函数的对称性与周期性问题【18类题型】-2025届高考数学复习专项突破（新高考专用）

重难点专题1-1函数对称性周期性问题

近4年考情

考题示例考点分析关联考点

2023年新高考2卷，第6题对称性与函数交点个数问题函数对称性的识别

导函与原函数数对称性问

2022年新高考1卷，第12题函数对称性与周期性题的转换，由平移关系得出

对称性

函数轴对称与中心对称的

2022年全国乙卷，第12题函数对称性与周期性抽象表示式，由对称性得出

周期

由平移关系得出对称性，再

2021年新高考2卷，第8题函数对称性与周期性

由对称性得出周期

由平移关系得出对称性，由

2021年甲卷（理），第12题函数对称性与周期性

对称性得出周期

函数轴对称与中心对称的

2021年甲卷（文），第12题函数对称性与周期性抽象表示式，由对称性得出

周期

模块一4热点题型解生（目录）

【题型1】识别对称轴，对称中心.................................................2

【题型2】由对称求解析式........................................................4

【题型3】由平移前后关系得出原函数对称性.......................................5

【题型4】与对称性有关的材料题.................................................6

【题型5】通过周期性求值或解析式...............................................8

【题型6】由对称性进而得出周期.................................................11

【题型7】类周期函数与倍增函数................................................21

【题型8】由中心对称求出函数中间值...........................................26

【题型9】由对称性求交点坐标的和..............................................29

【题型10］由解析式看出对称性.................................................36

【题型11】由对称性解函数不等式...............................................41

【题型12］由解析式看出对称中心再解函数不等式................................43

【题型13］由解析式看出对称轴再解函数不等式...................................46

【题型14］配凑后得出新函数的对称性...........................................49

【题型15】已知一个对称轴（中心）和周期.......................................49

【题型16］涉及导函数对称性问题...............................................56

【题型17］两个函数混合型......................................................68

【题型18］两个函数混合且涉及导数.............................................72

模块二1核心题型•举一反三（讲与练）

【题型1】识别对称轴，对称中心

核心•技巧

若/（〃Z+X）=/（7Z-X）,且F~=b/（X）关于X=Z?对称

/（m+x）+f（n-x）=2b,且=a/（x）关于（口力）对称

1.设“X）是定义域为R的奇函数，且〃1+X）=〃T）.若/)

A.

【答案】C

【巩固练习1】(多选题)己知函数“X)的定义域为R,/卜+。为奇函数，且对于任意xdR,都

有〃2—3x)=〃3x),则()

A./(%+1)=/(%)B.f=0

c./(X+2)为偶函数为奇函数

【答案】BCD

【解析】由〃2—3x)=〃3x),得((2—x)=f(x).

由/1x+3是奇函数，得了、+£|=-即〃力=一/(1_司，

所以〃2-x)=-/(l-x),即/(x+l)=-/(x),所以/(x+2)=/(x),故选项A错误；

由y(x)=_/(i—x),得了［£|=0,由/(x+i)=_/(x),得［］=一•/{1)，所以故

选项B正确；

由J(x+2)=/(x),/(2-x)=f(x),得〃2T)=〃2+X),即〃x+2)为偶函数，故选项C正确；

由/(x)=l/(l-x),/(x+2)=/(x),得=贝厅［一£|=一/''

即,［x-g)为奇函数，故选项D正确.

【巩固练习2】已知函数"x)=［匕的图象关于点对称，则。=()

A.1B.2C.eD.e2

【答案】C

【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得a=e.

【详解】由对称中心性质可知函数/(%)满足〃％)+〃2-=

o112

即------1-TZ---=----,

eA+ae~x+ae+。

整理可得e3T+e%+1+2ae=2e2+ael+ae2T,即e(e2r+e*-2e)=a(e*+e2T-2e),

解得a=e.

