专题58 放缩圆、旋转圆、平移圆和磁聚焦模型在磁场中的应用-2025版高三物理一轮复习多维度导学与分层专练

2025届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题58放缩圆、旋转圆、平移圆和磁聚焦模型在磁场中的应用导练目标导练内容目标1放缩圆模型目标2旋转圆模型目标3平移圆模型目标4磁聚焦模型【知识导学与典例导练】放缩圆模型适用条件速度方向一定，速度大小不同粒子源发射速度方向一定，速度大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上界定方法以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法【例1】如图所示，在边长为L的正三角形abc区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，有一群质量为m、电荷量为q的粒子，以大小不同的速度从a点沿ac方向进入磁场，从ab边或bc边射出磁场。下列说法正确的是（）（不计粒子重力和粒子间的相互作用）A．粒子带正电B．粒子在磁场中运动时间最长为C．从b点飞出的粒子的轨迹半径为D．从bc边飞出的粒子，飞出点越靠近c，运动时间越长【答案】C【详解】A．由左手定则可知粒子带负电，A错误；B．粒子从ab边射出时在磁场中转过的圆心角最大，运动时间最长，如图所示最长时间为，B错误；C．如图所示由几何关系得从b点飞出的粒子的轨迹半径为，C正确；D．如图所示从bc边飞出的粒子，飞出点越靠近c对应的圆心角越小，运动时间越短，D错误。故选C。旋转圆模型适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径R＝eq\f(mv0,qB)，如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝eq\f(mv0,qB)的圆上界定方法将一半径R＝eq\f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法【例2】如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点，在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向均匀射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则（）A．从AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为B．粒子运动的速度大小为C．粒子在磁场中运动的最长时间为D．磁场区域中有粒子通过的面积为【答案】ABD【详解】如图所示B．粒子带正电不可能从与60度夹角的O点射入经过B点，因此带负电，由此粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径由牛顿第二定律解得粒子运动的速度大小为故B正确；C．由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即最长时间为，故C错误；D．由图知，磁场区域有粒子通过的面积为图中区域的面积，即为故D正确；A．由图可知，当速度垂直时，粒子刚好从点射出，如下图所示由几何关系可知，当速度方向与的夹角为时，恰好从点射出，则从AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为故A正确。故选ABD。平移圆模型适用条件速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝eq\f(mv0,qB)，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与所有入射点的连线平行界定方法将半径R＝eq\f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法【例3】如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AC=d，∠B=30°，现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而在磁场中运动的最长时间为（不计重力和粒子间的相互作用）。下列判断正确的是（）A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为tB．该匀强磁场的磁感应强度大小为C．粒子在进入磁场时速度大小为D．粒子在磁场中运动的轨迹半径为【答案】BC【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直ACAC边射出的粒子在磁场中运动的时间是，则得周期为故A错误；B．由；；得故B正确；D．运动时间最长的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据几何关系有解得故D错误；C．根据粒子在磁场中运动的速度为周期为半径为联立得故C正确。故选BC。磁聚焦模型1．磁发散：如图1所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。