高考数学导数大题热点50题训练试题（带答案解析）

高考数学导数大题热点50题训练试题(带答案解析)

2023导数大题热点50题训练

解答题(共50小题)

1.已知函数/(X)=?〃(工+/)-,其中4£火.

(1)当4=1时，求函数/(X)的单调区间；

a

(2)当X...0时，/(%)”一(sinx+cosx)恒成立，求实数a的取值范围.

a

2.已知函数/(x)=xe"-I,g(x)=txlnx—ex+1(ZeR).

(1)当％=1时，求证：g(%)在(0,+8)上单调递减；

(2)当工…1时，/(x)+g(x)...O,求，的取值范围.

3.已知函数/(x)=f+alnx{aGR).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若g(x)=/(%)-2x+l存在两个极值点，且不是函数g(x)的极小值点，求证：gOo)>；-;而2.

4.已知函数f(x)=e2x-ax-l(aGR).

(1)求的单调区间；

(2)若/(x)>0对X£(0,+oo)恒成立，求。的取值范围；

(3)证明：若/(x)在区间(0,+8)上存在唯一零点飞,贝！

5.已知函数〃刈=蛆-左.

X

(I)当左=0时，求曲线y=/(x)在点(e,/(e))处的切线方程；

(II)若/(%),,0恒成立，求实数左的取值范围；

(III)证明：In一■F/H—+...+/«—<—(——F—+...H——)(n>l,neN*).

23ne23n

6.已知/(x)=2"x+ax+2在x=\处的切线方程为y=-3x.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)/<%)是/(x)的导函数，证明：对任意xe[l,+oo),都有/(%)-/'(X),-2%+—+1.

7.已知函数f(x)=ex+kln(x+1)-GR).

(1)当后=1时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程;

(2)若对任意%£(l,+oo),都有/(x)...O,求实数左的取值范围;

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(3)当上.「工时，对任意的s,te[0,+00),且"和试比较八s)+「3与2/(s)-2f⑴的大小.

2s-t

8.已知函数f(x)=a(ex-x-1)-ln(x+1)+x,a.0.

(1)证明：/(x)存在唯一零点；

(2)设g(x)=ae"+x,若存在项，x2G(-1,+OO),使得/(再)=g(xj-g%)，证明：-2x2..l-2ln2.

9.已知函数/a)=>x—3x.

(1)求/(%)的单调区间；

(2)若Vx£(0,+8),/(x)<x(aex一4)+6,证明：a+b...O.

10.已知函数/(x)=,g(x)=2xex-Inx-x-ln2.

x

(1)若直线y=x是曲线y=/(x)的一条切线，求。的值；

(2)若对于任意的石£(0,+8),都存在％2£(0,+8)，使/a)...g(%2)成立，求。的取值范围.

11.已知函数/。)=吧-巴.

/ex

(1)若/(%)…0在，0]上恒成立，求实数。的取值范围；

(2)若°=1,判断关于x的方程/a上--1-在[(2左+1)/，(2左+2)泪(左eN*)内解的个数，并说明理由.

12.已知函数f(x)=ax2-x+(x+V)lnx.

(1)当4=0时，求/(X)的单调区间；

(2)若〃%)存在极值点，求实数。的取值范围.

13.已知函数/(x)=X2一妙(加£氏)，g(x)=-Inx.

(1)当加=1时,解方程/(x)=g(x);

(2)若对任意的再，X2G[-1,1],都有|/(再)2恒成立，试求加的取值范围;

(3)用脸""｝表示加，〃中的最小者，设函数3)=就“/3+3(»心。)’讨论关于X的方程

/7(X)=0的实数解的个数.

14.已知函数/(x)=/〃x.

(1)若函数y=/[/(x)]+/(x)的零点在区间伏，4+1)上，求正整数后的值；

(2)记g(x)=/[(3-(a)-2x,若g(x)„0对任意的xe[0,+对恒成立，求实数a的取值范围.

15.完成下列问题:

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(1)若关于x的不等式(1-⑼/+"：.2在［-历2,山2］上恒成立，求实数加的取值范围；

(2)已知二次函数/(%)的顶点为(-2,0),且与直线y=2%+3相切，若函数g(x)=/〃"(%)-向在区间［2,

+8)上单调递增，求实数左的取值范围.