【题型2】由对称求解析式

核心•技巧/

一、把/(x)的图像关于尤=。对称，对称后的函数为g(x),则g(x)=/(2。一x)

证明:设对称后的点为(x,y),则点(2a-x,y)在/(x)上,i^y=f(2a-x),即g(x)=/(2a—x)

二、把/(x)的图像关于(a,Z?)对称，对称后的函数为g。)，则g(x)=26-/(2a-x)

证明：设对称后的点为(x,y),则点(2°-羽26-y)在/(x)上，代入可得—y=/(2a—x),则有,

y=2b-f(2a-x)即g(x)=2b-f(2a-x)

2.(2024・四川成都•三模)函数y=32,与y=3-2'的图象()

A.关于x=2对称B.关于x=l对称

C.关于x=:对称D.关于x对称

【答案】D

［分析］首先得到曲线y=3?工关于x=a的对称曲线为y=32(2a-x),再对比系数得到方程求出a,即

可得解.

【详解】因为曲线＞=32,关于X=a的对称曲线为y=32.r),即y=34a-2)

y=34"-2X与y=3「2'对比系数可知4a=1,解得a=：,

所以函数y=3”与y=3「2'的图象关于龙=：对称.

故选：D

【巩固练习1】若函数y=g(x)的图象与y=lnx的图象关于直线％=2对称，则g(x)=.

【答案】In(4—x)

【分析】利用对称的定义求解即可.

【详解】在函数y=g(x)的图象上任取一点(%,y),则点(x,y)关于直线x=2对称的点为(4

—x,y),且点(4—x,y)在函数y=lnx的图象上，所以y=ln(4—x),

即g(x)=ln(4—x),

故答案为：ln(4-x)

【题型3】由平移前后关系得出原函数对称性

核心•技巧

若已知/Onx+A)+c是奇(偶)函数求/(%)对称性

/(/nx+a)+b是偶函数/(无)关于x=。对称，/(mx+a)+b是奇函数/(x)关于(4力)对称

举个例子：

若/(2x+l)+3是奇函数

证：设/(x)关于对称，通过函数图像的平移和伸缩变换求出对6的值

/(X)/(%+1)/(2x+l)心+1)+3

对称中心(a,Z?)(1-17=1

,b+3

12)[b=-3

2024•江苏高邮•统考

3.定义在R上的函数丫=/(尤)和'=8(尤)的图象关于丫轴对称，且函数y=/Q-2)+l是奇函数，则

函数y=g(x)图象的对称中心为()

A.(2,1)B.(―2,—1)C.(-2,1)D.(2,-1)

【答案】D

【分析】利用奇函数的性质结合函数的对称性求解即可.

【详解】由题意得函数、=/(*-2)+1是奇函数，则y=/(元)关于(-2,-1)对称，

另知函数y=/(x)和y=g(x)的图象关于>轴对称，故y=g(x)关于(2,-1)对称

【巩固练习】已知函数/(X)的定义域为R,/。-2可为偶函数，/(x-l)为奇函数，贝ij()

A./(O)=OB./(-2)=0

C./(-3)=0D./(-5)=0

【答案】D

【详解】函数/(x)的定义域为R,由洋1-2为是偶函数,得/■(l+2x)=/(l-2x),即/(2-x)=/(x),

由/(x—1)为奇函数，得■/(-x-l)=-/(xT),f(―2—x)=—f(x),显然/(-1)=。,

因此〃2-幻=一/(一2-幻，即此4+x)=-=x),有〃0)=/(2)=-〃一2),

/(-3)=-/(1),/(-5)=-/(-1)=0,而八0),/■⑴的值都不确定，ABC错误，D正确

【题型4】与对称性有关的材料题

核心•技巧

结合材料得出结论，再解决问题

4.（多选）在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现:函数y=/（x）为奇函数的充要条件是y="X）

的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数y=/（元+。）-6为奇函数的充要条件是

y=/（x）的图象关于点尸⑼成中心对称.已知函数/（力=彳3+侬2+2m-4的图象关于（2,0）

成中心对称，则下列结论正确的是（）

A."2）=1B./（4）=4

C.m+n=-1D./（2+x）+/（2-x）=。

【答案】BCD

【分析】函数/（x）的图象关于（2,0）成中心对称，可得所以/（x+2）的图象关于原点对称，令％=0,

可求得利+〃=-1,故A错误,C正确；又/'（2+x）+/（2-x）=0,故D正确，令此式中无=2,可求得

/（4）,判断出选项B.