2．磁汇聚：如图2所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。【例4】如图所示，在真空中，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电荷量为e，质量为m，速度为，则以下说法正确的是（）A．对着圆心入射的质子的出射方向的反向延长线不一定过圆心B．从a点比从b点进入磁场的质子在磁场中运动时间短C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场D．若质子以相等的速率从同一点沿各个方向射入磁场，则它们离开磁场的出射方向可能垂直【答案】C【详解】AC．质子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，可得又联立，可得由几何关系可知，对着圆心入射的质子最后从O点正下方C点射出磁场，出射方向的反向延长线一定过圆心。再假设从任意点E水平射入的质子，做圆周运动的圆心为D，连接两交点及圆心。由于，且DE=OC,则四边形DEOC是平行四边形，所以DE=OC=R，从任意点水平射入的质子也从O点正下方C射出，由于磁场的半径与质子轨迹圆的半径相等，所以对着圆心入射的质子的出射方向的反向延长线一定过圆心。故A错误；C正确；B．质子射入磁场中，受到向下的洛伦兹力而向下偏转，因质子的运动半径相同，故从a点比从b点进入磁场的质子在磁场中运动经过的弧长更长，则时间长。故B错误；D．若质子以相等的速率从同一点沿各个方向射入磁场，质子运动的半径为考虑两个极端情况，当质子的入射速度接近竖直向上或竖直向下时，质子射出磁场的偏转角的夹角小于90°，其轨迹如图，最后离开磁场的速度夹角小于90°，所以不存在离开磁场的出射方向垂直的情况。故D错误。故选C。【多维度分层专练】1．如图所示，直角三角形abc区域内（含边界）存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，顶点a处有一离子源，沿ac方向同时射出一群速度大小不同的正离子，离子的质量均为m、电荷量均为q，已知，bc边长为L，不计离子的重力及离子间的相互作用力，则下列说法正确的是（）A．从ab边界射出的离子，一定同时平行射出B．从bc边界射出的离子在磁场中运动的时间均不小于C．从bc边界射出的离子的速度均不小于D．当某离子垂直于bc边界射出时，磁场中的所有离子都在与ab边界成15°角的一条直线上【答案】ACD【详解】A．由题意可知，离子的入射角度相同，转过的圆心角也相同，则出射角相同，同时由可得，当磁场强度、离子质量和所带电荷相同时，离子在磁场中的运动时间也相同，故离子会同时平行射出，故A正确；B．当从a中射入的离子从bc边垂直射出时，由几何关系可知，此时转过的圆心角为30°，则所用的时间为即此时离子在磁场中运动的时间均小于，故B错误；C．由可知，当离子的运动速度越小时，离子运动的半径就越小，当离子从bc边界射出时，从b点射出的离子运动半径最小，速度也最小，从b点射出时，由几何关系可知，离子的运动半径为解得故从bc边界射出的离子的速度应该不小于，故C正确；D．同一时刻，经历相同的时间，转过相同圆心角的离子在同一条直线上，当当某离子垂直于bc边界射出时，由几何关系可知，此时离子转过的圆心角为30°，由弦切角与圆心角的关系可知，此时所有离子在与ab边界成15°角的一条直线上，故D正确。故选ACD。2．如图，等腰直角三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，为边的中点，为边上的一点。现有一带正电的粒子（不计重力）从点以大小不同的速度沿方向射入磁场，分别从、、点射出磁场，所用时间分别为、、，且，若已知，则（）A．B．带电粒子的比荷为C．从点与从点射出的速度大小之比为D．从点与从点射出的速度大小之比为【答案】AC【详解】A．如图所示，从d、c两点射出的粒子在磁场中转过的圆心角均为90°，所以t1=t2则故A正确；B．设粒子在磁场中运动的周期为T，速度大小为v，半径为r，根据牛顿第二定律有解得由题意可知解得故B错误；CD．设ac=L，根据几何关系可知从、点射出磁场的粒子的运动半径分别为；在△eca中，根据正弦定理可得解得从点与从点射出的速度大小之比为从点与从点射出的速度大小之比为故C正确，D错误。故选AC。3．如图，在区域内存在与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度为B。在时刻，一位于坐标原点的粒子源向y轴右侧平面各方向均匀发射出大量相同的带电粒子，所有粒子的初速度大小相同。已知沿y轴正方向发射的粒子在时刻刚好从磁场边界上P（3a，a）点离开磁场，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用。则（）A．粒子在磁场中做圆周运动的半径R为2aB．粒子的比荷为C．从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间为2t0D．时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比为1：3【答案】ACD【详解】A．沿y轴正方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示设粒子运动的轨迹半径为，由几何关系知道所以则粒子从O到P偏转了，则有故A正确；B．