数学课堂导学：离散型随机变量的方差

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、随机变量的方差与标准差的求法【例1】设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX，DX。X—101P1-2qq2思路分析：依题意,先应按分布列的性质，求出q的数值后，再计算出EX与DX.解析：由于离散型随机变量的分布列满足（1)pi≥0，i=1，2,3，…；(2)p1+p2+…+pn+…=1.故解得q=1-故X的分布列为X—101P∴EX=（-1)×+0×(-1)+1×(）=—+（—）=1—DX=［—1—(1-）］2×+（1—)2×(—1）+［1-（1—）］2×（)=（—2)2×+(—1）3+2（)=—1温馨提示解本题时,要防止机械地套用均值与方差的计算公式，即EX=（-1)×+0×（1—2q）+1×q2=q2-;DX=[-1-(q2-）］2×+(q2—)2×（1-2q）+［1-(q2—)］2×q2这是由于忽略了随机变量分布列的性质所出现的误解，求离散型随机变量的均值与方差，应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数时,应先求出待定常数后，再求其均值与方差.二、两点分布、二项分布的方差【例2】设一次试验的成功率为p,进行100次独立重复试验,求当p为何值时,成功次数的标准差的值最大？并求其最大值。思路分析:根据题意，可知本题主要考查服从二项分布的随机变量的标准差公式，所以解本题的关键就是找出几个变量之间的关系.解：设成功次数为随机变量X，由题意可知X—B（100,p）,那么σX=，因为DX=100p（1-p)=100p—100p2(0≤p≤1)把上式看作一个以p为自变量的一元二次函数，易知当p=时，DX有最大值25。所以的最大值为5，即当p=时,成功次数的标准差的最大值为5.温馨提示要求成功次数标准差的最大值，就需先建立标准差关于变量p的函数关系式，另外要注意利用分布列的性质求出定义域0≤p≤1。三、方差的应用【例3】海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1、X2(单位：s），其分布列如下:X1—2-1012P0。050.050.80。050。05X2-2—1012P0。10。20.40。20.1根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量。解：∵EX1=0，EX2=0∴EX1=EX2∵DX1=（—2—0)2×0。05+（-1-0）2×0。05+(0—0)2×0.8+（1-0)2×0.05+（2—0)2×0。05=0。5DX2=（—2-0)2×0。1+（—1-0）2×0。2+(0-0)2×0.4+(1-0）2×0.2+(2-1）2×0。1=1。2∴DX1＜DX2由上可知,A面大钟的质量较好。温馨提示随机变量X的方差的意义在于描述随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.标准差σX=则体现随机变量取值与其均值的偏差，在实际问题中，若有两个随机变量X1、X2，且EX1=EX2或EX1与EX2比较接近时，我们常用DX1与DX2来比较这两个随机变量,方差值大的,则表明X较为离散，反之则表明X较为集中.同样，标准差的值较大,则标明X与其均值的偏差较大,反之，则表明X与其均值的偏差较小。各个击破【类题演练1】若随机事件A在一次试验中发生的概率为2a。随机变量ξ表示在一次试验中发生的次数.求方差Dξ的最值.解析：由题意得ξ的分布列为ξ01P1—2a2a∴Eξ=0×(1—2a)+1×2a=2a∴Dξ=(0-2a）2(1-2a）+(1—2a）2=(1-2a)2a(2a+1-2a)=2a（1—2a)=-4[a—]2+由分布列的性质得0≤1—2a≤1且0≤2a≤1∴0≤a≤∴当a=时Dξ最大值为；当a=0或时Dξ的最小值为0。【变式提升1】某射击手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击,并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0。8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ与方差Dξ（保留两位小数)。解析：该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ可以取值为1，2，3，4，5.ξ≈1表示一发即中，故概率为P（ξ=1）=0。8ξ=2，表示第一发未中，第二发命中，故P（ξ=2）=（1—0。8）×0。8=0。16；ξ=3，表示第一、二发未中，第三发命中，故P(ξ=3）=(1-0。8）2×0。8=0。032；ξ=4，表示第一、二、三发未中,第四发命中，故P（ξ=4)=（1-0。8）3×0.8=0。0064；ξ=5，表示第一、二、三、四发未中，第五发命中，故P(ξ=5）=（1-0.8）4=0.0016，因此，它的分布列为ξ12345P0.80。160.0320.00640。0016Eξ=1×0。8+2×0.16+3×0.032+4×0。0064+5×0.0016=1。25.Dξ=（1-1。25）2×0.8+（2-1.25)2×0.16+(3-1.25)2×0.032+(4-1.25)2×0.0064+（5-1。25)2×0.0016=0.31.【类题演练2】若随机变量A在一次试验中发生的概率为p(0＜p＜1)，用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数。（1）求方差Dξ的最大值；（2）求的最大值.解析:随机变量ξ的所有可能取值为0，1,并且有P（ξ=1）=p,P（ξ=0）=1—p，从而Eξ=0×(1—p）+1×p=p,Dξ=（0—p)2×(1-p)+（1-p)2×p=p-p2.(1)Dξ=p—p2=-（p—)2+,∵0＜p＜1，∴当p=时，Dξ取得最大值为。（2）=,∵0＜p＜1,∴2p+≥.当且仅当2p=,即p=时，取得最大值2—2.【变式提升2】证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过14.证明：设事件在一次试验中发生的次数为ξ,ξ的可能取值为0或1，又设事件在一次试验中发生的概率为p，则p(ξ=0)=1-p，P（ξ=1)=p，Eξ=0×(1-p）+1×p=p，Dξ=(1—p)·（0—p)2+p（1-p）2=p(1—p)≤(）2=。所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过.【类题演练3】甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η,且ξ、η的分布列为：ξ10987650P0。50.20。10.10.050。050η10987650P0.10.10。10。10.20。20。2计算ξ、η的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣.解析:依题意，有Eξ=10×0。5+9×0.2+8×0。1+7×0。1+6×0。05+5×0。05+0×0=8。85（环）。Eη=10×0。1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×0.2+5×0.2+0×0。2=5。6(环）.Dξ=（10—8。85）2×0。5+(9-8.85)2×0.2+(8—8.85)2×0。1×…+(5—8。85)2×0。05+(0-8。85)2×0=2.2275。Dη=(10—5.6)2×0.1+（9—5.6）2×0.1+（8-5。6)2×0.1+…+（5-5.6)2×0。2+（0—5。6）2×0。2=10.24.所以Eξ＜Eη，说明甲的平均水平比乙高，又因为Dξ＜Dη，说明甲射中的环数比较集中，比较稳定,而乙射中的环数分散较大,技术波动较大，不稳定,所以甲比乙的技术好.【变式提升3】现要从甲、乙两个技工中选派一个参加技术比赛,已知他们在同样的条件下每天的产量相等，而出次品的个数的分布列如下：次品数ξ1012P0。10。50。4甲次品数ξ20123P0。30.30.20。2乙根据以上条件，选派谁去合适？解析：Eξ1=0×0。1+1×0.5+2×0。4=1.3，Eξ2=0×0。3+1×0.3+2×0。2+3×0。2=1。3。由于Eξ1=Eξ2，所以甲技工与乙技工出现次品数