全国初中数学教师赛课一等奖人教版数学七年级上册（人教2024年新编）《列代数式表示数量关系》教学设计

第三章代数式3.1列代数式表示数量关系3.1列代数式表示数量关系（1）——代数式的意义【教学目标】1．在现实情境中理解用字母表示数的意义；2.能用字母表示数，理解什么是代数式；3．在具体情境中，能抽象数量关系并用字母与数的算式表示.【教学重点】分析数量关系，用字母与数的算式表示数量关系.【教学难点】分离基本量，用字母与数的算式表示数量关系.【教学过程】 一、情境导入问题1.在小学，我们学过用字母表示数，知道可以用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，这样的式子在数学中有重要作用，并在解决实际问题中有着广泛的应用，看下面的问题.

智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人可以1s完成5m²范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手8s可以采摘一个苹果.根据这些数据回答下列问题：

（1）该机器人10s能识别多大范围内的苹果？60s呢？ts呢？（2）该机器人识别nm²范围内的苹果需要多少秒？（3）若该机器人搭载了10个机械手，它与采摘工人同时工作1h，假设工人ms可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？

回答上面的问题，要用到含有字母的式子，即本章将要研究的代数式.通过对本章的学习，你将进一步体会到代数式可以简明地表示数量和数量关系，为后续学习打下基础。今天学习3.1列代数式表示数量关系（1）——代数式的意义（板书课题）二、合作探究活动一：认识用字母表示数量和数量关系问题2.实际问题中包含着一些数量和数量关系，可以用数学式子简明地表达.我们来探究问题1中，用字母表示数量和数量关系，这里有哪些量？数量和数量关系如何？怎样用字母表示？学生活动：问题1中（1）其中包含三个量：工作量、工作效率和工作时间，它们之间的关系为：工作量=工作效率×工作时间

探究：该机器人10s、60s、识别的范围（单位：m）.教师活动：引导学生由特殊到一般探究，对于任意时机器人识别的范围.强调数与字母、字母与字母相乘的书写方法.学生活动：类似地，对于问题（2），该机器人识别nm²范围内的苹果需要的时间是对于问题（3），机器人多采摘的苹果个数＝机器人采摘的苹果个数一工人采摘的苹果个数＝机器人的采摘效率×工作时间一工人的采摘效率×工作时间教师活动：引导学生由特殊到一般探究，用字母表示两个数量关系.活动二：认识代数式问题3.下面，再来看两个用含有字母的式子表示数量和数量关系的问题（1）一条河的水流速度是2.5km/h，船在静水中的速度是km/h，用式子表示船在这条河中顺水行驶的速度；

（2）一个正方形的边长是a，这个正方形的周长是多少？面积S呢？师生活动：探究问题（1），顺水行驶时，船的速度=船在静水中的速度十水流速度，因此，船在这条河中顺相同字母相乘，顺水行驶的速度是km/h探究问题（2），由正方形周长、面积公式，得，.问题4.从以上的例子中，你能说说什么代数式？书写时要注意什么？学生活动：讨论概括什么是代数式，用自己的语言描述.教师活动：评价学生的活动，并规范叙述，上述用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式.特别强调：1.单独的一个数或字母也是代数式；2.数与字母相乘时数字要写在字母的前面，数与字母或字母与字母相乘，乘号省略不写或写成“”.活动三：分析数量关系，用字母表示数量关系例1（1）苹果原价是元/kg，现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果的售价；（2）一个长方形的长是0.9m，宽是pm，用代数式表示这个长方形的面积；（3）某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年产量的2倍少10件，用代数式表示去年的产量；

（4）一个长方体水池底面的长和宽都是am，高是hm，池内水的体积占水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积.学生活动：讨论用字母表示上面的数，并写出结果.教师活动：评价学生的结果，规范写出结果：（1）苹果的售价是0.9p元/kg；（2）这个长方形的面积是0.9pm；（3）去年的产量是（2n一10）件；（4）由长方体的体积=长×宽×高，得这个长方体水池的容积是.活动四：说出代数式表示的实际意义问题5.在例1第（1）（2）题中，0.9p既可以表示苹果的售价，也可以表示长方形的面积，用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系，请你举出一些例子.学生活动：学生讨论，用自己的语言表达.教师活动：教师引导学生充分发表自己的想法，并给予评价.例2说出下列代数式的意义：