16.已知函数/(x)=ax-ex+蛆>0).

a

(1)证明：当Q=1时，函数/(X)在区间(0,+8)上不是单调函数；

(2)证明：当〃£(0,e)时，/(%)<0对任意的、£(0,1)恒成立.

17.已知函数+(4一1)、一历工,aeR.

(I)讨论/(X)的单调性；

(II)当〃〉0时，证明/(幻…2—二.

2a

18.已知函数f(x)=ex+cosx-2.

(1)证明：函数/(%)只有一个零点；

(2)在区间(0,+8)上函数/(x)>ax-sinx恒成立，求a的取值范围.

19.已知函数/(%)="x1-cosx(x£［-见工］)•

ex2

(1)求证：函数〃%)在eg上单调递增；

(2)当］£［-肛-g时，旌出工.」/(%)+8$幻"一0051恒成立，求实数左的取值范围.

20.已知函数f(x)=Inx-ax+(2-2a)4x(aGR).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若a=l,—<t<e,且存在石£(工力，x2^［t,e),使得/(石)+/(%2)>/3,求实数，的取值范围.

ee

21.已知函数〃x)=mx-sinx,g(x)=axcosx-2sinx(a>0).

(1)若函数y=/(x)是(-oo,+oo)上的单调递增函数，求实数加的最小值；

⑵若陪1,且对任意xe［吟，都有不等式/("⑴成立，求实数”的取值范围.

22.已知函数/(X)=/〃X+Q,设4(西，/(%))，B(%2，/(%2))，且石，、2.

(1)若。=-1,求函数y=/(x)在尸(1,f(1))处的切线方程；

(2)证明：/⑺-/5)>,

X2-Xj2

23.已知函数/⑴=/外-小兀①^尺).若函数〃x)恰有两个不同的极值点再，x2(x,<x2).

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(1)求a的取值范围；

(2)是否存在实数a,使得[/(国)-/'(初2=[/每)]2成立？请说明理由.

24.已知函数/(x)=jJ-cosx(xe[-肛工]).

e*2

(i)求证：函数在[-肛g上单调递增；

(II)当0]时，左sinx.UXXl+cosxH-cosx恒成立，求实数左的取值范围.

25.已知函数/(力=，

(1)求曲线“X)在x=0处的切线/的方程，并证明除了切点以外，曲线/(x)都在直线/的上方；

(2)若不等式e*x-cosx...O对任意xe[0,+co)恒成立，求实数加的取值范围.

26.已知函数/(x)=a",其中0＜a＜l.

(1)求函数g(x)=/(x)-xGa的单调区间;

(2)若函数〃(工)=优-3^-/-工/〃。-。+(3-左)/〃。+(加2)2在工€[1,+co)上存在零点，求实数人的取值范

围.

27.已知函数/(x)=e*.

(1)求曲线〃x)在x=0处的切线/的方程，并证明除了切点以外，曲线〃x)都在直线/的上方；

(2)当犯，1时，证明不等式e*-加x-cosx...O,在xe[0,+co)上恒成立.

28.已知函数/(x)=e£-婀-1.

X

(1)求曲线＞=/(%)在点a，/(1))处的切线方程；

(2)若函数g(X)=/(%)-3有两个零点七，x2(其中石＜、2)，且不等式再炉+2X2*＞加恒成立，求实数加

的取值范围.

29.已知函数f(x)=ex-ax+e2-7.

(1)当4=2时，求曲线y=/(x)在x=2处的切线方程；

(2)若对任意的X...0,“X)…恒成立，求a的取值范围.

30.已知函数/(x)=x2-4x+4+alnx.

(1)讨论/(%)的单调性；

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(2)若“X)有2个不同的极值点再，％2(再<%2)，求证："再)+X；〉3.

x24

31.设函数f(x)=ax(2-cosx)-sinx.

(1)当Q=1时，求/(x)在［0,加上的最值；

(2)对X/x£(0,+oo),不等式/(x)〉0恒成立，求实数a的取值范围.

32.已知函数f(x)=ex-ax+e2.

(1)当q=2时，讨论/(x)的单调性；

(2)若/(%)有两个不同的零点，求。的取值范围.

