数学课堂导学：回归分析的基本思想及其初步应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、回归方程及其应用【例1】研究某灌溉渠道水的流速Y与水深x之间的关系，测得一组数据如下：水深x/m1。401。501.601。701.801.902。002。10流速Y/(m·s—1）1。701.791.881。952.032。102.162.21（1）求Y对x的回归直线方程；（2）预测水深为1.95m时水的流速是多少？思路分析：从散点图可以直观地看出变量x与Y之间有无线性相关关系，为此把这8对数据描绘在平面直角坐标系中，得到平面上8个点，如图所示.由图容易看出，x与Y之间有近似的线性相关关系，或者说,可以用一个回归直线方程=a+bx来反映这种关系，这些是我们在必修模块数学3中学过的知识。进一步观察这8个点，容易发现它们并不是“严格地"在一条直线上，对于某个xi，由上式能确定一个=a+bxi，一般地说，由于测量流速可能存在误差,或者受某些随机因素的影响，或者上面的回归直线方程本身就不够精确，与测得的数据yi很可能不相等，即yi=i+ei（i=1，2,…，8)，其中ei是随机误差项。于是，就有yi=a+bxi+ei（i=1，2，…,8）,这就是本题的线性模型。从上述线性模型出发，我们可以求出a与回归系数b的估计值,，使得全部误差e1，e2,…,e8的平方和达到最小,当然，这是一种很好的估计.最后得到的求，的数学公式为=.解析：（1)可采用列表的方法计算a与回归系数b.序号xyx2xy11。401.701.962.38021。501。792.252.68531.601.882。563.00841.701.952.893。31551.802.033.243。65461。902.103。613。99072.002。164。004。32082.102.214。414。641∑14.0015.8224。9227.993于是,=×14.00=1.75，=×15.82=1。9775,=≈0。733。=1。9775—×1。75≈0。694.Y对x的回归直线方程为=+x=0.694+0。733x.回归系数=0。733的意思是，在此灌溉渠道中，水深每增加0。1m，水的流速平均增加0.733m/s(本例数据是以0.1m为水深间隔测得的），=0。694可以解释为水的流速中不受水深影响的部分.(2)由（1）中求出的回归直线方程，把x=1。95代入，易得=0.694+0。733×1.95≈2.12（m/s）。计算结果表明，当水深为1。95m时可以预测渠水的流速约为2。12m/s.二、熟悉建立回归模型的基本步骤，会分析残差图的异常情况【例2】1993年到2002年中国的国内生产总值（GDP)的数据如下：年份GDP199334634。4199446759。4199558478.1199667884.6199774462.6199878345。2199982067.5200089468.1200197314。82002104790。6（1）作GDP和年份的散点图,根据该图猜想它们之间的关系应是什么？（2）建立年份的解释变量，GDP为预报变量的回归模型，并计算残差.(3）根据你得到的模型，预报2003年的GDP，并查资料,看看你的预报与实际的GDP的误差是多少？（4）你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗？请说明理由.解析：(1)(2）从上图中可以看出，x与y之间有近似的线性相关关系，即可以用一个回归直线方程=x+表示通过计算可得=×19975=1997.5=×734204.7=73420.47=7206.5=73420.47-7206。5×1997。5=-14321563。28∴y对x的回归直线模型为=7206。5x—14321563.28残差为：x19931994199519961997y34634.446759。458478.167884.674462。6—6356。82-1438。323073。885273.884645.38x19981999200020012002y78345。282067。589468。197314。8104790.61321.48-2162。72—1968.2-1328.42-1059.12（3）=7206.5×2003-14321563.28=113056.22（亿元）2003年的实际GDP为117390亿元，误差为4333.78亿元.(4)以样本编号为横坐标，残差为纵坐标作残差图。从残差图可以看出这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系.三、比较拟合效果的基本步骤【例3】一只红铃虫的产卵数y和温度x有关.现收集了7组观测数据列于表1中，试建立y与x之间的回归方程。表1温度x/℃21232527293235产卵数y/个711212466115325解析：根据收集的数据作散点图（图1）。在散点图中，样本点并没有分布在某个带状区域内,因此两个变量不呈现线性相关关系,所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=的周围,其中c1和c2是待定参数.现在，问题变为如何估计待定参数c1和c2.我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系.令z=lny，则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a（a=lnc1,b=c2)的周围。这样，就可以利用线性回归模型来建立y和x之间的非线性回归方程了。由表1的数据可以得到变换后的样本数据表2,图2给出了表2中数据的散点图。从图2中可以看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合。表2x21232527293235z1。9462。3983。0453。1784。1904。7455.784由表2中的数据得到线性回归方程=0。272x-3。