【详解】函数/（x）的图象关于（2,0）成中心对称，且由函数可得定义域为R,

所以/（x+2）的图象关于原点对称，

则/（0+2）=/（2）=8+4加+4月一4=0,

所以机+〃=-1,故A错误,C正确；

所以对任意xeR,都有〃2+x）+〃2-x）=0,故D正确；

在/■（2+x）+/（2—x）=0中令x=2得

/（4）+/（0）=0,且/（O）=T,

所以7（4）=4,故B正确

【巩固练习1】（多选）已知函数y=/（x）的图象关于P（a,»成中心对称图形的充要条件是

y=f（x+a）-b是奇函数，函数y=f（x）的图象关于x=a成轴对称图形的充要条件是y=f（x+a）是

偶函数.则下列说法正确的是（）

A./（刈=/-3彳2的对称中心为（1,一2）

B./(x)=X，-4/+6f-4x关于x=l对称

C./(冗)=2三x+?1的对称中心为(1,-2)

x-1

x—2

D./(x)=一一二的图象关于(-2,0)对称

x-4.x+5

【答案】AB

【分析】根据已知条件，结合函数的奇偶性、对称性对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，f(x)=x3-3x2,设g(%)=/(冗+l)+2=(x+l)3—3(%+1了+2

=d+3/+3%+1-3(X2+2%+1)+2=炉—3%,

g(-x)=(-x)3-3(-x)=-x3+3x=-^(x)为奇函数，

所以/(%)=/—3/的对称中心为(1,-2),所以A选项正确.

B选项,/(x)=x4-4x3+6x2-4x,

设g(x)=/(x+l)=(x+l)4-4(x+l)3+6(x+l)2-4(x+l)

—x4+4%3+6X2+4x+1—4+3%2+3x+1)+6(%？+2%+1)—4x—4=%,一1,

g(—X)=x4_l=g(x)为偶函数，

所以fM=--4x3+6x2-4%关于x=l对称，所以B选项正确.

"、年/，/、2x4-1、几/、(i\c2(x+l)+l2x+34x+3

C选项，f(x)=—,仅g(x)=〃rx+l)+2=------------—F2=----F2=----,

x-lx+l-lXX

g(-%)=---------=---------w-g(x),所以g(%)不是奇函数，所以C选项错误.

—XX

D选项一⑺二/W，设g3="7)=(x_2二(：2)+5=总占，

g(-x)=——-———,所以g(x)不是奇函数，所以D选项错误

x+8x+17

【巩固练习2】(2023上•湖南长沙•高一长沙一中校考)我们知道，函数y=/(x)的图象关于坐标原

点成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为：函数y=/(x)

的图象关于点尸(。,6)成中心对称图形的充要条件是函数，=/(*+。)-6为奇函数.

(D请你利用这个结论求得函数/("nJ+Bx2的对称中心为.

_2

(2)已知函数g(x)=qr^丁一尤3―3/与一次函数y=Z(x+l)—3有两个交点河(为,％),N(w，%)，

则为+%+%+%=.

【答案】(一1,2)-8

【分析】(1)将函数对称中心设出来，利用条件列方程组，解方程组可以得到对称中心坐标.

(2)利用结论进行分析，得到g(x)的对称中心为(-L-3),再根据y=%(x+l)-3恒过点(-1,-3),

得到点(-1,-3)为两个函数图像交点的中点,利用中点坐标公式计算推出无।+%+々+%的值.

【详解】(1)设点(。⑷为函数"％)=d+3无2图象的对称中心，

=/(%+«)—/?=(%+<2)3+3(X+6Z)2—b,贝1Jg(x)为奇函数，

所以g(—犬)=一g(%),艮!7(―x+^)3+3(——/?=——3(x+tz)2+b,

可得，3(〃+1)%?++3〃2—b=0,

所以(〃丁+l3=0/4=。,解得fa屋=—21，

所以函数=d+3x2的对称中心为(T,2).

