数学课堂导学：离散型随机变量的均值

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、离散型随机变量均值的求法【例1】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数。（1）求X的分布列；（2）求X的均值；(3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率.解析:(1）X可能取的值为0,1，2。P（X=k)=,k=0，1，2。所以,X的分布列为：X012P（2)由(1），X的均值为EX=0×+1×+2×=1。(3)由（1），“所选3人中女生人数X≤1"的概率为P（X≤1)=P(x=0）+P（X=1)=温馨提示做这类的题目,首先要确定随机变量的分布列,然后再去求它的均值。二、离散型随机变量的均值的应用【例2】A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛,A队队员是A1，A2,A3，B队队员是B1,B2,B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下:对阵队员A队队员的胜率B队队员的胜率A1对B1A2对B2A3对B3现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A,B两队最后所得总分分别为ξ，η.（1）求ξ,η的概率分布；（2）求两队各自获胜的期望.解析：(1）ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0,ξ=3表示三场A队全胜,P（ξ=3)=··=,ξ=2表示三场中A队胜两场，有三种可能.∴P（ξ=2)=··（1—)+（1-）·+(1—)··=.ξ=1表示三场中A队胜一场，也有三种可能：P(ξ=1）=··+··+··=，ξ=0表示三场A队全负.P（ξ=0）=··=.依题意可知：ξ+η=3，∴P（η=0)=P（ξ=3）=，P（η=1）=P（ξ=2）=,P（η=2）=P(ξ=1)=,P（η=3)=P（ξ=0）=；（2)Eξ=3×+2×+1×+0×=.∵ξ+η=3。∴Eη=3-Eξ=。故甲队获胜的期望是，乙队获胜的期望是。三、与其他知识的交汇题【例3】某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。(Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；(Ⅱ)记“函数f（x)=x2—3ξx+1在区间［2,+∞)上单调递增”为事件A,求事件A的概率.解析：（Ⅰ）ξ的分布列为ξ13P0。760.24Eξ=1×0。76+3×0.24=1.48.(Ⅱ）因为f（x）=（x-ξ)2+1—ξ2,所以函数f(x）=x2—3ξx+1在区间［ξ，+∞）上单调递增，要使f（x）在[2,+∞)上单调递增，当且仅当32ξ≤2，即ξ≤.从而P（A）=P(ξ≤)=P（ξ=1）=0.76.温馨提示该题考查概率的分布列、期望、随机变量ξ在某一范围内的概率，考查函数的单调性.但是它并没有直接给出ξ的范围，而是通过函数的单调性间接地给出ξ的范围，把函数的单调性和概率结合起来了.各个击破【类题演练1】若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究,甲解出该题的概率为,乙解出该题的概率为，设解出该题的人数为ξ，求Eξ.解析：记“甲解出该题”为事件A,“乙解出该题”为事件B.ξ可能取值为0，1，2，P(ξ=0）=P（）P（）=（1—)（1—)=;P（ξ=1）=P（A）+P（B)=P（A)P（）+P（)P(B）=（1-)×+(1-)=；P（ξ=2）=P（A）P(B）=×=.所以ξ的分布列为：Ξ012P故Eξ=0×+1×+2×≈1。467.【变式提升1】已知随机变量X的概率分布列为:P（X=k)=qk—1p（k=1，2,…,0＜p＜1,q=1-p)，求证：EX=。证明：∵P(X=k)=qk—1p，∵EX=1×p+2×qp+3q2p+…+kqk—1p+…=p（1+2q+3q2+…+kqk-1+…)令S=1+2q+3q2+…+kqk—1+（k+1）qk+…①Sq=q+2q2+3q3+…+kqk+（k+1)qk+1+…②①-②得：S-Sq=1+q+q2+…+qk+…即S（1—q)=∵S=∴EX=pS=p×=【类题演练2】某儿童商品专卖商场统计资料表明，每年六一国际儿童节商场内促销活动可获得经济效益2.5万元，商场外的促销活动如不遇雨天可获得经济效益12万元.若促销活动遇到雨天则带来5万元的经济损失。5月30日气象台预报六一儿童节当天有雨的概率是40％,问商场应该采取哪种促销方式？解析：设该商场六一儿童节在商场外的促销活动获得的经济效益为ξ万元,则由天气预报知P（ξ=12）=0.6，P（ξ=—5）=0.4,∴Eξ=12×0.6+(-5)×0。4=5.2（万元）.即在六一儿童节当地有雨的概率是40％的情况下，在商场外的促销活动的经济效益的期望是5.2万元,超过在商场内促销活动可获得的经济效益2。5万元.故商场应选择商场外的促销活动.【变式提升2】某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取，假设任一客户去领奖的概率为4%，问寻呼台能否向每一位顾客都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都能得到礼品,寻呼台至少应准备多少礼品？解析:设来领奖的人数ξ=k（k=0，1,2，…，3000)，所以P(ξ=k)=(0。04）k(1-0。04）3000—k,可见ξ-B（3000，0。04）,所以Eξ=3000×0.04=120（人）＞100（人).答：不能都发出邀请，至少应准备120份礼品。【类题演练3】某地最近出台一项机动车驾照考试规定;每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0。6，0。7,0。8，0。9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率。解析：ξ的取值分别为1，2，3，4.ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了,故P（ξ=1）=0。6.ξ=2,表明李明在第一次考试未通过,第二次通过了，故P(ξ=2）=（1-0。6）×0。7=0。28.ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P（ξ=3）=（1—0.6）×(1-0.7）×0。8=0.096。ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(ξ=4）=（1-0。6）×（1-0。7)×(1-0。8)=0.024.∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为ξ1234P0。60.280。0960.024∴ξ的期望Eξ=1×0。6+2×0。28+3×0。096+4×0.024=1。544.李明在一年内领到驾照的概率为1-（1—0.6)(1—0.7)(1—0.8）（1—0.9）=0。9976。【变式提升3】某电器商经过多年经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列如下：ξ1234…P1/121/121/121/12…设每售出一台电冰箱,电器商可以获利300元,如果售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费100元,问电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？解析：设x为月初电器商购进的电冰箱的台数，只需考虑1≤x≤12的情况，设电器商每月的收益为η元，则η是随机变量ξ的函数，且η=电器商平均每月获益的平均数，即数学期望为