数学课堂导学：事件的相互独立性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、事件相互独立性的判断【例1】一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的,令A=｛一个家庭中有男孩、又有女孩｝B=｛一个家庭中最多有一个女孩｝对下述两种情形，讨论A与B的独立性：（1)家庭中有两个小孩；(2）家庭中有三个小孩。解析：（1)有两个小孩的家庭，这时样本空间为：Ω={（男，男），（男，女)，(女，男)，（女，女）}它有4个基本事件,由等可能性知概率各为，这时A={（男,女），（女，男）}B=｛（男,男)，（男，女），(女,男）｝AB=｛（男，女）,（女，男）｝于是P(A）=，P（B)=，P（AB)=，由此知P(AB）≠P(A)P(B）所以事件A、B不相互独立。(2）有三个小孩的家庭，样本空间为：Ω={（男，男，男)，（男，男,女）,(男，女，男），（女，男，男），(男，女，女)，（女,男，女），（女，女，男）,(女，女，女）｝。由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A中含有6个基本事件B中含有4个基本事件AB中含有3个基本事件于是P（A）=，P(B)=,P(AB）=∴P（AB）=P（A)·P（B）成立从而事件A和B是相互独立的.二、相互独立事件概率的计算【例2】甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.6，求:（1)两人都击中目标的概率；（2）其中恰有1人击中目标的概率；（3)至少有1人击中目标的概率;（4）至多有1人击中目标的概率。解析：设甲射击1次,击中目标为事件A，乙射击1次击中目标为事件B.因为甲是否击中对乙击中的概率没有影响，乙是后击中,对甲击中的概率也没有影响,所以，A与B是相互独立事件依题意，有P（A)=P（B）=0.6。(1)两人各射击1次，都击中目标，是A与B同时发生,∴P（AB)=P(A)·P（B)=0.6×0。6=0。36。(2)恰有1人击中目标的含义为：甲中乙不中或甲不中乙中,即事件A·发生或·B发生，由于上射击1次·B和A·不可能同时发生,因此·B与A·是互斥事件.∴P(A·)+P（·B）=P（A)·P（）+P（）·P(B）=0。6×（1-0。6）+（1-0.6）×0。6=0.48.（3）两人各射击1次，至少有1人击中目标，即·B，或A·,或A·B，由于各射击1次，所以它们是不可能同时发生，为互斥事件。所以，至少有1人击中目标的概率是：P（A·B)+P(A·）+P(·B）=P（A)·P（B）+P（A)·P()+P（)·P(B)=0。6×0.6+0。6×（1—0。6）+（1-0.6）×0.6=0.84。（4）两人各射击1次,至多有1人击中目标，这一事件,包含两人都没击中目标,或甲击中乙不中,或甲不中乙中,即事件·发生,或A·发生，或·B发生.由于甲、乙两人各射击1次，所以·,A·，·B不可能同时发生，是互斥事件，依互斥事件有一发生的概率计算公式,得：P(·）+P(A·)+P（·B）=P（）·P(）+P(A）·P()+P()·P（B）=（1—0.6）（1-0。6）+0。6(1—0.6）+（1—0.6）·0.6=0。64三、正确应分“相互独立事件”和互斥事件【例3】某家庭电话在家中有人时，打来的电话响第1声被接的概率为0.1,响第2声被接的概率为0。3，响第3声时被接的概率为0.4，响第4声时被接的概率为0.1,那么电话在前4声内被接的概率是多少？错解:由题意知:电话在前4声内被接的概率是P=0。1×0。3×0.4×0.1=0。0012.剖析：错将互斥事件看成相互独事件同时发生事件.电话在第i声被接和电话在第j声被接(i≠j且i,j∈｛1,2，3，4｝)是互斥事件.正解：P=0.1+0。3+0.4+0.1=0.9。温馨提示在求解概率问题时，有很多同学因分不清“互斥”与“相互独立”这两个概念而发生计算错误。两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生;两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，从字面意义上看,两个概念容易区分，但在实际应用过程中却容易产生错误，因此，在解题时要认真审题，切实把这两个概念区分开，看清到底是互斥事件还是相互独立事件的概率问题。各个击破【类题演练1】(掷币问题)投若干枚硬币,令A={既出现正面，又出现反面},B={最多出现一次反面｝，对于下述两种情况,讨论事件A与B的独立性:(1）投两枚硬币；（2)投三枚硬币。解析：（1)投两枚硬币，样本空间为Ω={（正，正），（正,反），（反,正)，(反,反）｝，它有4个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率均为。这时A=｛（正，反），（反,正)｝，B=｛(正，正),(正，反），（反,正）}，AB=｛（正，反），（反,正)｝，于是P（A)=，P（B）=，P(AB）=，因此P(AB）≠P（A）P（B)。故事件A，B不相互独立。（2）投三枚硬币,样本空间为Ω={（正,正,正),（正，正，反），(正,反，正）,（反,正，正），（正，反，反），（反,正，反）,（反，反，正)，（反,反，反）}。它有8个基本事件,由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件,于是P(A）=,P（B)=，P（AB)=，P（AB)=P（A)P（B)。