2025届高考数学热点题型：解三角形十类题型（含答案）

2025届高考数学热点题型：解三

角形十类题型汇总

解三角形十类题型乐总

近4年考情(2021—2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年/卷第15题，13分

年〃卷第题，分高考对本节的考查不会有大的

20241513(1)正弦定理、余弦定理及其变形

变化，仍将以考查正余弦定理的

2024年甲卷第11题，5分

基本使用、面积公式的应用为(2)三角形的面积公式并能应用

2023年/卷〃卷第17题，10分主.从近五年的全国卷的考查

2023年甲卷第16题，5分情况来看，本节是高考的热点，(3)实际应用

主要以考查正余弦定理的应用

2023年乙卷第18题，12分(4)三角恒等变换

和面积公式为主.

2022年/卷〃卷第18题，12分

2021年/卷〃卷第20题，12分

热点题型解读

【题型1】拆角与凑角

类型一出现了3个角(拆身)

类型二凑角

类型三拆角后再用辅助角公式合并求角

类型四通过诱导公式统一函数名

【题型2】利用余弦定理化简等式

类型一出现了角或边的平方

类型二出现角的余弦(正弦走不通)

【题型3】周长与面积相关计算

类型一面积相关计算

类型二周长的相关计算

【题型4】倍角关系

类型一倍角关系的证明和应用

类型二扩角降赛

类型三图形中二倍角的处理

【题型5】角平分线相关计算

【题型6】中线相关计算

【题型7】高线线相关计算

【题型8】其它中间线

【题型9】三角形解的个数问题

【题型10】解三角形的实际应用

类型一距离问题

类型二高度问题

题型分类解析

【题型1】拆角与凑角

逢心•技巧

⑴正弦定理的应用

①边化角，角化边a:b:c=sinA:sinB:sinC7

②大边对大角大角对大边

sinA>sinBu>cosA<cosB

③八分匕匕.a+b+c_a+b_b+c_a+c_Q_b_c

sinA+sinB+sinCsinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AABC内角和定理(结合诱导公式)：A+R+。=兀

①sinC=sin(A+R)=sinAcosB+cosAsinB=c=acosB+bcosA

同理有:a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②一cos。=cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB;

③斜三角形中，—tan。=tan(A+B)=一3"人士=tanA+tanB+tan(7=tanA•tanB•tanC

1—tanA-tanB

公.(A-\-B\C(A-\rB\.C

⑷sin(---)=cos—;cos(---)=sm—

类型一出现了3个角（拆角）

1.在△48。中，勺①=当咚，求A的值

73acosA

2./XABC的内角AB。的对边分别为a,b,c,且b=2csin（A+看），求C.

_____________眇

3.（湛江一模）在4ABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知羽=2cos（年—C）

求4

类型二凑角

4.在/\ABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知2acosA•cosB+6cos2A=V3c—b,求角A

5.（2024届.广州.阶段练习）已知△ABC中角4B,C的对边分别为a,b,c,满足&cosB+立cosC=

aa

3cosC,求sin。的值

6.在△ABC中，角ABC所对的边分别为a,b,c,且上+—=3+斯,求tanBtanC.

7.V^asin=csinA,求角。的大小.

8.已知4ABC的内角A,8,。的对边分别为a,b,c,且J^bcos若旦=csinB,求C

9.在△ABC中，内角A,B,。所对边的长分别为a,b,c,且满足bcos旦羡0=asin_B,求4

类型三拆角后再用辅助角公式合并求角

10.（深圳一模）记△ABC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知b+c=2asin（c+，求4

11.在LABC中，V3sinC+cosC=smB+jnC,求人

sinA

12.锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosC+，^csinA=b+c,求4

13.已知a,b,c分别为△ABC三个内角4B,C的对边，且acosC+0asinC=b+c,求角［的大小;

类型四通过诱导公式统一函数名

14.在4ABC中，内角AB,C所对的边分别为a,b,c.已知asinB=bcos（A—专）,求A的值

15.已知△45。中，角4B。所对边分别为Q,b,c,若满足a（sin2A—cosBcosC）+bsirMsinC=0,求角

人的大小.

16.在△4BC中，内角所对的边分别为a,b,c.已知asinB=bcos（A—个），bcosC=ccos_B,求A的

值.

【题型2】利用余费定理化简等式

逢心•技巧

余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA;

公式b2=c2+a2—2accosB;

c2==a2+52—2abeos。.

