广东省河源市紫金县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年广东省河源市紫金县九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（3分）菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．四边相等 B．对角线相等 C．对角相等 D．邻角互补2．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝03．（3分）如图，已知点A的坐标为（﹣3，2），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O（）A．（﹣3，﹣2） B．（3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣2）4．（3分）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验试验总次数100200300500150020003000落在“心形线”内部的次数61931652467599961503落在“心形线”内部的频率0.6100.4650.5500.4920.5060.4980.501根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（）A．0.46 B．0.50 C．0.55 D．0.615．（3分）若x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，则m2+m+2025的值为（）A．2021 B．2025 C．2029 D．20306．（3分）通常情况下无色酚酞试液遇酸性溶液（或中性溶液）不变色，遇碱性溶液变为红色．实验室现有四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，已知这四种溶液分别是a．盐酸（呈酸性），b．白醋（呈酸性）（呈碱性），d．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小刚同时任选两瓶溶液用无色酚酞试液进行检测（）A． B． C． D．7．（3分）已知，则代数式的值为（）A． B． C． D．8．（3分）“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意下面列出的方程正确的是（）A． B． C．x（x﹣1）＝15 D．x（x+1）＝159．（3分）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．（）ncm210．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等实数根，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＜5且a≠2 C．a＜6且a≠2 D．a＜6二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．（3分）已知a，b，c，d是成比例线段，且a＝1，c＝3，那么d＝．12．（3分）若菱形的两条对角线分别为10cm，12cm，则它的面积是cm2．13．（3分）如图是某路口的部分通行路线示意图，一辆车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同．14．（3分）如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB＝26cmcm．15．（3分）如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为米．三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。16．（7分）解方程：3x（x﹣1）＝4（1﹣x）．17．（7分）光华小区为了避免电动车进入小区，准备修建一个电动车棚，一边利用长为10m的墙，在垂直墙的一边留下一个宽1m的门，当所围成的矩形电动车棚的长、宽分别是多少时2？18．（7分）如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于点E，求证：DE＝DF．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。19．（9分）如图，一个可以自由转动的转盘被分成4个相同的扇形，这些扇形内分别标有数字2，5，5，3，当转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，计为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．（1）转动转盘一次，转出的数字为2的概率是；（2）转动转盘两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次转出的数字之和是5的倍数的概率．20．（9分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P，N，Q分别在OA，OB，OD上，连接而成的四边形MPNQ是矩形21．（9分）在一个不透明的箱子中装有形状、大小均一样的小球，其中红色小球有3个，蓝色小球有1个．（1）从箱子中任意摸出两个小球，利用树状图或表格求两个小球颜色恰好不同的概率；（2）将摸出的小球全部放回后，又放入n个蓝色小球，摇晃均匀后任意摸出一个，经过大量反复的实验，发现摸到蓝色小球的概率约为五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。22．（13分）已知某平台在售的故宫文创产品书灯有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低50元，每天可以卖500件，若B系列产品每降1元（1）A系列产品和B系列产品的售价各是多少？（2）为了使B系列产品每天的销售额为96000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？23．（14分）【材料背景】在习题课上，老师让同学们以课本第22页的一道习题“如图1（习题图简化后），A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库P和Q分别位于AD和DC上（1）【独立思考】将课本习题条件中的PD＝QC去掉，将结论中的BP⊥AQ变为条件，其他条件不变（2）【合作交流】“祖冲之”小组的同学受此问题的启发提出：如图2，在正方形ABCD内有一点P，过点P作EF⊥GH，F分别在正方形的对边AD，BC上，H分别在正方形的对边AB，CD上（3）【拓展应用】“杨辉”小组的同学受“祖冲之”小组的启发，进一步拓展探究：如图3，将边长为10cm的正方形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点N在BC边上，并求折痕MN与线段DM的长．