(1）2a+3；(2）2（a+3）；(3)ab；（4）x²+2x+8.学生活动：学生讨论，用自己的语言表达.教师活动：教师引导学生发表自己的想法，举例说明2a+3和2（a+3）数量关系的区别，并规范写出下列结论：（1）2a+3的意义是a的2倍与3的和；（2）2（a+3）的意义是a与3的和的2倍；(3)的意义是c除以a，b的积的商；（4）x²+2x+8的意义是x的平方，x的2倍，与8的和.三、强化巩固1.练习1、2.抽学生板演，其余学生独立完成，教师评价订正.2.拓展训练：某校七年级（1）班数学兴趣小组，课外活动时用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个三角形，第个图案中有个三角形，第个图案中有个三角形，第个图案中有个三角形，……，按此规律排列下去，请你探究如下问题：（1）第5个图案中三角形的个数；（2）第个图案中三角形的个数.学生讨论，并解答；教师点评订正.(参考答案：.(1)第个图形有三角形：（个）;第个图形有三角形：（个）;第个图形有三角形：（个）;第个图形有三角形：（个）;第5个图形有三角形：（个）.（2）第个图案中三角形的个数是：（个）.)四、总结拓展学生小组合作对知识总结：1.什么是代数式；2.代数式书写时应注意的问题3.代数式的意义.学生小组合作对思想方法总结：在具体情境中，能抽象数量关系并用字母与数的算式表示.从代数式的不同解释中能培养我们的发散思维.五、作业布置必做作业：课本练习第3题，习题3.1第1、2题选做作业：观察下面三行数：、、、、、．……①、、、、、．……②、、、、、．……③(1)按第①行数排列的规律，第7个数是______，第n个数是______（用含n的式子表示）．(2)观察第②行数与第①行数的关系，第②行第n个数是______（用含n的式子表示）；观察第③行数与第①行数的关系，第③行第n个数是______（用含n的式子表示）．(3)取每行数的第8个数，计算这三个数的和．【答案】（1）解：第个数，，第个数，，第个数，，第个数，，，据此，第几个数，其指数就是几，底数为，∴第个数为∶，第个数为∶；故答案为∶，；（2）解∶第个数，，第个数，，第个数，，，据此，第②行的数中，第个数比第①行的数中第个数小，∴第②行第个数为∶；第个数，，第个数，，第个数，，，据此，第③行的数中，第个数是第①行的数中第个数的，∴第③行第个数为∶；故答案为∶；；（3）解：第①行第个数为∶，第②行第个数为∶，第③行第个数为∶，∴．附：板书设计例1.例2.例1.例2.学生练习板演（拓展训练）课题：3.1列代数式表示数量关系（1）——代数式的意义活动一：认识用字母表示数量和数量关系活动二：认识代数式活动三：分析数量关系，用字用字母表示数量关系活动四：说出代数式表示的实际意义第三章代数式3.1列代数式表示数量关系3.1列代数式表示数量关系（2）——列代数式(教案)【教学目标】1．进一步理解字母表示数量关系的意义，能够列代数式表示数量关系；进一步体会列代数式的抽象概括的思维方法，和从特殊到一般，再由一般到特殊的过程.能进行实际问题中数量关系与代数式之间的转换，建立模型观念.【教学重点】分析数量关系，列代数式.【教学难点】分离基本量，列代数式.【教学过程】 一、情境导入在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是要列代数式.本节课学习3.1列代数式表示数量关系（2）——列代数式（板书课题）二、合作探究活动一：探究用代数式表示数量关系问题1.请思考如何用代数式表示a、b两数的和与差的积？学生活动：交流探讨先用字母表示两数的和,两数的差,再考虑它们的积.教师活动：参与学生活动，并进行评价，规范写出结果.说明如无特别说明，a，b两数的差都指.

活动二：列代数式表示数量关系

例1用代数式表示：

（1）购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为6元的饮料所需的钱数？

（2）把a元钱存入银行，存期3年，年利率为2.75%，到期时的利息是多少元？

（3）某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价是多少元？

学生活动：小组合作，探寻数量关系，用字母表示.（1）总钱数=2个面包的总价十3瓶饮料的总价；（2）利息=本金×年利率×存期；（3）现在的售价＝原来的标价一降价数.

教师活动：参与学生活动，并进行评价，规范写出结果，（1）购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为6元的饮料所需的钱数为（2a+36）元；（2）根据题意，得a×2.75%×3=8.25%a，因此到期时的利息为8.25%a元；（3）现在的售价为（1.1x一80）元.强调列代数式的结果要规范书写.例2甲、乙两地之间公路全长240km，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为km/h.

（1）汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？（2）如果汽车的行驶速度增加3km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？

学生活动：小组合作，根据路程、速度和时间数量关系和已知的数量关系，用字母表示.时间=路程速度，另外，早到的时间＝原来需要行驶的时间一加快速度后需要行驶的时间.教师活动：参与学生活动，并进行评价，规范写出结果.（1）汽车从甲地到乙地需要行驶（2）如果汽车的行驶速度增加3km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶.