4V+c，一a?

cosA=CL；

2bc

222

常见变形cos口B=c+八a-b；

2ac

ca2+b2-c2

2ab

类型一出现了角或边的平方

17.已知△ABC内角ABC所对的边长分别为a,b,c,22a2cosB+b2=2abcosC+a2+c2,求R

18.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)在4ABC中，内角C所对的边分别为a,b,c,若8=看，/=

O

：QC,则sirM+sin(7=()

4

2MaV31C0n3V13

AC

,13,13-亏D-13-

19.记△AB。的内角4B,。的对边分别为a,b,c,已知Q2=3b2+P则旦吟=

tanG------

20.(2023年北京高考数学真题)在4ABe中，(Q+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB)，则/C=()

A工B-cD

63-f-t

21.在A4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2V52asinCcosB=asinA—bsinB-\---ftsinC,

求b；

22.（2024届.湖南四大名校团队模拟冲刺卷（一））在△ABC中，内角ABC所对的边分别为a,b,c,已知

的面积为S,且2s（篝+器）=（4+的如4求。的值

23.（2024.广东省六校高三第四次联考）已知△48。的角4B,。的对边分别为Q,b,c,且

sinA（ccosB+bcosC）—csin8=csinC+bsin_B,求角A

24.记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知/—2c?,求g与的值

tanA

类型二出现角的余弦（正弦走不通）

25.记△45。的内角A>8、。的对边分别为a、b、c,已知bcosA—acosB=b—c,求4

26.已知a,b,c分别为△ABC三个内角ABC的对边，且sin（A—8）=2sinC,证明:02=*+202.

27.在△4BC中，内角ABC的对边分别为a,b,c,c=2b,2sinA=3sin2C,求sinC.

28.记△48。的内角ABC的对边分别为a,b,c,B=专•，且(sinA+sinB)sinC+cos2C=1,求证5a=3c

o

___________F

29.已知△4B。的内角A>B、。的对边分别为a、b、c,sin（A—B）tanC=sinylsinB,求。彳。.

30.△4B。的内角A,B,。的对边分别为Q,b,c,已知（b—c）sinB=bsin（A—@，求角A.

【题型3】周长与面积相关计算

/核心•技巧/

设计周长和面积的相关计算一般会用到余弦定理还有可能需要用到完全平方公式

对于完全平方公式：（a+b）2=a2+/+2Q6,其中两边之和Q+b对应周长，两边平方和a2+/在余弦定理中，两

边之积ab在面积公式和余弦定理中都会出现

类型一面积相关计算

31.已知△4BC中角。的对边分别为a,b,c,sinC=2g,a=b+2，c=3四，求△ABC的面积.

32.（2024新高考一卷•真题）记△48。的内角48、。的对边分别为a,b,c,已知sinC=2cosB,（^十〃

—c2=V2ab

（1）求B；（2）若△ABC的面积为3+四,求c.

33.记△ABC的内角ABC的对边分别为火4以8=与，且5a=3c,若△ABC的面积为15招,求c

O

34.在△ABC中，内角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知/=《，△4BC的面积为忍鼻，b=2,求a.

62

35.记△ABC的内角。的对边分别为a,b,c,已知B=2A,当a=4,b=6时，求△ABC的面积S.

36.(2024届•广东省六校第二次联考)已知△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinC=^-,a=b

o

+2,c=3，^,求△ABC的面积.

37.记△ABC的内角。的对边分别为a,b,c,已知B=2A,当a=4,b=6时，求△ABC的面积S.

类型二周长的相关计算

38.已知在△ABC中，角的对边分别是a,b,c,且人=。,若口=乎，ZVIBC的面积为4,求△ABC的

6

周长.

39.在△48。中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且(6+c)(sinB+sinC)=asinA+36sinC.

(1)求角A的大小；(2)若a=C,且△ABC的面积为V3，求△ABC的周长.

_________0

40.（2024•新高考二卷•真题）记△4BC的内角4B,。的对边分别为a,b,c,已知sinA+V3cos/1=2.

（1）求4（2）若a=2,V2bsinC=csin2_B，求△ABC的周长.

41./\ABC的角48,C的对边分别^Ja,b,c,AB-AC=-的面积为2,若a=,求ZVIBC的周

长.

42.在△ABC中，已知丞5•存=4,a=5,NR4C=60°,则△ABC周长为.

43.在△ABC中，ABC所对的边为a,b,c,A=y,a=2,B=?求△ABC的周长.

44.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且（b+c）（sin8+sinC）=asinA+36sinC.