2024-2025学年广东省河源市紫金县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（3分）菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．四边相等 B．对角线相等 C．对角相等 D．邻角互补【考点】矩形的性质；菱形的性质．【答案】A【分析】根据菱形的性质及矩形的性质，结合各选项进行判断即可得出答案．【解答】解：A、四边相等，故本选项符合题意；B、对角线相等，故本选项不符合题意；C、对角相等，矩形具有；D、邻角互补，故本选项不符合题意；故选：A．2．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0【考点】一元二次方程的定义．【答案】D【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程；B．方程x5+3＝是分式方程；C．方程x5﹣2y+4＝2是二元二次方程，选项C不符合题意；D．方程x2﹣2x+2＝0是一元二次方程，选项D符合题意．故选：D．3．（3分）如图，已知点A的坐标为（﹣3，2），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O（）A．（﹣3，﹣2） B．（3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣2）【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．【答案】B【分析】由菱形的性质可知点A和点C关于原点对称，结合条件可求得点C点的坐标．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵点O为坐标原点，∴点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称，∵A的坐标为（﹣3，2），∴C点坐标为（3，﹣2），故选：B．4．（3分）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验试验总次数100200300500150020003000落在“心形线”内部的次数61931652467599961503落在“心形线”内部的频率0.6100.4650.5500.4920.5060.4980.501根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（）A．0.46 B．0.50 C．0.55 D．0.61【考点】利用频率估计概率．【答案】B【分析】利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．【解答】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在0.50附近，则估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为0.50．故选：B．5．（3分）若x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，则m2+m+2025的值为（）A．2021 B．2025 C．2029 D．2030【考点】一元二次方程的解．【答案】C【分析】由x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，可得m2+m﹣4＝0，进而可得m2+m＝4，然后整体代入所求的式子当中求值即可．【解答】解：∵x＝m是方程x2+x﹣4＝5的根，∴m2+m﹣4＝3，∴m2+m＝4，∴m3+m+2025＝（m2+m）+2025＝4+2025＝2029．故选：C．6．（3分）通常情况下无色酚酞试液遇酸性溶液（或中性溶液）不变色，遇碱性溶液变为红色．实验室现有四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，已知这四种溶液分别是a．盐酸（呈酸性），b．白醋（呈酸性）（呈碱性），d．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小刚同时任选两瓶溶液用无色酚酞试液进行检测（）A． B． C． D．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【答案】C【分析】根据题意，先画出相应的树状图，然后即可求得两瓶溶液恰好都变红色的概率．【解答】解：树状图如下所示，由上可得，一共有12种等可能性，∴两瓶溶液恰好都变红色的概率为＝，故选：C．7．（3分）已知，则代数式的值为（）A． B． C． D．【考点】比例的性质．【答案】C【分析】将变形为，再把已知整体代入计算即可．【解答】解：∵，∴＝+1＝．故选：C．8．（3分）“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意下面列出的方程正确的是（）A． B． C．x（x﹣1）＝15 D．x（x+1）＝15【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【答案】A【分析】利用比赛的总场数＝参加比赛的班级球队数×（参加比赛的班级球队数﹣1）÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：．故选：A．9．（3分）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．（）ncm2【考点】正方形的性质．【答案】B【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n﹣1阴影部分的和．【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝．故选：B．10．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等实数根，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＜5且a≠2 C．a＜6且a≠2 D．a＜6【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【答案】C【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣2）＞0，即可求出答案．【解答】解：由题意得，Δ＝（﹣4）2﹣7（a﹣2）＞0，解得，a＜7，∵a≠2，∴a＜6且a≠2．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．（3分）已知a，b，c，d是成比例线段，且a＝1，c＝3，那么d＝6．【考点】比例线段．【答案】6．【分析】根据成比例线段的定义得到或，代入数值求解即可．【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，∴或，∵a＝1，b＝2，∴或，解得：d＝2，故答案为：6．12．（3分）若菱形的两条对角线分别为10cm，12cm，则它的面积是60cm2．【考点】菱形的性质．【答案】60．【分析】根据菱形的面积的关于对角线乘积的一半，进行求解即可．【解答】解：由题意，得：菱形的面积为4）；故答案为：60．13．（3分）如图是某路口的部分通行路线示意图，一辆车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同．【考点】列表法与树状图法．【答案】．【分析】画树状图可得出所有等可能的结果数以及该车从F口驶出的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中该车从F口驶出的结果有1种，∴该车从F口驶出的概率为．故答案为：．14．（3分）如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB＝26cm13cm．【考点】确定圆的条件．【答案】13．【分析】连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长．【解答】解：连接OP，∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，∴OP＝AB，∵AB＝26cm，∴OP＝13cm，故答案为：13．15．