33.已知函数/(x)=x(/几工一；工一1),h(x)=(a-3)x+(1-«+x)lnx-1.

(1)尸(x)=△2，求尸(x)的最值；

X

(2)若函数g(x)=〃(x)-/(x)恰有两个不同的零点，求。的取值范围.

34.已知函数/(刈=理-巴.

exex

(1)若/(月…。在，0］上恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若a=l,判断关于x的方程/⑴二-4在仁4+1)］，(24+2)乃］(左eN*)内解的个数，并说明理由.

e71

35.已知函数/(x)=xlnx+2ax2-2.

(1)若函数7=/(%)的导函数为/'(x),讨论函数/'(%)零点的个数;

17

(2)当a=l时，函数〃(x)=/(x)-一-x在定义域内的两个极值点为玉，x(0<<x),试比较占•考与

82Xl2

e3的大小，并说明理由.

36.已知函数/(x)=sinx-axcosx.

(1)当4=1时，求曲线y=〃x)在xg处的切线方程；

(2)对任意的x£(0,+oo),都有f(x)<ax2+ax,求a的取值范围.

a2

37.已知函数/(工)=1/"+(4—2)e'—r/'(x)为函数/(x)的导函数.

(1)讨论了'(X)的单调性；

-2

(2)右匹，12(玉<々)为/(x)的极值点，证明：x-x<ln(3-a)-Ina+——1.

2一xa

38.已知函数/(x)=x-a历(1+x).

(1)讨论/(%)的单调性；

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(2)当4=1时，证明/(x)...O；

(3)证明对于任意正整数"，IPW-+—+—+—1—+—>2/»2.

nH+1〃+24〃-14〃

39.已知函数/(x)=axe*-gx2-x.

(1)讨论/(X)在(0,+8)上的单调性;

2-X1-X2

(2)若°>0时，方程/'(x)=/"x-；/有两个不等实根X],x?,求证：XjX2>e.

40.已知x>-l,证明：

(1)ex-l.x.Jn(x+1)；

(2)(ex-l)ln(x+1)..£.

41.已知函数f(x)=e2x+(1-2a)ex-ax(aGR).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(%)有两个零点，求。的取值范围.

42.已知函数f(x)=aex-ax-\(a0).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)当时，证明：/(x)>21nx-2x+2.

43.已知函数/(x)=alnx+——ex.

a

(1)若4=1,证明：/(X)存在唯一极值点.

(2)若a〉L证明：VXG(0,1),/(x)<0.

e

44.已知/(%)=勿、一"，g(x)=x+lnm(mGR,m>0)

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)当。=-1时，若不等式ega)+g(x).J(x)在％£(0,+8)上恒成立，求加的取值范围(e为自然对数的底

数)

45.已知4£尺，函数/(X)=+Q(1.

(1)若/(X)”。恒成立，求4的取值范围；

(2)过原点分别作曲线>=/(幻和>="的切线/]和(，试问：是否存在。>0,使得切线4和。的斜率互

为倒数？请说明理由.

x

46.已知函数f(x)=ae-bx-c(0<a<l9b>0).

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(1)若a=b,求/(%)的极值；

*Ak

(2)若项，%2是/(%)的两个零点，且演>%2，证明：一+---->一.

al-aa

47.已知函数/*)=小关+±(左€五).

x+1

(1)若/(x)在定义域上具有唯一单调性，求左的取值范围；

2(x-—)

(2)当％£(1,2)时，证明：(2-x)ex-2x2+x<0.

48.已知函数，(x)="-xlnx-a(aGR).

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)当0</1时，/(戏,0恒成立，求实数。的取值范围；

/。、、儿"r*历1ln2Innn(n-l)

(3)设〃EN,求证：一+—+…+----„—-----.

23H+14

49.已知函数/(x)=2sinx-冰，aeR.

(1)若是&上的单调递增函数，求实数。的取值范围；

■7T

(2)当。=1时，求g(%)=/(%)->(％+1)在［0=］上的最小值;

6

(3)证明：sin—+sin-+sin—+---+sin—.