故答案为：(—1,2)

(2)若函数y=/(x)的图象关于点尸(。/)成中心对称图形则函数y=〃%+。)-人为奇函数，所以

=一/(x+a)+b,即/(_%+〃)+/(%+〃)=2Z?,

所以函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件可转化为

〃一%+〃)+〃％+1)=2/7,

X3

因为g(-]+x)=(；+)；2_(_]+X)3_3(_]+x『_3___x+3X-2,

g(一]—x)=(；—-(-1-x)3-3(-l-x)2=3+x+工3_3工―2,

所以g(T+%)+g(T—x)=-6,

一丫+，

即g(X)=-------%—3x2对称中心为(-1,-3),

因为函数丁=左(了+1)-3的图像是恒过点(一1,-3)的直线，

所以交点“a,%),N(%，%)的中点为(T-3),

所以为+三=—1,%+%=_3,即%+必+尤2+%=-2-6=-8

22

【题型5】通过周期性求值或解析式

核心•技巧

(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据周期定义，从而求出函数的周期.

(2)利用函数的周期性，可以解决区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题.

周期函数的常见条件

一、若/(尤)+/(x+a)=c(c为常数)，则/。)周期为2a.

证明：令尤=尤+。=>/(尤+a)+/(x+2a)=c,两式相减得了(x+2a)-/(x)=0

即/(九+2。)=/(尤)，故7=2同

二、若/'(x+a)=二二，则T=2同(相对少见)

f(x)

证明：由/(x+a)=^~7，^/(x+2o!)=-~-=f(x)^T=2\a\

f(x)f(x+a)

三、其它周期条件

设函数y=/(x),xeR,a>Q,a1b.

(1)f[x+a)=f{x-a),则函数〃x)的周期为2a；

(2)若/(x+4)=-/(%),则函数的周期为2a；

若…一一焉,

(3)则函数的周期为2a;

(4)"+力看则函数/(X)的周期为2a;

(5)若〃x+a)=/(%+，)，则函数/(X)的周期为卜-年

(6)若函数“X)的图象关于直线x="与x=b对称，则函数“X)的周期为2弧-4；

(7)若函数“X)的图象既关于点子,0)对称,又关于点他,0)对称，则函数“X)的周期为2|6-同；

(8)若函数“X)的图象既关于直线％=。对称，又关于点(仇0)对称，则函数“X)的周期为4也-4；

(9)若函数/(%)是偶函数，且其图象关于直线x=a对称，则/(x)的周期为2a；

(10)若函数f(x)是奇函数，且其图象关于直线x=a对称，则〃x)的周期为4a.

三、周期与对称性的区分

1.若/'(%+a)=±/(x+J),则f(x)具有周期性;

2.若f(x+a)=±f(b-%),则f(x)具有对称性:

口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性”

5.(2024•陕西西安•二模)已知定义域为R的函数满足/(x+2)=-/(x),且当0<x<2时,

f(x)=y-\nx,贝ljf(211)=.

【答案】-3

【解析】由已知可得/(x+2)+/(x)=0,所以/(x+4)+/(x+2)=0,

所以/(x+4)=/(x),即7=4是函数〃x)的一个周期，

所以f(211)=f(3)=_/(l)=-(3i_lnl)=_3.

【巩固练习1】(多选)己知□(口)是定义在口上的函数，且对于任意实数□恒有口(口+2)=-□(□).当

□6[0,2]时，口(口)=一口2+2口.则()

A.口(口)为奇函数

B.□(口)在口e[2,4]上的解析式为口(口)=T-6—+8

C.□(口)的值域为[0,/]

D.□(7)+U(2)+_(3)+-+U(2022)=1

【答案】ABD

【分析】根据题意，分析可得区间[-2,0)上，□(□)的解析式，再分析函数口(口)的周期性，可得口(口)

的图象关于原点对称，由此分析选项是否正确，即可得答案.