（3分）如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为1米．【考点】一元二次方程的应用．【答案】见试题解答内容【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532，整理，得x2﹣35x+34＝7．解得，x1＝1，x6＝34．∵34＞30（不合题意，舍去），∴x＝1．答：小道进出口的宽度应为1米．故答案为：5．三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。16．（7分）解方程：3x（x﹣1）＝4（1﹣x）．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【答案】x1＝1，x2＝﹣．【分析】根据因式分解法解一元二次方程进行计算即可．【解答】解：3x（x﹣1）＝2（1﹣x），3x（x﹣7）+4（x﹣1）＝7，（x﹣1）（3x+3）＝0，x﹣1＝2或3x+4＝8，解得：x1＝1，x2＝﹣．17．（7分）光华小区为了避免电动车进入小区，准备修建一个电动车棚，一边利用长为10m的墙，在垂直墙的一边留下一个宽1m的门，当所围成的矩形电动车棚的长、宽分别是多少时2？【考点】一元二次方程的应用．【答案】当所围成的矩形电动车棚的长是8m、宽是6m时，其面积为48m2．【分析】设BC的长为xm，则AB的长为m，根据所围成的矩形电动车棚的面积为48m2，列出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题．【解答】解：设BC的长为xm，则AB的长为m，根据题意得：x•＝48，整理得：x2﹣20x+96＝6，解得：x1＝8，x7＝12（不符合题意，舍去），∴＝＝4，答：当所围成的矩形电动车棚的长是8m、宽是6m时6．18．（7分）如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于点E，求证：DE＝DF．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．【答案】见解析．【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，∠A＝∠C，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BEA＝∠BFC＝90°，在△ABE与△CBF中，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF，∴AD﹣AE＝CD﹣CF，即DE＝DF．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。19．（9分）如图，一个可以自由转动的转盘被分成4个相同的扇形，这些扇形内分别标有数字2，5，5，3，当转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，计为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．（1）转动转盘一次，转出的数字为2的概率是；（2）转动转盘两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次转出的数字之和是5的倍数的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接根据概率公式计算；（2）先画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两次转出的数字之和是5的倍数的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）转动转盘一次，转出的数字为2的概率＝；故答案为：；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果，其中两次转出的数字之和是4的倍数的结果数为6种，所以这两次转出的数字之和是5的倍数的概率＝＝．20．（9分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P，N，Q分别在OA，OB，OD上，连接而成的四边形MPNQ是矩形【考点】矩形的判定与性质．【答案】证明见解答过程．【分析】由四边形MPNQ是矩形推导出∠MPN＝90°；OM＝OP＝ON＝OQ，进一步得到OA＝OB＝OC＝OD，即可解决问题．【解答】证明：∵四边形MPNQ是矩形，∴∠MPN＝90°，OM＝OP＝ON＝OQ，∵在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴四边形MPNQ是矩形．21．（9分）在一个不透明的箱子中装有形状、大小均一样的小球，其中红色小球有3个，蓝色小球有1个．（1）从箱子中任意摸出两个小球，利用树状图或表格求两个小球颜色恰好不同的概率；（2）将摸出的小球全部放回后，又放入n个蓝色小球，摇晃均匀后任意摸出一个，经过大量反复的实验，发现摸到蓝色小球的概率约为【考点】利用频率估计概率；列表法与树状图法．【答案】（1）．（2）5．【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可；（2）根据概率公式列出关于n的方程，解之即可．【解答】解：（1）列表如下：红红红蓝红（红，红）（红，红）（蓝，红）红（红，红）（红，红）（蓝，红）红（红，红）（红，红）（蓝，红）蓝（红，蓝）（红，蓝）（红，蓝）由表知，共有12种等可能结果，所以两个小球颜色恰好不同的概率为＝，（2）根据题意，得：＝，解得n＝7，经检验n＝5是分式方程的解，∴n＝5，答：n的值为5．五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。22．（13分）已知某平台在售的故宫文创产品书灯有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低50元，每天可以卖500件，若B系列产品每降1元（1）A系列产品和B系列产品的售价各是多少？（2）为了使B系列产品每天的销售额为96000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．【答案】（1）A系列产品的售价是100元/件，B系列产品的售价是150元/件；（2）B系列产品的实际售价应定为80元/件．【分析】（1）设A系列产品的售价是x元/件，则B系列产品的售价是（x+50）元/件，根据1000元购买A系列产品的数量与1500元购买B系列产品的数量相等，列出分式方程，解方程即可；（2）设B系列产品的实际售价应定为y元/件，则每天可以卖（2000﹣10y）件，根据B系列产品每天的销售额为96000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【解答】解：（1）设A系列产品的售价是x元/件，则B系列产品的售价是（x+50）元/件，根据题意得：＝，解得：x＝100，经检验，x＝100是所列方程的解，∴x+50＝100+50＝150，答：A系列产品的售价是100元/件，B系列产品的售价是150元/件；（2）设B系列产品的实际售价应定为y元/件，则每天可以卖500+10（150﹣y）＝（2000﹣10y）（件），根据题意得：y（2000﹣10y）＝96000，整理得：y2﹣200y+9600＝0，解得：y5＝80，y2＝120（不符合题意，舍去），答：B系列产品的实际售价应定为80元/件．23．（14分）【材料背景】在习题课上，老师让同学们以课本第22页的一道习题“如图1（习题图简化后），A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库P和Q分别位于AD和DC上（1）【独立思