汽车加快速度后可以早到

例3用代数式表示图中阴影部分的面积：(1)(2)师生活动：首先复习小学学习的长方形、圆的面积公式，具体分析图形中阴影部分是怎样得到的.(1)图中阴影部分是正方形中挖去一个圆后剩下的部分，且正方形的边长是a，圆的直径也是a，圆的半径是eq\f(a,2)；(2)图中阴影部分是长方形中挖去4个小正方形后剩下的部分，且长方形的长为a，宽为b，小正方形的边长为.教师示范写出结论：(1)；(2)三、强化巩固1.练习1、2、3.抽学生板演，其余学生独立完成，教师评价订正.2.拓展训练：为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如下所示是该市自来水收费价格见价目表．价目表每月用水量单价不超出的部分2元超出但不超出的部分4元超出的部分8元注：水费按月结算．(1)填空：若该户居民2月份用水，则应收水费元；(2)若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用的整式表示并化简）(3)若该户居民4，5月份共用水（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水，求该户居民4，5月份共交水费多少元？师生共同进行分析：（1）根据表格中的收费标准，求出水费即可；（2）根据a的范围，求出水费即可；（3）根据5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于，当4月份的用水量少于时，5月份用水量超过；4月份用水量不低于，但不超过时，5月份用水量不少于，但不超过；4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过但少于三种情况分别求出水费即可．学生写出结论，教师点评.参考答案：（1）根据题意得：（元）；（2）根据题意得：（元）；（3）由5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于，当4月份用水量少于时，5月份用水量超过，则4，5月份共交水费为（元）；当4月份用水量不低于，但不超过时，5月份用水量不少于，但不超过，则4，5月份交的水费为（元）；当4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过但少于，则4，5月份交的水费为（元）．综上所述，4，5月份交的水费为元或元或36元．四、总结拓展学生小组合作对知识总结：怎样分离数量关系列代数式.学生小组合作对思想方法总结：经历探索列代数式的过程，能进行实际问题中数量关系与代数式之间的转换，建立模型观念.五、作业布置必做作业：课本练习第4题，习题3.1第3、6、7题选做作业：习题3.1第8、10题附：板书设计例1.例2.例1.例2.例3.学生练习板演（拓展训练）课题：3.1列代数式表示数量关系（1）——代数式的意义活动一：探究用代数式表示数量关系活动二：列代数式表示数量关系第三章代数式3.1列代数式表示数量关系3.1列代数式表示数量关系（3）——列代数式表示反比例关系(教案)【教学目标】1．理解反比例关系，能够用代数式表示反比例关系；经历抽象反比例关系和用代数式表示反比例关系的过程，能进行反比例关系的实际问题中数量关系与代数式之间的转换，建立反比例关系模型观念.【教学重点】理解反比例关系，能够用代数式表示反比例关系.【教学难点】理解反比例关系.【教学过程】 一、情境导入我们一同来回忆本章引言中的问题（1）.机器人s能识别的范围是5m²，也就是说，机器人能识别的范围与所用时间的比值总是一定的（等于5）.因此机器人能识别的范围与所用时间是成正比例的量，它们成正比例关系.

一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是成正比例的量，它们成正比例关系，下面我们来讨论，如果工作量保持不变，工作时间与工作效率之间的关系.先看一个实际问题问题1.北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市在冬季奥运会前，某赛场计划造雪260000.解答下列问题

（1）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写下表每天造雪量/500052006500……造雪天数（2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？

学生活动：探讨问题包含几个量，它们之间有什么关系.问题包含三个量：造雪总量、每天造雪量和造雪天数，根据它们之间的关系计算每天造雪量为5000、5200、6500时，造雪天数，通过计算表中依次填52，50，40.

教师活动：参与学生讨论，引导学生观察每天造雪量和造雪天数这两个量的变化规律.可以发现，造雪天数随着每天造雪量的变大而变小，而且造雪天数与每天造雪量的乘积一定，总是260000.例如，5000×52=5200×50=6500×40=260000.

像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.本节课学习3.1列代数式表示数量关系（3）——列代数式表示反比例关系（板书课题）二、合作探究活动一：认识反比例关系问题2.什么样的两个量之间的关系叫反比例关系？如何用字母表示问题1中的两个之间的关系？学生活动：观察、猜想，用自己的语言表达？如何用字母表示问题1中两个相关联的量之间的关系？教师活动：参与学生讨论，并适时点拨引导.问题1中每天造雪量和造雪天数两个量分别用字母、表示，它们关系表示为：.问题3.如何将两个成反比例关系的量用字母表示？学生活动：学生从问题2得到启发，进行推广，考虑如何将两个成反比例关系的量用字母表示，并用自己语言表达.教师活动：引导学生类比问题2，评价学生的讨论，并规范表达.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系可以用或来表示，其中k叫作比例系数.

活动二：列代数式表示反比例关系例1如图3.1-1，四个圆柱形容器内部的底面积分别为10cm²，20cm²，30cm²，60cm².分别往这四个容器中注人300的水.

（1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？

（2）分别用x（单位：cm²）和y（单位：cm）

表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y图3.1-1与x的关系，y与x成什么比例关系？

教师活动：和学生共同分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系：圆柱体积的体积=底面积×高，.

学生活动：学生尝试解答.

教师活动：示范写出解题过程.问题4.思考：生活中，成反比例关系的例子是很常见的，例如，在购买某种物品时，总价一定，购