【详解】根据题意，□€[-2⑼时，口+26[0,2],因为口6[。2]时，口(□)=—口2+2口，

所以口(口+2)=-(□+2>+2(口+2)=—口？-2口，

又由□(□+2)=-□(□),则□(□)=一□(□+2)=Q2+2Q,

即口(口)=口2+2口，□e[-2,0],

若□€1-2,0],则一口6[。2],□(—口)=一口2—2口=—(口2+2□)=一口(□),

若口6[0,2],则一一C[—2,0],u(-u)=U2-2U=-(-U2+2U)=-□(□),

故在区间[一2,2]上□(一口)=-□(□),所以□(口)关于原点对称，

又由□(□+2)=—则+4)=-□(□+2)=□(□),即函数□(口)是周期为4的周期函数，

故□(口)的图象关于原点对称，

由此分析选项：

对于A,□(口)的图象关于原点对称，口(口)为奇函数，故A正确；

对于B,当口€[2,4]时，则□一4€[—2,0],则□(□一4)=(□—4>+2(口—4)=口2—6口+8,

函数□(□)是周期为4的周期函数，则□(□)=□(□-4)=口2-6口+8,故B正确；

对于C,在区间[-2,0]上,口(□)=口2+2口=(口+/)2_/,则□(_/)=-/,口(一2)=在(0)=0,

所以一/三口(口)式0,故口(口)的值域一定不是[01],故C错误；

对于D,因为口6[。2]时，口(□)=一口2+2口，所以□(1)=/,0(2)=0,

又□(口+2)=-□(□),则□(口+2)+□(□)=0,

则有□(1)+口(3)=0,0(2)+□(4)=0,故□(1)+口(2)+口(3)+口(4)=0,

所以□(1)+口(2)+□⑶+­••+0(2022)

=[口⑺+口(2)+口(3)+□(4)]X505+0(2027)+0(2022)

=0(202；)+口(2022)

=□(/)+口(2)=1,故D正确

【巩固练习2】设□(□)是定义在口上的周期为2的偶函数，已知口G[2,3]时，口(口)=U,则口G[-2,0]

时，□(口)的解析式为□(1)=()

A.□+4B.2-□

C.3—|口+/|D.2—|U+11

【答案】C

【分析】根据已知函数的奇偶性和周期性，结合口G[2,3]时，□(□)=□,分别讨论口£[-2,一4和

□e的两种情况下对应的解析式，综合可得答案.

【详解】:□(□)是定义在□上的周期为2的偶函数，口6[2,3]时，口(□)=□,

时，(2+口)€[。/),(4+口)€[2,3),

此时□(口)=口(4+□)=《+□,

当0]时,(—□)e[0,1],(2—口)e[2,3],

此时u(u)=U(-O)=D(2-U)=2-U,

所以□(□)=(4+□=3TU+/|,_2WU<T

,()-I2-口=3-|口+W□W0'

综上可得：□G[-2,0]Ht,=5-|Q+/|

【题型6】由对称性进而得出周期

核心•技巧

一、若/(X)关于x和(仇C)对称，则T=4|a-4(类比三角函数)

证明：由对称轴可得/(%)=/(2。一九)，

由对称中心可得/(x)+fQb一九)=2c=>/(尤)=2c-f(2b-x)

则有f(2a-x)=2c-f(2b-x),

令x=2a—x,则有f(x)=2c-f(2b-2a+%)=>/(%)+f(2b-2a+x)=2c,

^r=2|2a-2Z?|=4|a-Z?|

三、若了(九)关于(a,c)和(4c)对称，则T=2|a-b|(类比三角函数)

「/(—九)+/(九+2。)=2c,,

证明：由对称性可得，,则/(x+2a)=/(x+2/?),故T=[2〃-2回

/(-x)+/(x+2Z?)=2c

四、若/(X)关于x=。和x=b对称，则T=2|a

/(-%)=f(x-2d)

证明：由对称性可得＜-)*2)加-犯故

2021全国甲卷(文)12题——由对称性得出周期性求值

6.设〃力是定义域为R的奇函数，且/(1+力=/(—力.若贝了《)=(

)

5I5

A.B.C.D.

333

【答案】C

【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得了[3]的值.

故选：C.

2021新高考2卷第8题——由对称性得出周期性求值

7.已知函数“尤)的定义域为R,/(x+2)为偶函数，/(2x+l)为奇函数，则()

A.=0B./(-1)=0C.〃2)=0D.44)=0

【答案】B

【分析】推导出函数/(尤)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出了。)=0,结合已知条件可得

出结论.