234n2

50.已知定义在(0,+8)上的函数〃x)=VLe"，

(1)若4£火，讨论/(X)的单调性；

(2)若a>0,且当xe(0,+oo)时，不等式(^产…处恒成立，求实数〃的取值范围.

xax

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参考答案与试题解析

一.解答题(共50小题)

1.已知函数/(x)='|■>(％+/)-,其中QER.

(1)当0=1时，求函数/(X)的单调区间；

a

(2)当X...0时，/(x),±(sinx+cosx)恒成立，求实数a的取值范围.

a

s4,----.

【分析】(1)当。=§时，/(》)=三历(丫+1)-\/》+2的定义域为(T,+oo),求导，分析/<x)的符号，/(X)的

单调性.

(2)利用端点值确定。的必要性区间，利用三角函数的分界性，分区间讨论，利用放缩和估值法，讨论。的

范围，进而可求.

【解答】解：⑴当。、时，/(防=辛心+1)-而1的定义域为(一1,+8),

、418,x+2-3(X+2)+3-(3&+2+1)(或+2-3)

则J(%)=-----------1------------/-----------------/-----,

3(%+1)2yjx+26(x+l)Jx+26(x+1)vr+2

当l<Jx+2<3时,即-l<x<7时，/(x)>0,函数单调递增，

当Jx+2>3时,即x>7时，f'(x)<0,函数单调递减,

所以函数“X)单调递增区间为(-1,7),单调递减区间为(7,+oo)；

(2)证明：设g(x)=3(sinx+cosx),由40)=-&,g(0)=3,

aa

解得Q”-----或。>0,

2

①当〃>0时，f(3)=aln2-y/5,g(x)=sin(x+—),

1a4

当包)时，g(x)单调递减，

44

g、imJE3A/2.7〃3A/2

所以g(3)<g(——)=---sin—=----,

12a62。

alnl-V5<,则a/n2+3近一<小,

2a2a

因为q2历2.士2=J6行02(当且仅当aln2=£!■时等号成立),

2av2a2a

又因为,60打2

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所以<611rl2一45,

2a

此时f(x)„g(x)不成立，即。〉0不合题意，

②当4,-当时，/(x)为减函数，

-3-72I----r-

当x£［0,工)时，/(x)-g(x)=—ln(x+1)-Vx+2--(sinx+cosx)„ln(x+1)-4+2+也(sinx+cosx)，

42a4

_aB____

令h(x)=--—ln(x+1)-令+2+^^sinx+cosx),贝！J〃(0)=0,

所以h'(x)=-----------,+&(cosx-sinx),

4(x+l)2^+2

此时〃(0)=0,

h"(x)=-30,H------11---V5(sinx+cosx)=_3s,t-----J——2sin(x+3，

4(x+l)24(V7+2)34(X+1)24(A^+2)34

当xe［。’字时，小)单调递减’〃⑺"(。)<。，

所以〃(x)在［0,?)上单调递减，又〃(0)=0,

所以在［0,?)上〃(町,0,

所以〃(x)在［0,7)上单调递减，又〃(0)=0,

所以在［0,?)上/?(x)„0,

即当xe［。,辛时，山…)恒成立'

当工£［(,+00)时,

f(X)=3+1)-Jx+2”33ln(x+1)-Jx+2”3f/几q+1)-J?+2

X-+1>1.78>V^,-+2>2.78>2.56=1.62,

44

所以/(x)〈三鼠(@_立^=［^_|<_2,

,、3行,

g(x)…---…-2,

a

所以当无呜，+00)时，〃x),,g(x)恒成立,

故a的取值范围为(-8,-呼］.

【点评】本题考查导数的综合应用，考查了不等式的恒成立求解参数范围，体现了分类讨论及转化思想的

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应用，属于中档题.

2.已知函数/(x)=xe"-I,g(x)=txlnx—ex+1(ZeR).

(1)当，=1时，求证：g(x)在(0,+oo)上单调递减；

(2)当工…1时，/(x)+g(x)...O,求，的取值范围.

【分析】(1)把r=1代入，先对函数求导，结合导数即可判断函数的单调性；

(2)由2知不等式整理可得X.』时,(x-l)ex-x2+txlnx+1..0(*),构造函数/z(x)=(x-l)e"-Y+1,

X.1,对〃(x)求导，结合导数与单调性关系及函数性质可求.