故事件A，B相互独立【变式提升1】同时抛掷两个均匀的骰子一次，记“第一个骰子落地时向上的数字是偶数”为事件A，“第二个骰子落地时向上的数字是奇数”为事件B,“两个骰子落地时向上的数字或同时出现偶数，或同时出现奇数”为事件C.问：事件A、B、C是否相互独立.解析：这里的基本事件是同时抛掷两个骰子，由于骰子是均匀的，则每个骰子落地时向上出现哪个数字是等可能的，由分步计数原理得基本事件总数是6×6=36。由等可能性事件的概率公式，P(A）=P（B)=，P（C）=。P（A·B)=，P（A·C）=，P（B·C）=.因此P(A·B）=P（A）·P（B），P（A·C）=P（A）·P（C），P（B·C)=P（B）·P（C）。即A，B,C中任意两个事件都是相互独立的，但同时易知P（A·B·C）=0，P（A）·P（B)·P（C）=，∴P（A·B·C)≠P（A)P（B）P（C），∴A,B,C不是相互独立的。【类题演练2】有三种产品，合格率分别是0.90,0。95和0。95，各抽取一件进行检验。（1）求恰有一件不合格的概率；（精确到0.001）（2）求至少有两件不合格的概率.（精确到0。001）解析:设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A，B和C。根据题设条件可知,P（A)=0。90，P（B）=P（C）=0。95,P（）=0.10,P（)=P（）=0.05.(1）因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的事件是A·B·+A··C+·B·C，它的概率为P(A·B·+A··C+·B·C)=P(A·B·）+P（A··C）+P（·B·C）=P(A）·P（B）·P(）+P(A）·P（）·P（C）+P（）·P（B)·P（C）=0。90×0。95×0。05+0.90×0.05×0。95+0.10×0。95×0。95=0。176。（2）解法1：至少有两件不合格的事件是A··+··C+·B·+··,它的概率为P（A··+··C+·B·+··)=P（A··）+P(·+C）+P（·B·）+P（··）=P（A)·P（）·P(）+P（）·P(）·P（C)+P（)·P（B）·P（）+P（）·P（）·P（)0。90·0。05·0.05+0.10·0。05·0.95+0。10·0。95·0。05+0。10·0。05·0。05=0.012.解法2：三件产品都合格的概率为P（A·B·C)=P（A）·P（B）·P（C)=0。90·0.95·0.95=0。812.由（1）知,恰有一件不合格的概率为0。176,所以至少有两件不合格的概率为1—0.812-0。176=0.012.【变式提升2】(2006北京高考，理18)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案。方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过：方案二:在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过。假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a,b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响。求；(Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小。（说明理由）解析：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P（A）=a，P(B）=b，P(C）=c(Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率P1=P（A·B·）+P（·B·C）+P（A··C）+P（ABC)=ab(1-c）+bc（1-a）+ac(1-b）+abc=ab+bc+ca—2abc;应聘者用方案二考试通过的概率P2=P(A·B）+P(B·C）+P（A·C)=（ab+bc+ca）.（Ⅱ）因为a,b,c∈［0,1]，所以P1—P2=（ab+bc+ca)-2abc=≥0，故P1≥P2，即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大.【类题演练3】某零件从毛坯到成品,一共要经过六道自动加工工序，如果各道工序出次品的概率依次为0。01，0.02，0。03，0。03，0。05，0.05，那么这种零件的次品率是多少？错解:设第i道工序出次品的事件为Ai，i=1,2,…,6,Ai是互斥事件，则Ai中至少有一个事件发生就为次品，故这种零件的次品率为P(A1+A2+…+A6）=P（A1)+P(A2)+…+P(A6)=0。19。剖析：错将相互独立事件看成互斥事件，由题意,只有同时经过六道工序才能将事件完成，不能只考虑一道工序是否通过。正解：设第i道工序出次品的事件为Ai，i=1,2，…,6，它们相互独立但不互斥，则Ai中至少有一个事件发生就为次品,这种零件的次品率为：P（A1+A2+…+A6）=1-P（）1—（1-0.01）（1—0。02）(1-0.03）(1—0。03）·（1-0。05）·（1-0。05)≈0.176【变式提升3】甲投蓝命中率为0。8，乙投蓝命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？错解：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B。P（A+B）=P（A）+P（B）=0.8×0。8×0.2+0。8×0.2×0.8+0.2×0.8×0。8+0。7×0.7×0。3+0.7×0。3×0。7+0.3×0.7×0。7≈0.82