江苏省常州市同济中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

2024-2025学年江苏省常州市武进区同济中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程中，一元二次方程是(

)A. B. C. D.2.一元二次方程配方后可变形为(

)A. B. C. D.3.若方程有两个实数根，则k的取值范围是(

)A. B. C. D.4.平面内，若的半径为2，，则点P在(

)A.内 B.上 C.外 D.内或外5.下列语句中不正确的有(

)

①相等的圆心角所对的弧相等；

②平分弦的直径垂直于弦；

③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；

④长度相等的两条弧是等弧．A.3个 B.2个 C.1个 D.4个6.如图，C，D是上直径AB两侧的两点，设，则(

)A.

B.

C.

D.7.如图，四边形ABCD内接于，，，则的半径为(

)A.4

B.

C.

D.

8.如图，在矩形ABCD中，，，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是(

)

A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。9.方程的根为______.10.若实数a是一元二次方程的一个根，则的值为______.11.已知关于x的方程、b、m为常数，的解是，，那么方程的解______.12.已知代数式，则A的最小值为______.13.如图，过A、C、D三点的圆的圆心为点E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果，那么______.14.如图，P是外一点，过P引的切线PA、PB，若，则__________度．

15.如图，是的外接圆，，E是BC的中点，连接OE并延长交于点D，连接BD，则的度数为______.

16.如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为

__________.

三、计算题：本大题共1小题，共8分。17.阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，通过因式分解可以把它转化为，解方程和，可得方程的解．

问题：方程的解是，______，______.

求方程的解．

拓展：用“转化”思想求方程的解．四、解答题：本题共9小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.本小题16分

选用适当方法解下列方程：

；

；

；

19.本小题6分

如图1，请只用无刻度直尺找出的外心点O；并直接写出其外接圆半径______；

如图2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心

20.本小题6分

如图，BD是的直径，点A，C在上，，AC交BD于点若，求的度数．21.本小题6分

关于x的一元二次方程

求证：方程总有两个实数根；

若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．22.本小题8分

某超市以每箱25元的进价购进一批水果，当该水果售价为40元/箱时，六月销售256箱，七、八月该水果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，八月的销量达到400箱．

求七，八两月的月平均增长率；

九月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在八月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市九月获利4250元？23.本小题8分

如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作的延长线于点E，已知DA平分

求证：AE是切线；

若，，求的半径和AD的长.24.本小题8分

定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．

如图1，AB，AC是的等垂弦，，，垂足分别为D，求证：四边形ADOE是正方形；

如图2，AB是的弦，作，，分别交于D，C两点，连接求证：AB，CD是的等垂弦；

已知的半径为10，AB，CD是的等垂弦，P为等垂点．若，求AB的长．

25.本小题12分

小华同学学习了课本节“问题6”后，在已知条件不变的情况下，又对该例题进行了拓展探究．请你和他一起解决以下几个问题：问题6如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．几秒钟后点P、Q的距离为？请说明理由；

几秒钟后为直角？请说明理由；

当时，内有一个动点M，连接PM、QM、若，线段PM的最小值为______.26.本小题10分

已知如图1，在中，，，厘米，点P从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2厘米的速度移动，点Q从点C开始沿AC边向点A以每秒钟1厘米的速度移动.若P、Q分别从B、C同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动.

求：点P从点B出发，经过几秒的面积等于1平方厘米？

是否存在以P为圆心、QP为半径的圆与直线AB相切，若存在，求出经过几秒？若不存在，请说明理由；

如图2，点M是内的一个动点，且满足，求线段BM的最小值.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：只含有一个未知数一元，并且未知数项的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程．

故选：

根据一元二次方程的定义即可求出答案．

本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．2.【答案】C

【解析】解：，

，

，

，

故选：

根据配方法即可求出答案．

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．3.【答案】D

【解析】解：关于x的方程有两个实数根，

，

解得：

故选：

由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出，解不等式即可得出结论．

本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．4.【答案】A

【解析】解：由题意得，，

，

点P在内，

故选：

根据半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内，可得答案．

本题考查了点与圆的位置关系．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．5.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查定义与命题，在叙述命题时注意要强调命题成立的条件，①和④没有前提；②注意不是直径的弦；③注意对称轴是直线．

【解答】

解：①和④错误，应强调在同圆或等圆中；

②错误，应强调不是直径的弦；

③错误，应强调过圆心的直线才是它的对称轴．

故选6.【答案】D

【解析】解：连接OC，如图，

，

，

，

故选：

连接OC，根据圆周角定理可得的度数，再根据平角的性质可得的度数，再根据圆周角定理即可求出的度数．

本题主要考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理进行求解是解决本题的关键．7.【答案】B

【解析】解：连接OA，OC，

四边形ABCD内接于，，

，

，

由勾股定理得：，

，，

，

的半径为：

故选：

先根据圆内接四边形对角互补得出，由圆周角定理得出，根据可得出答案．

本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是熟练运用相关定理．8.【答案】B

【解析】解：在直角中，，，

则

由图可知

故选：

要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．

此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．9.【答案】，

【解析】解：，

，

，

，或，

，，

故答案为：，

移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

本题考查了解一元二次方程-因式分解法．10.【答案】21

【解析】【分析】

本题主要考查了一元二次方程的解的知识，解答本题的关键是求出，，，利用整体法代值计算，此题难度较大．

将a代入方程可得，，，，再代入计算即可求解．

【解答】

解：实数a是一元二次方程的一个根，

，，，，

故答案为11.【答案】或

【解析】【分析】

此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．

把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的x求解即可．

【解答】

解：关于x的方程的解是，，均为常数，，

方程变形为，即此方程中或，

解得或

故答案为：或12.【答案】

【解析】解：，

，

，即A的最小值为，

故答案为：

先利用配方法把代数式配成完全平方式的形式，再根据偶次方的非负性解答即可．

本题考查了配方法的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．13.【答案】

【解析】解：如图，连接CE、DE，

过A，C，D三点的圆的圆心为E，且过B，F，E三点的圆的圆心为D，

，

，，，

，

，

，

，即，

，

即，

故答案为：

连接CE、DE，过A，C，D三点的圆的圆心为E，且过B，F，E三点的圆的圆心为D，可得，可知，，，根据圆周角定理可得，由即可求解．

本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理知识点，熟练掌握圆周角定理并巧妙使用是解决问题的关键．14.【答案】130