【解答】(1)证明：当£=1时，g(x)=xlnx-ex+\,

则g'(x)=lnx+l-ex,

所以g"(x)=』-e，在(0,+8)上单调递减，g"(-)=2-V^>0,g"(1)=l-e<0,

x2

故存在天£(［，1),使得g"(Xo)='—/。=o,即/=-加：0，

2%

当xe(O,%o)时,g"(x)〉0,g<x)单调递增,当X£(%0,+8)时,g"(x)<0,g%r)单调递减,

所以g'(x),,g'(x())=lnxQ+1——IHXQ+1-----——x0+1------<0，

%%

故g(x)在(0,+8)上单调递减；

(2)解：当x…1时，/(x)+g(x)…0，

则入..』时，(x—l)ex—x2+txlnx+1..0(*),

令h(x)=(x—l)ex—x2+txlnx+1,x..』，

贝!Jh\x)=xex-2x+tlnx+/,h(1)=0,

若使得(*)成立且〃(1)=0,则/(1)=t+e-2..O,即£.2—e,

下面证明当£.2-e时，hg..h(1)在工」时恒成立，

因为X..1，/〃x+l〉0,

所以〃(%)..x(ex-2)+(2-e)(l+Inx),

又历x+l,x,当且仅当x=l时取等号，

所以〃(%)../(/-2)+(2-e)x=x(ex-e)...O,

故〃(x)单调递增，h(x)...h(1)=0,即(*)恒成立,

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故/的取值范围为［2-e,+00).

【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化

思想的应用，属于中档题.

3.已知函数=玩v(ae火).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若g(x)=/(x)-2x+l存在两个极值点，且不是函数g(x)的极小值点，求证：g(Xo)>：-g/"2.

【分析】(1)对函数求导，利用导函数与函数单调性的关系即可求解.

(2)利用条件/是函数的极值点，确定°的数值，然后证明：g(x0)>|-1z»2.

【解答】解：(1)函数的定义域为(0,+oo),_T(X)=2X+@=2/，

XX

当a.O时，/'(x)>0恒成立，函数/(x)在(0,+00)上单调递增；

当a<0时，令/(X)=0,得x=或x=-卜g"(不合题意，舍去)，

贝UO<x<j|时，f'(x)<0,当时，f'(x)>0,

二函数/(x)在(0,后)上单调递减，在(*，+◎上单调递增.

综上，当a..O时，函数在(0,+8)上单调递增；

当a<0时，函数〃x)在(0,白)上单调递减，在(弓，+◎上单调递增.

(2)证明：,/g(x)=M一2%+1+alnx,

g\x)=2x-2+—=

x

,・,函数g(x)存在两个极值点，设两个极值点为再，%,

/.Xj,x0是方程2-—2%+。=0的两个不同的正根，

—4—8a>0,—>0,「.0<。<2，再+/=1,

•・・函数y=2f—2x+a开口向上，与x轴交于两点，%是函数g(x)的极小值点,

玉<%0,从而；</<1,

由—2x0+a=0,得a=—2片+2XQ9XQG(—,1),

g(x())=(尤。-I)?+(2x0-2x；)lnx0,

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设恤)=Q-1)2+(2?-2f2)/«?(!<?<1),

■.■h'(t)=2(l-2t)lnt>0,

,2)在(；,1)上递增，

/7(0>A(1)=|-1Z»2,

/、

g(x0)>11]1历,C2.

【点评】本题的考点是利用导数研究函数的单调性，以及函数的极值问题.对于参数问题要注意进行分类

讨论，属于中档题.

4.已知函数/(x)=/*_办_1(。eR).

(1)求/(x)的单调区间；

(2)若/(x)>0对xe(0,+co)恒成立，求a的取值范围；

(3)证明：若〃x)在区间(0,+⑹上存在唯一零点％,则/<a-2.

【分析】(1)讨论以0、。>0,结合导数的符号确定单调区间；

(2)由f'(x)=2e2x-a,讨论与2、a>2研究导数符号判断/(x)单调性，进而判断题设不等式是否恒成立,

即可得参数范围；

(3)根据(2)结论及零点存在性确定a>2时“X)在(；)],+00)上存在唯一零点，由零点性质及区间单调

性，应用分析法将问题转化为证/(4-2)>0在。>2上恒成立，即可证结论.