由题意及几何关系可得所以故B错误；C．在磁场中飞行时间最长的粒子对应的轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如下图所示由几何关系知粒子转过的圆心角为，且由对称性可知从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用时间故C正确；D．由以上分析可知仍然留在磁场中的粒子与轴的角度范围为，由于粒子发生在内总是均匀的，所以还在磁场中的粒子和总的发射的粒子数之比为，故D正确。故选ACD。4．如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S。某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场。已知∠AOC=60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于（T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为（）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】粒子在磁场做匀速圆周运动，粒子在磁场中出射点和入射点的连线即为轨迹的弦，初速度大小相同，根据可得轨迹半径相同，又由于最长时间恰好为半个周期，可分析出粒子在磁场中运动的圆弧为劣弧，弦越长，所对圆心角越大，因此粒子恰好从S点正上方射出时，运动时间最长，此时在磁场中恰好运动了半个圆周，该粒子恰好沿SA方向射入磁场，如图所示设OS=d，有几何关系可知粒子在磁场中运动的轨道半径当出射点E与S点的连线垂直于OC时，弦ES最短，轨迹所对的圆心角最小，根据几何关系可知弦所对圆心角为60o，粒子在磁场中运动的最短时间粒子在磁场中运动时间范围为故选BCD。5．如图所示，边长为L的正方形区域内存在垂直平面向内的匀强磁场，在边各个位置均有带正电的同种粒子以速度垂直于边射入磁场，有两个粒子均可以在边上距离c点为的A处射出磁场。已知粒子的质量为m、电量为q，磁场的磁感应强度为B，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则（）A．一定满足B．一定满足C．从A点射出的两个粒子在磁场中运动的时间之和为D．从b点离开磁场的粒子在磁场中运动的时间最长【答案】C【详解】AB．从A点射出的两个粒子的轨迹如图；两粒子在磁场中运动的半径相同，圆心尽在dc线上，由几何关系可知，两粒子从A点射出时速度方向垂直，且O2c=O1c=Ac=则粒子的轨道半径为由于解得选项AB错误；C．由几何关系可知，从A点射出的两个粒子在磁场中运动转过的圆心角之和为π，则运动时间之和为选项C正确；D．因粒子的轨道半径为；则有的粒子可以从dc边射出磁场，此粒子离开磁场运动的时间最长，为半个周期，选项D错误。故选C。6．如图所示，在等腰直角三角形BAC内充满着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。一群质量为m、电荷量为+q、速度为v的带正电粒子垂直AB边射入磁场，已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC边。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列判断中正确的是（）A．等腰三角形BAC中AB边的长度为B．粒子在磁场中运动的最长时间为C．从AB中点射入的粒子离开磁场时的位置与A点的距离为D．若仅将磁场反向，则粒子在磁场中运动的最长时间不变【答案】AB【详解】A．依题意可知在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹时半圆，轨迹圆的圆心在A点。且其轨迹与BC边相切。根据几何关系可知粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有联立，可得故A正确；B．粒子在磁场中匀速圆周运动的周期为根据上一选项分析，粒子轨迹所对应的圆心角度为90，则有故B正确；C．从AB中点射入的粒子，其轨迹为上面所分析的粒子轨迹向下平移得到此轨迹圆的圆心在A点的正下方，由几何关系可知，离开磁场时的位置与A点的距离必然小于轨迹半径r，即。故C错误；D．若仅将磁场反向，则粒子在磁场中将向上偏转，不会出现圆心角为90的轨迹，故最长时间将变小，故D错误。故选AB。7．如图所示，长方形的长，宽，、分别是、的中点，以为圆心、为半径的圆弧和以为圆心、为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度。一群不计重力、质量、电荷量的带正电粒子以速度沿垂直且垂直于磁场方向射入磁场区域，不计粒子间的相互作用，则下列判断正确的是（）A．从边射入的粒子，出射点全部分布在边B．从边射入的粒子，出射点全部分布在边C．从边射入的粒子，出射点分布在边D．从边射入的粒子，出射点全部通过点【答案】D【详解】粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，可得从边射入的粒子先做直线运动，设某一粒子从点