说是它们的数量积或者内积;(2）规定：零向量与任一向量的数量积为0；(3)两个向量的数量积是一个数量，向量a、b的数量积的大小与两个向量的长度及其夹角有关；(4）向量的数量积的结果是一个数量,可以等于正数、负数、零，而向量的加法和减法的结果还是一个向量；(5)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,当中的“·”不能省略;(6)当〈a,b〉为锐角时，a·b〉0;当〈a，b〉为直角时,a·b=0；当〈a,b〉为钝角时,a·b<0；（7）有些向量的数量积有一定的含义,如向量F、s的数量积,就是力F移动位移s所做的功。【例1】已知|a｜=4，｜b|=5,且a与b的夹角为60°.求：（1）a·b；（2）（a+b）2；（3）(a—b）2；(4)a2-b2。思路分析：利用两向量数量积公式a·b=｜a｜|b|cosθ、|a|2=a2及运算律计算.解析：（1）a·b=｜a｜|b｜cosθ=4×5×cos60°=10。（2）(a+b）2=a2+2a·b+b2=42+2×10+52(3）(a—b）2=a2-2a·b+b2=|a|2-2｜a｜｜b｜cosθ+｜b|2=42—20+52(4）a2-b2=|a｜2—｜b|2=42—52=—9.类题演练1已知｜a｜=4,|b｜=5。当（1）a∥b；（2)a⊥b;（3）a与b的夹角为30°时,分别求a与b的数量积.思路分析：确定夹角θ运用数量积的公式列式求解。解：（1）a∥b.若a与b同向，则θ=0，a·b=|a｜|b|cos0°=4×5=20。若a与b反向，则θ=180°，a·b=|a｜｜b|cos180°=4×5×(—1)=-20.(2)当a⊥b时,θ=90°,a·b=|a||b｜cos90°=0。（3)当a与b的夹角为30°时,a·b=｜a｜|b|cos30°=。变式提升1在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=,求·。思路分析:要求、，关键是确定与的夹角。解：如图（1），在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=，所以直角边AB==2.∴||=2,｜|=。如图(2)，与的夹角∠BAC=45°,∴·=·（—)=-(·)=—|｜||cos∠BAC=—2×cos45°=-2××=—4。二、两向量的夹角关于两向量的夹角，注意：（1)已知两个非零向量a、b（如图所示）,作=a,=b，则∠AOB称为向量a与向量b的夹角，记作〈a,b〉。(2)两向量夹角的范围是［0,π],且<a，b〉=〈b，a〉。(3)当〈a，b〉=时,称向量a与向量b互相垂直,记作a⊥b。规定零向量与任一向量垂直。(4）当〈a，b>=0时,a与b同向；当〈a，b〉=π时，a与b反向。【例2】已知单位向量e1、e2的夹角为60°，求向量a=2e1+e2与b=2e2—3e1的夹角θ。思路分析:注意单位向量的模是1这个隐含条件.解：∵e1·e2=|e1|｜e2｜cos60°=cos60°=,∴a·b=(2e1+e2）·（2e2-3e1)=—6e12+e1·e2+2e22=.又a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7,b2=（2e2-3e1）2=4e22-12e1·e2+9e12=7.∴｜a｜=|b｜=,则cosθ==-,又∵0≤θ≤π，∴θ=π。类题演练2已知|a｜=5,|b|=4，且a·b=—10，求a与b的夹角θ.思路分析：用夹角公式,即数量积公式变形.解：cosθ==—,又θ∈[0，π］，∴θ=.变式提升2在△ABC中,=a，=b，且a·b>0,则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析:由两向量夹角的概念,a与b的夹角应为180°—∠B。因为a·b=|a|｜b｜cos(180°-B)=-｜a｜｜b｜cosB>0,所以cosB<0.又因为B∈（0°,180°）,所以角B为钝角.所以△ABC为钝角三角形.答案:C温馨提示此题主要考查两向量夹角的概念,应避免a·b=｜a|｜b｜cosB〉0得cosB>0，进而得角B为锐角,从而无法确定，错选D.三、向量在轴上的投影这部分内容要注意：(1）已知向量a和轴l（如图所示)，作=a,过点O、A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1、A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)。（2）a在轴l上的正射影,称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量，记作a，a=|a｜cosα。（3)射影的坐标是数量，当α为锐角时，a为正值；当α为钝角时,a为负值；当α=0时,a=｜a|；当α=π时,a=—｜a｜。【例3】已知轴l,如图：(1）向量|｜=5，〈，l〉=60°，求在l上的正射影OAl；（2）向量||=5，〈,l>=120°，求在l上的正射影OBl.思路分析：向量a在轴l上的正射影为al=|a|cosθ.解:(1）OAl=5cos60°=5×=，(2)OBl=5cos120°=5×(-)=。类题演练3设a，b是两非零向量，λ是a在b方向上的投影，μ是b在a方向上的投影，若a与b的夹角为钝角,则（）A.λ=μ＞0B。λ=μ＜0C.λ、μ∈（—∞,0)D。λ、μ∈（0，+∞）解析：λ=｜a｜cosθ,μ=|b|cosθ，θ为钝角，∴λ＜0,μ＜0。而｜a|与|b｜不一定相等，故选C.答案：C变式提升3已知|a|=3,｜b|=5,且a·b=12，则向量a在向量b上的投影为(）A。B.3C。4