【解答】解：(1)由题设_f(x)=2e2"-a,

当q,0时，/'(x)>0,则/(x)在R上递增;

当4>0时，

令尸(外<0,得x<；吗,/(X)在(一8,m吟)上递减；

令/'(x)>0,得x>；山/(x)在(；/吟,+8)上递增；

综上，a,0时，“X)的递增区间为R,无递减区间；a>0时，/(x)的递减区间为(-00、力学，递增区间

为2，+0°^,

(2)由f(x)=2e2x-a,

当为2时，/(x)>0在(0,+oo)上恒成立，故在(0,+8)上递增，则/(x)>〃0)=0,满足要求;

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当a>2时，由(1)知：“X)在(-oo」勿巴)上递减，在d勿区,+oo)上递增，|Tff-/«->0,

222222

所以/⑴在(0,；/吟)上递减，在(；%,+00)上递增，要使/(x)〉0对X£(0,+oo)恒成立，

所以，只需/d■勿区)=区一区历乌一1〉0,

22222

令g(x)=x—x而%—1且%>1，贝!Jg'(x)=—而x<0,即g(x)递减，

所以g(x)<g(1)=0,故在x£(0,+oo)上/(x)>0不存在。>2；

综上，名2,即实数a的取值范围为(-8,2］；

(3)证明：由(2)知:%2时，在(0,+oo)恒有/(幻>0,故不可能有零点;

a>2时，/(x)在(。［呜)上递减，在(：/吟,+◎上递增，且/,(0)=0，

所以(。］%)上〃>)<0，无零点，即)"|)<0，且x趋向于正无穷时/(x)趋向正无穷，

所以，在(；/吟,+00)上存在唯一X。，使/'(尤0)=02'。-1=0,

要证X。<a-2,只需/(a-2)=e2(2)--2)-1>0在a>2上恒成立即可,

令t=a-2>Q,若〃")=e”_®+2)_］,则/⑺=2(e"—1),

令p(t)=e2,-t-l,则p'S=2e"-1>0,即p(t)在(0,+oo)上递增,故p(t)>〃(0)=0,

所以〃。)>0,即2)在(0,+8)上递增，故为⑺>刀(0)=0,

所以/(。_2)=62(-2)_纵._2)_1>0在°>2上恒成立，得证；

故X。<a—2,得证.

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能

力及运算求解能力，属于中档题.

5.已知函数〃x)=蛆-旌

X

(I)当左=0时，求曲线y=/(x)在点(e,f(e))处的切线方程；

(II)若/(x),,0恒成立，求实数4的取值范围；

(III)证明：ln—+ln—+...+ln—<—(—+—+...+—)(»>l,neN*).

23ne23n

【分析】(I)当左=0时，函数/(x)=妈，f(e)=-,利用导数的运算法则可得广(x),即可得出广(e),

xe

利用点斜式即可得出曲线y=/(x)在点(e,/(e))处的切线方程.

高考数学导数大题热点50题训练试题(带答案解析)

(II)“X),,0恒成立，化为左..①的最大值，由/(x)=上?,f(e)=0,利用导数研究其单调性即

XX

可得出极值与最值，进而得出实数左的取值范围.

(III)由(II)可得：—„-,可得历x,L,xe(0,+oo),分别令x=L-,,利用累加求和方

xee23n

法即可证明结论.

【解答】解：(I)当人=0时，函数/(%)=—

仆)=可

X

f(e)=0,

二.曲线y=/(x)在点(e,f(e))处的切线方程为》-，=0.

e

(II)/(x),0恒成立，化为上.‘竺的最大值,

X

由/'(')=与竺，/'(e)=0,

x

可得x£(0,e)时，f\x)>0,函数/(%)单调递增；x£®+oo)时，/\%)<0,函数/(幻单调递减.

.•.x=e时，函数/(x)取得极大值即最大值，f(e)=-.

e

k..，

e

，实数后的取值范围为d，+00).

e

lyiY11

(HI)证明：由(II)可得：—„:.lnx「x,xe(0,+oo),

xee

分别令x=』，...，1,

23n

mil7111,1117111

2e23e3nen

.In—FIn—F...+In-<一(—I---F...+-)(«>1,nGN*).