【详解】因为函数“X+2)为偶函数，则八2+")=/(2-元)，可得/(x+3)=/(l—X),

因为函数〃2x+l)为奇函数，则"1—2x)=—/(2x+l),所以，/(l-x)=-/(x+l),

所以,/(x+3)=-/(x+l)=/(x-l),即〃x)=/(x+4),

故函数”X)是以4为周期的周期函数，

因为函数F(x)=f(2x+l)为奇函数，则F(0)=f(l)=0,

故/(-1)=一/(1)=0,其它三个选项未知.

2024•广东省一模

8.(多选)已知偶函数Ax)的定义域为R,7(gx+1］为奇函数，且AM在［0,1］上单调递增，则下

列结论正确的是()

A./f-|］<0B.C./⑶<0D.喂|>0

【答案】BD

【分析】根据奇函数、偶函数的性质，首先推出函数为周期函数，再根据函数的单调性，判断函数

的符号，可得有关的结论.

【详解】因为“X)为偶函数，所以/(T)=/(X)；

因为/(gx+lj是R上的奇函数，所以/'(1)=0,

且/［若2)的图象是由/g)的图象向左平移2个单位得到的，所以的图象关于(2,0)点对称,

进一步得/(x)的图象关于点(1,0)中心对称，即/。+力=一〃1一到.

所以/(x+2)=/(l+(l+x))=-/(l-(l+x))=-/(-%)=-/(%),所以/(x+4)=-/(x+2)=/(x).

所以函数/(X)是周期函数，且周期为4;

又〃％)在［0,1］上单调递增，所以在［0』上,有f(x)<0.

所以函数的草图如下：

2024•安徽芜湖•二模

2024

9.已知函数〃尤)的定义域为R,且/(》+2)-2为奇函数，〃3x+l)为偶函数，"1)=0,则㈤

k=\

A.4036B.4040C.4044D.4048

【答案】D

【分析】根据题中/(%+2)-2为奇函数，/(3x+l)为偶函数，从而可得出为周期为4的函数，

从而可求解.

【详解】由题意得/(%+2)—2为奇函数，所以/(x+2)—2+/(—x+2)—2=0,即

〃X+2)+〃T+2)=4,所以函数关于点(2,2)中心对称，

由/'(3x+l)为偶函数，所以可得〃龙+1)为偶函数，则/(尤+1)=〃一尤+1),所以函数“X)关于直

线x=l对称，

所以/(x+2)=/(-x)=-/(-x+2),从而得〃x)=〃x+4),所以函数为周期为4的函数，

因为/(1)=0,所以/()+/(3)=4,则"3)=4,

因为〃龙)关于直线x=l对称，所以/(3)=〃—1)=4,

又因为关于点(2,2)对称，所以/⑵=2,

又因为/(4)=/(-2)=-/(0)，又因为/(一2)=/(-2+4)=〃2)=2,所以

f(l)+/(2)+/(3)+/(4)=8,

所以Wy(%)=：x[〃l)+〃2)+/(3)+/(4)]=4048,故D正确.

k=\4

10.已知函数/(X)的定义域为R,4X-2)为偶函数，+1)=0,当xe[-L0]时，

19

f(x)=x+l,则£/(左)=()

k=\

A.19B.0C.1D.-1

【答案】D

【分析】推导出函数/(X)是周期为4的周期函数，计算出了⑴、/'(2)、〃3)、7(4)的值，结合

19

函数的周期性可求得»化)的值.

k=l

【详解】因为〃X—2)是偶函数，所以小-2)=〃*2),

将x换为x+2，得/(x)=/(T-x)①(即对称轴x=-2),

又因为〃x-3)+/(—x+l)=。，所以/(x-3)=-/(—x+l),

将x换为x+3得/(x)=—/(—x—2)②(即对称中心(-1,0)).

由①②得/(Yr)=—/(T—2),

令t=-x—2，则-4-x=/_2,所以/«-2)=-/,

将/换x得/(x-2)=—/(x)③，

将f换为为x-2得/(x-4)=-/(x-2)④.

