数学课堂导学：独立性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、条件概率【例1】一个家庭中有两个小孩,假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩,问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？解析:一个家庭的两个小孩子只有4种可能：{两个都是男孩｝,｛第一个是男孩,第二个是女孩｝，{第一个是女孩,第二个是男孩｝，{两个都是女孩}.由题目假定可知这4个基本事件发生是等可能的。根据题意,设基本事件空间为Ω，A=“其中一个是女孩",B=“其中一个是男孩"，则Ω={(男，男），（男，女)，（女，男)，（女，女)｝，A=｛（男，女）,（女,男)，（女,女）｝，B={（男，男)，(男,女），(女，男)}，AB={(男，女），（女，男）｝,问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P(B｜A）.由上面分析可知P(A）=，P(AB)=。由公式②可得P（B｜A)=,因此所求条件概率为。二、事件的独立性的应用【例2】甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮,如果两人投中的概率都是0。6，计算：(1)两人都投中的概率;（2）其中恰有一人投中的概率；（3)至少有一人投中的概率.思路分析:甲、乙两人各投篮一次，甲（或乙）是否投中,对乙(或甲）投中的概率是没有影响的，也就是说，“甲投篮一次，投中”与“乙投篮一次,投中”是相互独立事件.因此,可以求出这两个事件同时发生的概率。同理可以分别求出,甲投中与乙未投中，甲未投中与乙投中,甲未投中与乙未投中同时发生的概率，从而可以得到所求的各个事件的概率。解:（1）设A=“甲投篮一次，投中",B＝“乙投篮一次，投中”，则A·B＝“两人各投篮一次,都投中”.由题意，知事件A与B相互独立，则有P(AB）=P（A）·P(B）=0.6×0。6=0.36。(2）事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中”包括两种情况:一种是甲投中、乙未投中（事件A∩发生）,另一种是甲未投中、乙投中(事件∩B发生)。根据题意,这两种情况在各投篮一次时不可能同时发生，即事件A∩与∩B互斥,并且A与，与B各自相互独立,因而所求概率为P（A∩)+P（∩B）=P（A）·P(B）+P（）·P(B)=0。6×(1-0。6）+（1—0.6)×0。6=0.48.（3）事件“两人各投篮一次，至少有一人投中"的对立事件“两人各投篮一次，均未投中”的概率是P(∩）=P(）·P（)=（1—0。6）×(1—0。6）=0.16。因此，至少有一人投中的概率为P(A∪B）=1-P(∩)=1—0。16=0.84.三、条件概率与事件独立性的综合应用【例3】益趣玩具厂有职工500人，男、女各占一半，男、女职工中非熟练工人分别为40人与10人，现从该企业中任选一名职工,试问：a。该职工为非熟练工人的概率是多少？b。若已知选出的是女职工,她是非熟练工人的概率又是多少？思路分析:题a的求解同学们已很熟,它是一般的古典概型问题.b的情况有所不同，它增加了一个附加信息，设A表示非熟练工人，B表示出的是女职工，问题b可以叙述为在已知事件B发生的条件下,求事件A发生的概率。解:设A=“非熟练工人",B=“选出的是女职工”，P（A）=,P(A｜B)=.各个击破类题演练1在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋,2个白皮蛋，每次取一个,有放回地取两次,求在已知第一次取到红皮蛋的条件下,第二次取到红皮蛋的概率。解析：设A=｛第一次取到红皮蛋｝，B＝｛第二次取到红皮蛋},则P（A)=,由于是有放回地抽取,所以P(B)=。AB＝{两次都取到红皮蛋}，由于第一次取一个鸡蛋有5种取法，第二次取一个鸡蛋也有5种取法,于是两次共5×5种取法,其中都取到红皮蛋的取法有3×3种.因此,两次都取到红皮蛋的概率为P(AB）=。所以P(B|A)=。变式提升1设A、B互斥,且P(A）〉0,则P（B｜A)=_______.若A、B相互独立，P（A)>0，则P(B｜A)=_______.解析：A、B相互独立,相互不影响,∴P(B｜A）=P(B）.答案:0P(B）类题演练2甲、乙两人独立地解开一密码,甲完成的概率是,乙完成的概率是，则甲、乙都完不成的概率是多少？解析：A、B独立,则A、B独立.甲完成设为事件A，乙完成设为事件B，则P(A·B)=P(A)·P(B）=［1—P（A）]［1-P（B）］=.变式提升2分别掷两枚均匀硬币,令A=｛甲出现正面｝，B={乙出现正面}。验证：事件A、B是独立的.证明：这时样本空间Ω={（正、正）,（正、反),(反、正),（反、反）}共含4个基本事件，它们是等可能的,它们概率均为.则A={(正、正)，（正、反）}，B=｛（正、正)，(反、正)｝,AB=｛（正、正）｝.∴P(A）=P（B)=.故P(AB)==P(A）·P(B）,∴A、B相互独立。类题演练3某种产品用满6000小时未坏的概率为75％，用满10000小时未坏的概率为50％.现有这样的一个元件,已用过6000小时未坏，求它能用10000小时的概率是多少.解析：设A=｛用满10000小时未坏}，B={用满6000小时未坏｝，P（B)=，P（A)=，由于AB，AB=A，因而P(AB）=P（A)=，P(A|B)=。变式提升3设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0。8,活到25岁的概率为0。4，现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是___