23ne23n

【点评】本题考查了利用导数研究其单调性与极值及最值、切线方程、累加求和方法、不等式的证明，考

查了推理能力与计算能力，属于中档题.

6.已知/(x)=2lnx+ax+—^.x=1处的切线方程为y=-3x.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)/(%)是/(x)的导函数，证明：对任意XG[1,+oo),都有/(%)-/'(X),-2%+—+1.

【分析】(1)根据条件得到关于4,6的方程，即可得到结果;

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(2)根据题意，令g(x)=〃x)-/'(X)-(-2x+,+l),然后求导得到其在xe[l,+00)上的最大值，即可得

X

证.

【解答】解：(1)由题意可得，f(1)=a+b=-3f且f\x)=—+a—■%,贝U/'(1)=2+q—6=—3,即

xx

a-b=-5，

则。=-4,b=1,

所以/(x)=2lnx-4x+—；

x

i?1

(2)证明：由(1)可知,f(x)=2lnx-4x+-,f\x)=一一4一~

XXX

所以/(%)_/(%)=2万x-4%--+-^-+4,

xx

g(x)=21nx—4x---1——+4-(—2xH---F1)=2lnx—2x----1——+3,

'XXXXX

则g,(x)=-2+1-餐=一2(1-qa+x),

XXXX

所以X...1时，g'(x)=-2(j?a+x),,0,

X

即g(x)在XE[1,+00)上单调递减，

所以g(x)”g(1),即g(x)=2/nx—4x---1--r+4—(—2x-f---卜1)„0，

xxx

所以/(x)-/'(X)_(-2x+-+1)„0,即/(%)-f'g,-2X+-+1.

XX

【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，考查逻辑

推理能力及运算求解能力，属于中档题.

7.已知函数/'(》)=炉+左/”(工+1)-1(左€尺).

(1)当左=1时，求曲线y=〃x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若对任意xe(l,+oo),者隋/(x)…0,求实数左的取值范围;

(3)当上..-工时，对任意的s,;e[0,+oo),且sw/,试比较八s)+f'S与2/(s)-2f⑴的大小.

2s-t

【分析】(1)利用导数几何意义求切线方程；

(2)由已知不等式恒成立且"0)=0知/'(0)=0,进而求得左=-1,再代入y=/(x)应用导数研究〃x)…0

恒成立，根据充要关系确定参数值；

(3)设s>>..0,构造8(5)=[7")+尸(。](5—)-2[/($)-/(切，利用导数研究g(s)单调性,进而确定其函

数值符号，即可证结论.

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【解答】解：(1)当斤=1时/(x)=/+/〃(尤+1)-1,/(0)=0,所以/'(X)=/+」一，/'(0)=2,

X+1

所以>=〃x)在点(0，/(0))处的切线方程为2x-y=0.

(2)对Vxe(-1,+8)都有/(x)...O且〃0)=0,而/(»=6工+上,则/(0)=1+左=0,

X+1

所以后=-1,止匕时/(无)=+故r(x)=g(x)=e，—一—,贝l]g'(x)=/+—

X+1(X+1)

在xe(-l,+oo)上,g\x)>0,即g(x)=/(x)单调递增，且八0)=0,

当xw(-1,0)时，/\0)<0,/(x)单调递减,当xw(0,+oo)时，/'(0)>0,/(x)单调递增,

所以/(x).J(0)=0,满足题意,

综上，k=—1.

(3)不妨设s1.O,令g(s)=Lr(s)+r(/)Ks—)-2[/(s)-/«)],

所以g'(s)=/W-0+,则g"(s)=尸(s)(s-f),

又…V'

且x>0,

2k1

当上U(x)="+------c---------,而e*>1,----<1,

(X+1)3…(X+1)3(x+l)3

所以/”(x)>0,故g"(x)=〃(s)(s—)>0，g'⑸在(0,+8)上单调递增,

所以g'(s)>g，《)=0,所以g(s)单调递增，故g(s)>g(f)=0,

所以g(s)=[『(s)+/'(初(s-f)-2[/(s)-/⑺]>0,即以⑸+=(/)>2/⑻-2"。.

s-t

【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立

问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题.