由③④得f(x—4)=/(x),将x换为x+4得/(x)=/(x+4)⑤

所以函数/(X)是周期为4的周期函数(由对称中心和对称轴也可直接得到周期为4),

当xe[T，0]时，〃x)=x+l,贝了(0)=1,〃T)=0,

由③得/(—2)=—/(0)=—1,由④得〃-3)=_〃-1)=0,

根据周期性⑤得：

/(1)=/(-3)=0,/(2)=/(-2)=-1,/(3)=/(-1)=0,/(4)=/(0)=1,

所以/(1)+〃2)+/(3)+〃4)=0-1+0+1=0,

又因为19=4x4+3,故

19

^f(/:)=4[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(l)+/(2)+/(3)=4x0+0-l+0=-l.

k=l

2024•山东济宁•一模

11.设函数八©定义域为R,〃2x-D为奇函数,/(工-2)为偶函数，当xe[0,l]时，f(x)=x2-l,

则了(2023)_/(2024)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】由f(2xT)为奇函数得到函数的对称中心，由/(x-2)为偶函数得到函数的对称轴，进一步

求得函数的周期，然后将/(2023)与/(2024)转化到已知区间求解即可.

【详解】因为函数f(x)定义域为R,/(2x-l)为奇函数，所以/'Qx-Dn-yX-Zx-l),所以函数f(x)

关于点(一1,0)中心对称，且/(-1)=0,

因为/'。-2)为偶函数，所以/■(x-2)=/(-x-2),所以函数/(x)关于直线x=-2轴对称，

又因为/'(x)=-〃-2-x)=-F(-2+x)=-[-7'(-4+x)],所以函数/(x)的周期为4,

因为当xe[0,l]时，f(x)=x2-l,

所以/(2023)=/(4x506-l)=/(-l)=0,/(2024)=/(4x506)=/(0)=-l,

所以/(2023)-”2024)=1.

12.(多选)已知函数〃x)的定义域为R,若/(2x-l)+〃3-2x)=2,且/(x-2)为偶函数，42)=2,

则()

A.〃x+4)=〃x)B.”2024)=0

25

c./(3)+f(9)=2D.£/(/)=25

1=1

【答案】BCD

【分析】首先根据函数既是中心对称又是轴对称，求得函数的周期，判断A,再根据函数周期和对

称性求值，并求函数值，判断BCD.

【详解】•••/(2左一1)+/(3—2x)=2,.•./(X)关于(1,1)对称

为偶函数，，“X)关于x=-2对称

.••“X)的周期7=4口一(-2)]=12,故A错；

〃2024)=〃T)0."(x)的周期为12)

/H)=/(O)(•.•“同关于“=一2对称)

/(O)=2—〃2)=0关于(U)对称)，故B正确；

/(9)=/(-3)(•••/(X)的周期为12)

/(-3)=/(-1)(•."(力关于兀=—2对称)

1)=2-"3)(•；〃x)关于(1,1)对称)

/(-1)+/(3)=2,即/(9)+〃3)=2,故C正确；

•."(X)的周期为12

...〃2)+〃3)+…+/(13)=/(14)+〃15)+…+〃25),

/(3)+/(-1)=2,又/(一1)=/(11),所以/(3)+/。1)=2,

同理/(4)+〃10)=2,/(5)+/(9)=2,〃6)+〃8)=2,

/(7)+/(-5)=2,又/(-5)=/⑺，所以2/⑺=2,即/(7)=1,

由/■(2%一1)+〃3-2无)=2,令％=1,得2〃1)=2,/(1)=1,

/(12)=/(0)=0,

所以/。)+〃2)+/(3)+…+/(12)=12,所以/(13)+/(14)+…+124)=12,

/(25)=/(1)=1,

25

Z/(i)=24+l=25,故D正确.

1=1

故选：BCD

2024•浙江•Z20第二次联考

13.函数是定义在R上的奇函数，满足==以下结论正确的是(

A./⑶=0B."4)=0

20232023

C.2/伏)=0D.£/(201)=0

k=lk=l

【答案】BC

【分析】首先由抽象函数的形状判断函数的周期，并求〃2),/(3),/(4)的值，即可求解.