【解析】【分析】

根据切线的性质得到，根据四边形的内角和定理即可得到答案．

本题考查了切线的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．

【解答】

解：、PB是的切线，

，

，

，

故答案为：15.【答案】

【解析】解：连接CD，

四边形ABDC是圆内接四边形，，

，

，

是边BC的中点，

，

，

，

故

故答案为：

连接CD，根据圆内接四边形的性质得到，根据垂径定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，即可求出的度数．

本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，根据圆周角定理求出的度数、垂径定理证得是解决问题的关键．16.【答案】12

【解析】解：连接OP，

，

，

，

，

若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，

连接OM，交于点，当点P位于位置时，取得最小值，

过点M作轴于点Q，

圆心M的坐标为，

，，

，

又，

，

，

故答案是：

连接OP，由中知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交于点，当点P位于位置时，取得最小值，据此求解可得．

本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，得出AB取得最小值时点P的位置．17.【答案】

【解析】解：，

或

或

故答案为：3，；

方程，可化为，

，

或或，

，，

，方程两边平方，得，

即，

，

或，

，

当时，

，

故不是原方程的解，舍去；

当时，

是原方程的解．

用因式分解法求解方程可得结论；

仿照例题因式分解等号的左边，得关于x的三个一次方程，求解即可；

方程的两边平方，得一元二次方程，求解后需检验．

本题考查了高次方程、无理方程的解法，理解题例学会转化的思想方法是解决本题的关键．18.【答案】解：，

，

，

，

，；

，

，

，

，

，

；

，

，

，

；

，

，

，

或，

【解析】用直接开平方法求解即可；

用配方法求解即可；

用公式法求解即可；

移项后用因式分解法求解即可．

本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．19.【答案】

【解析】解：如图所示，点O即为所求；外接圆半径；

故答案为：；

如图所示：即为所求．

根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O；

在弧上任取三点A，C，C，连接AB，BC，分别作弦AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心P，于是得到结论．

本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，正确地作出图形是解题的关键．20.【答案】解：是的直径，

，

，

，

，

所以的度数为

【解析】根据圆周角定理得到，，再由得到，然后根据三角形外角性质计算的度数．

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．21.【答案】证明：

，

方程总有两个实数根；

，

，，

该方程有一个根大于1，

，解得，

即k的范围为

【解析】先计算出判别式的值得到，然后根据判别式的意义得到结论；

先解方程得到，，则根据题意得到，然后解不等式即可．

本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．22.【答案】解：设七，八两月的月平均增长率为x，

依题意得：，

解得：，不符合题意，舍去

答：七，八两月的月平均增长率为

设该水果每箱降价y元，则每箱盈利元，月销售量为箱，

依题意得：，

整理得：，

解得：，不符合题意，舍去

答：当该水果每箱降价5元时，超市九月获利4250元．

【解析】设七，八两月的月平均增长率为x，利用八月的销售量=六月的销售量七，八两月的月平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

设该水果每箱降价y元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润=每箱的销售利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23.【答案】证明：如图，连接OA，

，

平分，

，

又，

，

，

，

是切线；

解：如图，取CD中点F，连接OF，

于点

四边形AEFO是矩形，

，

在中，，

，

在中，，，

，

的长是

【解析】连接OA，根据已知条件证明即可解决问题；

取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．

本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．24.【答案】证明：，AC是的等垂弦，，，

，

四边形ADOE是矩形，

，AC是的等垂弦，

，

，，

，

矩形ADOE是正方形；

证明：设AB交CD于点E，连接AC，

，，

，

，

，

，，

，

即，

，，

、CD是的等垂弦；

解：若点P在内，过点O作，垂足为H，作，垂足为G，如图，

、CD是的等垂弦，

，，

四边形OHPG是矩形，

，，

，，，

，

在和中，，

，

，

矩形OHEG为正方形，

，

，且，

，

在中，，

即，

解得，

，

；

若点P在外，过点O作，垂足为H，作，垂足为G，如图，

同理，，则；

或

【解析】根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形ADOE是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形ADOE是正方形；

连接AC，由圆心角、弦的关系可得，由圆周角定理可得，，可证，可得结论；

分两种情况讨论，过点O作，作，可证矩形OHPG为正方形，利用勾股定理可求解．

本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25.【答案】解：结论：当或时，

理由：四边形ABCD是矩形，

，

，，，

，

，

，

或；

故2秒或秒后，点P、Q的距离为

或后，

理由：，

，

，

，

，

，

，

，

或，

或后，；

【解析】解：见答案；

或后，

理由：，

，

，

，

，

，

，

，

或

结论：时，

理由：，则，

又，

，

，

∽，

，即，

解得：或是方程的增根，不合题意，舍去

，

，

，

，

如图1中，取BQ的中点O，连接OM，

，，

，

，

，

，

，

，

的最小值为

故答案为：

利用勾股