843。因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为=e0.272x-3.843.(1)另一方面，可以认为图1中样本点集中在某二次曲线y=c3x2+c4的附近，其中c3和c4为待定参数。因此可以对温度变量做变换，即令t=x2，然后建立y与t之间的线性回归方程，从而得到y与x之间的非线性回归方程。表3是红铃虫的产卵数和对应的温度的平方，图3是相应的散点图。表3t44152962572984110241225Y711212466115325从图3中可以看出，y与t的散点图并不分布在一条直线的周围,因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次曲线y=c3x2+c4来拟合y和x之间的关系.这个结论还可以通过残差分析得到.各个击破【类题演练1】在一段时间内:某种商品价格x（万元）和需求量Y（t）之间的一组数据为价格x：1.41。61。822。2需求量Y：121075133（1)画出散点图；解析：(1）（2）求出Y对x的回归直线方程，并在（1）的散点图中画出它的图象；解析:采用列表的方法计算a与回归系数b。序号xyx2xy123451.41。61。822.212107531.962。563.2444.8416.81612。6106。6∑93716.662x=×9=1.8=×37=7。4=≈—11。5=7。4+11。5×1。8=28.1Y对x的回归直线方程为=+x=28。1-11。5x（3）如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少（精确到0。01t）？解析:当x=1。9时，Y=28。1-11。5×1.9=6。25，所以价格定为1.9万元，需求量大约是6。25（t）.【变式提升1】弹簧长度Y(cm)随所挂物体质量x（g）不同而变化的情况如下：物体质量x:51015202530弹簧长度y:7.258.128.959。9010。9611.80(1)画出散点图；解析：（1）（2)求Y对x的回归直线方程；解析:采用列表的方法计算a与回归系数b序号xyx2xy123456510152025307.258.128。959.9010.9611.802510022540062590036.2581。2134。25198274354∑10556。9822751077。7=×105=17。5=×56。98≈9.50=≈0。183=9.50-0.183×17。5≈6.30Y对x的回归直线方程为=6.30+0。183x（3）预测所挂物体质量为27g时的弹簧长度（精确到0.01cm）。解析：当质量为27g时，有=6。30+0.183×27≈11.24cm所以当挂物体的质量为27kg时，弹簧的长度大约为11。24cm.【类题演练2】如果美国10家工业公司提供了以下数据:公司销售总额x1/百万美元利润x2/百万美元通用汽车1269744224福特969333835埃克森866563510IBM634383758通用电气552643939美孚509761809菲利普·莫利斯390692946克莱斯勒36156359杜邦352092480德士古324162413（1）作销售总额和利润的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么形式；解析：散点图如图所示由图可猜想它们之间是线性相关关系.(2）建立销售总额的解释变量,利润的预报变量的回归模型,并计算残差;解析：通过计算可得：=62309.1=2927.3=0.02=1681.1∴回归模型为=0.02x+1681.1由公式=yi—xi—得其残差为x12697496933866566343855264y422438353510375839393。42215.2495。78808。141152。62x5097639069361563520932416y1809294635924802413-891。62483.52—2045.2294。7283.58（3）计算相关指数,你认为这个模型能较好地刻画销售总额和利润之间的关系吗？请说明理由.解析：R2=1-=1-=0。404∴这个模型不能较好地刻画销售总额和利润之间的关系.【类题演练3】某农场对单位面积化肥用量x（kg）和水稻相应产量Y(kg）的关系作了统计，得到数据如下：x:15202530354045Y：330345365405445450455如果x和Y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程，并预测当单位面积化肥用量为32kg时水稻的产量大约是多少(精确到0。01kg).解析：用列表的方法计算a与回归系数b.序号xyx2x12345671520253035404533024536540544545045522540062590012251600202549506900912512150155751800020475∑2102795700087175=×210=30=×2795≈399.3=≈4。746=399。3—4。746×30=256。92Y对x的回归直线方程为=+x=256.92+4.746x当x=32时，=256。92+4。746×32≈408.79答：回归直线方程为=256.92+4。746x，当单位面积化肥为32kg时,水稻的产量大约为408.79kg。【变式提升3】随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚。车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多,所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题。某汽车销售公司做了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x与所支出的总费用y(万元)有如下的数据资料:使用年限x23456总费用y2.23。85。56.5