8.已知函数/(%)=〃(/一%-1)一>(x+l)+x,a..O.

(1)证明：/(x)存在唯一零点；

(2)设g(x)=ae”+x,若存在再，x2G(-1,+OO),使得/(石)=g(%J-g(%2)，证明：-2x2..l-2ln2.

【分析】(1)利用导函数求/(%)单调性，结合/(0)=0即可求解.

(2)由题意可得历($+1)+〃(项+i)="*+马，若王是方程打(、+1)+〃(、+1)=6的根，则历(占+i)是方程

ae'+x=6的根，所以工2=》(再+1)，玉-2%2=玉-2/〃(玉+1),再利用导函数求1-2历(x+1)的最小值即可.

【解答】证明：(1)由题意可得了'(x)=a(e，-l)-——+1,

X+1

11

记产(%)=f\x)=a(ex-1)------Fl,贝UP(x)=ae-------,

x+1(X+1)

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因为a..0时，F(x)>0恒成立，所以尸(x)=7'(x)在(-1,+8)上单调递增，

因为/'(0)=0,所以/'(尤)在(-1,0)上恒小于0,在(0,+8)上恒大于0,

所以/(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,+00)上单调递增，

因为/(0)=0,所以/(x)有唯一零点0.

(2)由/区)=g(xj-g(xz)可得/"(X]+1)+。(玉+1)=a*+尤2，

若X]是方程加(x+l)+a(x+l)=b的根,则/"区+1)是方程ae*+x=b的根,

Hm(x)=ln{x+1)+a(x+1),n{x)=aex+x都单调递增，

所以x?=ln(xi+1),&-2X2=-21Mxi+1)，

7丫一1

设〃(x)=x-2/〃(x+l),h\x)=1-----=----，

x+1x+1

所以h'{x}>0的解为(l,+oo),h\x)<0的解为(-1,1)，

所以〃(x)在上递减，在(1,+8)上递增，

所以〃(x)的最小值为〃(1)=l-2ln2,即再-2%的最小值为1-202.

故原不等式成立.

【点评】本题考查导数的综合运用，考查函数零点以及不等式的证明，考查逻辑推理能力和运算求解能力，

属于中档题.

9.已知函数/(x)=/«x-3x.

(1)求/(x)的单调区间；

(2)若Vxe(0,+8),f(x)<x(aex-4)+6,证明：a+b...O.

【分析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解；

(2)要证原不等式成立，等价于证明/”(xe)办/+6在xe(0,+oo)上恒成立，结合不等式构造函数，对新

函数求导，结合导数与单调性关系及函数性质可证.

【解答】(1)解：r(x)=-1-3=^1—一3丫,x>0,

XX

当0<x<；时，f\x)>0,函数单调递增，当时，f\x)<0,函数单调递减，

故函数的单调递增区间为(02)，函数单调递减区间为4，+oo)；

(2)证明：若V%£(0,+8)，/(x)<x(aex—4)+F,

高考数学导数大题热点50题训练试题(带答案解析)

则VxG(0,+co),Inx-3x<x{aex-4)+6,

所以Inx+x„axex+b,

所以ln(xex\axex+6在%£(0,+8)上恒成立，

令，=xex,£>0,

则历4成+6在，>0时恒成立，

当q,0时，lnt„at+b^t>0时不可能恒成立，

故。>0,

令g«)=at+b-lnt,贝!Jgf(t)=——,

t

当0</<!时，g'(/)<0,g«)单调递减，当"工时，g'(t)>0,g。)单调递增，

aa

故当公工时，g(。取得极小值，也是最小值g(3=l+b+Ina...0，

aa

所以6...-Ina—1,

所以〃+k..a-Ina-1,

令〃(a)=a-Ina-1,〃>0,

则〃(a)=1-1=—,

aa

易得，a>l时，h'(a)>0,h(a)单调递增，当0<°<l时，h'(a)<0,h(a)单调递减，

故〃(a)min=h(1)=0,

所以a+”..0.

【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数的性质在不等式证明中的应用，属于中

档题.

10.已知函数/(x)=x/〃x+q,g(jc)=2xex-Inx—x-ln2.