【详解】由条件“1—x)=〃l+x),可知"2+尤)=〃一力=一〃尤)，

所以f(x+4)=—/(x+2)=/(x),

所以函数/(X)是周期为4的函数，

/(3)=/(-1)=-/(1)=1,故A错误；/(4)=/(0)=0,故B正确；

由条件〃l—x)=〃l+x),可知〃2)=〃0)=0,所以/⑴+〃2)+/⑶+/⑷=0

2023

£于也)=505[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+f(2021)+f(2022)+/(2023)"⑴+/⑵+”3)=0,故

k=l

C正确；

由函数的周期为4,且/⑴=一1,"3)=1,

2023

所以1)=/⑴+"3)+”5)+/⑺+…+”2021)+“2023)=0+/(2023)=/⑶=1,故D

k=l

错误.

2024•河北张家口•一模

14.已知定义在R上的函数〃x)满足：/(x)+f(2-x)=2,f(x)-f(4-x)=0,且"0)=2.若

2024

feN*,则Z")=()

1=1

A.506B.1012C.2024D.4048

【答案】C

【分析】根据条件得到函数“X)是周期为4的函数，再根据条件得出“1)，7(2),/(3),/(4),即

可求出结果.

【详解】•.•/(x)+/(2-x)=2,①

.•"(1+元)+/(2一(1+元))=2,

即/(l+x)+/(l-x)=2,所以〃1+同一1=一(〃1一%)-1),

所以函数“X)的图象关于(L1)对称,

令x=l,则/(1)+/(1)=2,所以

令龙=2,〃2)+〃0)=2,又〃0)=2,所以〃2)=0,

又,."⑺―〃4一刈=。，.-.f(2-x)=/(4-(2-x))=/(2+x),②

即函数“X)的图象关于直线32对称，〃3)=/⑴=1

且由①和②，得/(x)+/(2+x)=2=/(2+x)+/(4+x)=2,

所以f(x)=f(4+x),则函数的一个周期为4,

2024

则/(4)=7(0)=2,所以£f(i)=506[/(1)+f(2)+f(3)+/(4)]=506x(1+0+1+2)=2024.

4=1

【巩固练习1】(2024・湖南长沙.二模)已知定义在R上的函数/(%)是奇函数，对任意X6R都有

f(x+l)=f(l-x),当/(—3)=—2时，则/(2023)等于()

A.2B.-2C.0D.-4

【解题思路】根据函数的奇偶性和对称性推得函数/(x)的周期为4,利用周期性和奇函数特征即可

求得/'(2023)的值.

【解答过程】定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对任意xeR都有f(x+l)=f(l—x),

故函数/(%)的图象关于直线％=1对称，.*./(%)=f(2—%),故/(—%)=/(2+x)=—/(%),

.*./(%)=-f(2+%)=/(4+%),，/(%)是周期为4的周期函数.

则“2023)=f(505X4+3)=/(3)=-/(-3)=2.

【巩固练习2X2024.高三.辽宁营口・期末)设函数〃x)的定义域为R,〃尤+1)-3为奇函数，〃x+2)

2023

为偶函数，当xe［l,2］时，/(力=加+6.若+则/)

2

【答案】B

【解析】/(x+l)-3为奇函数，/(-X+1)+/(A：+1)=6,所以/(x)关于(1,3)对称，所以

/(x)=6-/(2-x)0,且"1)=3,

又〃x+2)为偶函数，/(-x+2)=/(x+2),则/(x)关于x=2对称，所以〃尤)=〃4一”②,

由①②可得/(4—x)=6-42—x),即f(x)=6-〃x+2),所以〃x+2)=6-/(x+4),

于是可得/(x)=/(x+4),所以/(x)的周期T=4,

则〃力=6-/(2-x)=6-/(2+x)=/(-x),所以/(x)为偶函数

则/(_1)+/(0)=/(1)+/(0)=1,所以/(0)=—2,所以/(2)=6-/(0)=8

_5

f(l]—a+b—3a3ri/、524

所以储2)=4j3解得V所以当，中，2]时，小)=§龙+§

r3

【巩固练习3］2021全国甲卷(理)12题

2

设函数“力的定义域为R,/(x+1)为奇函数，〃x+2)为偶函数，当xe［l,2］时，f(x)