数学课堂导学：向量数乘

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、向量数乘的概念及几何意义1。对向量数乘定义的理解注意:①λa中的实数，叫做向量a的系数.②关于对向量数乘λa的理解:我们可以把向量a的长度扩大（当｜λ|〉1)时，也可以缩小（当|λ|<1时），同时可以不改变向量a的方向(当λ〉0时),也可以改变向量a的方向（当λ〈0时)。③向量数乘的特殊情况:当λ=0时，λa=0,而λ≠0，若a=0,也有λa=0.④实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如λ+a,λ—a就无法运算。2。向量数乘的几何意义向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小。【例1】已知a,b是两个非零向量，判断下列各命题的真假,并说明理由。(1)2a的方向与a的方向相同,且2a的模是（2)—2a的方向与5a的方向相反,且—2a的模是5（3)—2a与2(4）a—b与—（b-a）是一对相反向量;(5）若a,b不共线,则0a与b思路分析:利用λa中λ的作用.解：（1)真命题。∵2〉0,∴2a与a同向,且｜2a｜=2|（2）真命题。∵5>0,∴5a与a同向,且｜5a|=5|-2〈0，∴—2a与a反向，且｜-2a|=2∴-2a与5a反向，且｜—2a|=|(3）真命题.（4）假命题。-(b-a）=-b+a=a-b。（5)假命题.∵0a=0,0温馨提示对数乘运算的理解，关键是对数的作用的认识，λ>0时,λa与a同向，模是｜a｜的λ倍;λ〈0时，λa与a反向，模是|a|的—λ倍；λ=0时,λa=0。各个击破类题演练1如图（1)，已知非零向量a,求作向量2a,a，-3a,a。思路分析：据向量数乘的定义作出图形即可.作法：将向量a依次同向伸长到原来的2倍,同向缩短到原来的倍，反向伸长到原来的3倍，反向缩短到原来的倍，得到图（2)。变式提升1已知点C在线段AB的延长线上，且。（1）用表示；(2）用表示.思路分析：本例已知中没有涉及方向，但欲求结果中却涉及了方向.因此,解答此类问题，要把握好从单一的长度要素向长度，方向双重要素的过渡。解:如图①,由已知,点C在线段AB的延长线上，且，∴,解得AB=3BC.同理，可得AC=4CB.(1)如图②,向量与的方向相同，所以=3.(2）如图③,向量与的方向相反，所以=—4.温馨提示确定向量,有两个方面的要求，一是指出向量的方向;二是指出向量的大小。二、向量数乘的运算律及应用设λ，μ为实数，则(1）(λ+μ）a=λa+μa；（2)λ（μa)=(λμ）a；(3)λ(a+b）=λa+λb(分配律).【例2】设x,y为未知向量.（1)解方程5（x+a）+3(x-b）=0；（2）解方程组解：(1)原方程可化为5x+5a+3x—3b=0∴8x+5a-3b=0∴8x=3b—5a.∴x=b—a。(2）①×2—②得（x—2y)-(x-y)=2a—b，∴y=2a-b。∴y=b-a。代入①得x=a+b-a,∴x=2a+b—a=b-a。类题演练2化简下列各式:(1）［（2a+8b)—（4a—2b）］;（2)［（4a-3b）+b—(6a—7b)]。解:（1）原式=（a+4b—4a+2b)=[(1-4)a+（4+2）b]=（—3a+6b)=2b—a；(2）原式=（4a-3b+b—a+b）=[（4-)a+(-3++)b］=(a—b）=a—b.温馨提示(1）实数与向量积的运算问题,必须按照实数与向量的积所满足的运算律进行运算。(2）实数与向量的积的运算，可对照实数与单项式的运算进行.变式提升2将［2（2a+8b）—4(4a-2bA.2a-bB.2b—aC.a-bD。b—思路分析:这是关于实数与向量的积的有关运算问题，只需按照实数和向量的积所满足的运算律进行运算即可。解：原式=（4a+16b-16a+8b=［(4-16）a+(16+8)b]=-a+2b=2b-a。∴应选B。答案：B三、向量的线性运算向量的加法,减法和实数与向量积的综合运算,通常叫做向量的线性运算(或线性组合).若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的,我们说这个向量c可以用另一些向量线性表示，如2a，-3a,-a都是a的线性表示，2a+3b，-3a+5b,a—b等都可以由a，【例3】梯形ABCD(如图)中，AB∥CD且AB=2CD，M、N分别是DC与AB的中点.若=a,=b,试用a,b表示和。解法一：连结CN，N为AB中点.∵AN∥DC，AN=DC，∴ANCD为平行四边形。有=-b.又∵=0,∴==b-a。∴==+=a—b。解法二：梯形ABCD中，有+=0，即a++（-a）+(-b)=0.可得=b-a。在四边形ADMN中，=0,即b+a++（—a）=0.∴=a—b。温馨提示解答本题应注意应用向量平行的充要条件以及封闭图形,首尾顺次连结的各向量和为0的结论。类题演练3如图所示,△ABC的重心为G,O为坐标原点，=a,=b，=c，试用a，b，c表示。解：如图，设AG交BC于点M,则M是BC的中点.=b-a，=c—a,=c—b,=+=b-a+（c-b)=(c+b—2a）,=(c+b-2a）,所以=+=a+（c+b-2a)=(a+b+c）。变式提升3证明三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半。思路分析：数学语言分为三种形式:文字语言，符号语言，图形语言。解答用文字语言给出的数学问题,必须用符号语言写出已知，求(求证)，然后再去解（证明)，这是规矩.已知:如图，DE是△ABC的中位线.求证: