河南省部分学校大联考2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题 含解析

大联考2024—2025学年（上）高二年级期中考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线的倾斜角为，且经过点，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出直线的斜率，由点斜式方程可得直线方程.【详解】由题意，直线的斜率为，又过点，故其方程为，即.故选：B.2.椭圆与，且的（）A.长轴长相等 B.短轴长相等C.焦距相等 D.离心率相等【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，结合选项计算即可求解.【详解】对应椭圆，，所以，所以该椭圆的长轴为6，短轴为4，焦距为，离心率为；对于且），则，该方程表示的是焦点在轴上的椭圆，，所以，长轴为，短轴为，所以该椭圆的焦距为，离心率为，所以两个圆锥曲线的的焦距为，故C正确.故选：C3.已知中心在原点的双曲线的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，判断双曲线焦点位置，求出的值，即得双曲线方程.【详解】由题意，双曲线的焦点在轴上，且，，即，利用可联立求得，故双曲线的方程为：.故选：D.4.在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（）A. B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】如图，，又，所以，则.故选：C5.若直线与圆相离，则点（）A.在圆外 B.在圆内C.在圆上 D.位置不确定【答案】B【解析】【分析】利用点线距离公式及到的距离，即可判断点与圆位置关系.【详解】由题意，到的距离，即，所以在在圆内.故选：B6.设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（）A.8 B.7 C.6 D.4【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的定义式，将转化为，结合图形分析判断得出的最小值，即得的最小值.【详解】如图，连接,因，则，由图知，当三点共线，且点在之间时，的值最小，最小值为,此时，的最小值为.故选：B.7.已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】设，利用抛物线的定义将转化为，再由三角形的重心性质和点的坐标特征即可求得值.【详解】如图，作抛物线的准线，分别过点作，垂足为，，设，则（*），因点为的重心，则，即，代入（*），可得，因点在抛物线上，故，故，依题，，解得.故选：D.8.如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，然后表示出化简可求得结果.【详解】因为底面平面，所以因为四边形为正方形，所以，所以两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，所以，因为，所以当时，取得最小值；当或1，或1时，取得最大值4.故选：A二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知方程，则（）A.当时，方程表示椭圆B.当时，方程表示焦点在轴上的双曲线C.存在，使得方程表示两条直线D.存在，使得方程表示抛物线【答案】BC【解析】【分析】根据椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，结合选项依次验证即可.【详解】当且时，方程为，若，即，此时方程表示圆；若，即，当或时，，方程表示焦点在轴的双曲线，故A错误；当时，，方程表示焦点在轴的双曲线，故B正确；当时，方程为，表示两条直线；当时，方程为，表示两条直线；故C正确；方程不可能表示抛物线，故D错误.故选：BC10.已知直线的方程为，则下列结论正确的是（）A.点不可能在直线上B.直线恒过点C.若点到直线的距离相等，则D.直线上恒存在点，满足【答案】ABD【解析】【分析】当时，即可判断A；将线方程可化为，即可判断B；利用点线的距离公式计算即可判断C；利用平面向量的坐标表示求出点的轨迹方程，证明点在圆的内部即可判断D.【详解】A：当时，，所以点不可能在直线上，故A正确；B：直线方程可化为，所以直线恒过定点，故B正确；C：因为点到直线的距离相等，所以，解得或，故C错误；D：设，则，所以，整理得，即点的轨迹方程为.又直线恒过定点，且，所以点在圆的内部，所以直线与圆恒有公共点，即直线上恒存在点，满足，故D正确.故选：ABD11.如图，在三棱锥中，平面分别为的中点，是的中点，是线段上的动点，则（）A.存在，使得B.不存在点，使得C.的最小值为D.异面直线与所成角的余弦值为【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，E0,0,1，，，，所以，，，因为，则，方程无解，故不存在、使得，故A错误；因为是线段上的动点，设，所以，，所以，所以不存在点，使得，故B正确；因为，所以当时取得最小值，即，故C正确；因为，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，故D正确.故选：BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点的坐标为__________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用对称性列式计算得解.【详解】依题意，，解得，所以点的坐标为.故答案为：13.若圆关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】根据题意得到，再利用数形结合思想将问题转化为圆心到直线的距离.【详解】由题意可知直线经过圆心，所以，即，点到圆心距离最小值就是圆心到直线的距离的最小值，又圆心到直线的距离.故答案为：14.已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH的面积的比值为__________.【答案】##【解析】【分析】根据蒙日圆定义得到点的坐标，即可得到直线的方程，然后联立直线和椭圆的方程得到点，最后计算面积求比值即可.【详解】由题意得蒙日圆为，则，，直线的方程为：，联立得，，解得，，所以.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知圆的圆心在直线和直线的交点上，且圆过点.（1）求圆的方程；（2）若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系.【答案】（1）（2）圆与圆相交.【解析】【分析】（1）先求出两直线的交点，结合两点的距离公式和圆的标准方程计算即可求解；（2）由题意知的圆心为，半径，结合两圆的位置关系即可下结论.【小问1详解】由，得，即圆心坐标为.，圆的方程为.【小问2详解】由（1）知，圆的圆心为，半径.圆的方程可化为，则圆的圆心为，半径.，，圆与圆相交.16.如图，在四棱锥中，四边形是矩形，为的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）根据已知数据结合勾股定逆定理可证得，，然后利用线面垂直的判定定理得平面，再由线面垂直的性质可证得结论；（2）由题意可得两两垂直，所以以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：，，.，，.平面，平面，又平面，.【小问2详解】解：四边形是矩形，，平面，平面，，所以以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为n=x,y,z则，令，可得，平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为，则，直线与平面所成角的正弦值为.17.已知是抛物线的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为.（1）求的方程；（2）过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为3，求的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据点在抛物线上得，结合抛物线定义列方程求参数，即可得方程；（2）设直线，联立抛物线，应用韦达定理、弦长及点线距离公式，结合三角形面积列方程求参数t，即可得结果.【小问1详解】是上一点，，则，由抛物线的定义，知，，则，的方程为.【小问2详解】由（1），知.设直线，即，代入，整理得，，，又点到的距离为，，即，解得或（舍去），直线的方程为，即.18.如图，在斜三棱柱中，平面平面是边长为2的等边三角形，为的中点，且为的中点，为的中点，.（1）设向量为平面的法向量，证明：；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先建立空间直角坐标系，应用面面垂直性质定理得出平面，进而得出法向量,最后应用空间向量数量积运算即可；（2）应用空间向量法求法向量及向量应用公式运算即可；（3）应用空间向量法求二面角余弦值即可.【小问1详解】如图，连接.，平面平面，平面平面平面，平面.是边长为2的等边三角形，.以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，则，.是平面的一个法向量，令.，，.【小问2详解】.设平面的法向量为，则令，可得，平面的一个法向量为，点到平面的距离为.【小问3详解】.设平面的法向量为，则令，可得，平面的一个法向量为.由（2）可知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，平面与平面夹角的余弦值为..19.已知双曲线离心率为2，左､右焦点分别是是的右支上一点，的中点为，且（为坐标原点），是的右顶点，是上两点（均与点不重合）.（1）求的方程；（2）若不关于坐标轴和原点对称，且的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值；（3）若不关于轴对称，且，证明：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题设及双曲线定义得，再结合离心率、双曲线参数关系求双曲线方程；（2）设且，应用点在双曲线上、中点公式得，即可证结论；（3）设直线的方程为，联立双曲线，应用韦