（1）求角A的大小；（2）若a=前，且△ABC的面积为瓜，求4ABC的周长.

【题型41倍角关系

/核心•技巧/

1、二倍角公式：sin2A=2sinAcosA,cos2A=2cos2A—1=1—2sin2A=cos%—sin2A

ca缶4m2c1+cosC•2C1—cosC

2、扩角降，：cos—=-----------.,sm—=------------

忘记了可以用二倍角公式推导：记，="则cosC=cos2t=2cos之力—1=1—2sin2i

故cos2t=2cos%—Incos2t=,cos2t=1—2sin2tnsin2t=――苧、"

3、倍角关系证明的方法技巧

解三角形中的关系，主要涉及到正弦、余弦等三角函数的倍角公式。这些公式允许我们通过已知的一个甬的大

小，来求解其两倍角的大小所对应的三角函数值，从而在解三角形问题时提供更多的信息和灵活性。

4、图形中出行二传角条件时可以考点构造等展三角形

类型一倍角关系的证明和应用

45.（黄冈中学•三模）在锐角△ABC中，内角ABC所对的边分别为a,b,c,满足里一1=迎上空运

smCsinB

且求证：B=2C.

46.在△ABC中，角的对边分别为a、b、c,若A=2B,求证：c?—〃=bc；

47.（2024.吉林长春模拟预测）ZVIBC的内角4B、。所对的边分别为a,b,c,a=V3,b=1,A=2B,则c=

（）

A.2B.V3C.V2D.1

48.（2024•全国•模拟预测）在4ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c（a,b,c互不相等），且满足bcosC

=（2b—c）cos_B,求证：A=2B；

49.在△ABC中，内角4,8,。所对的边分别为a,b,c,且b=4.若/=2B,且△ABC的边长均为正整数，

求a.

________________________________

50.（2024.全国.模拟预测）在△ABC中，角4B,。的对边分别为Q,b,c（a,b,c互不相等），且满足bcos。

=（2b—c）cosB.

（1）求证：A—2B；

（2）若c=V2a,求cosB.

51.已知Q,b,c分别是△48。的角4,8,。的对边，ftsinB—asinA=sinC(2bcos2B—c).

(1)求证：A=2B；

⑵求q的取值范围.

a

类型二扩角降塞

52.（2023•重庆八中二模）记AABC的内角A,B,。的对边分别为Q,b,c,已知QCOS?考■+ccos??=，证

明：sinA+sin。=2sinB

53.在AABC中，内角_A,8,。所对的边分别Q,b,c,且(^acos2-^-+ccos2j^)(a+c—b)—日QC,求角B的

大小;

类型三图形中二倍角的处理

54.（广东省六校2024届第一次联考）在"BC中，AB=4,。为AB中点，CD=。，NBAC=2NACD,求

AC的长.

55.（2024届•江苏扬州•高三统考）在△ABC中，且边上的中线AD长为1.

（1）若BC=2AB,求AABC的面积；（2）若ZABC=2ZDAC,^BC的长.

【题型5】角平分线相关计算

核心•技巧

△ABC中，AD平分ABAC.

A

策略一：角平分线定理：t1=岩

证法1（等面积法）会里=BDMiAB^AB=BD

^ACD

CD,hiAC-h-2'ACCD

注：期为A到3。的距离，h2为D到ABAC的距离.

证法2（正弦定理）

如图，悬=缶，缶中二,而sinZl=sinZ2,sinZ3=sinZ4

smZ2

整理得笔=BD

A。CD

策喀二:利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理

11A1A

SLABC—S^ABD+^LADC=5xABxACxsinA=xABxADxsin—+--xABxADxsin—,

JU喀三：角互补:

/ABD+Z.ADC=兀=>cosZ.ABD+cosZ.ADC=0,

2TB2

在/\ABD中，cosZ.ABD—

2DAxDB

在/\ADC中，cos/ADC=

~2DAxDC~:

56.（2024•辽宁丹东•二模）在△ABC中，点。在BC边上，入。平分NH4C,NR4C=120°,AB=2V3,AD

=用,则/。=（）

A.2B.V3C.3D.2V3

57.已知△48。中，角ABC所对的边分别为a,b,c,（^=3/+c?,且sinC=2sinB

（1）求角人的大小；

⑵若b+c=6,点。在边BC上，且AD平分/R4C,求AD的长度.

58.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题・T16角平分线相关计算）在△4BC中，乙BAC=60°,4B=2,3。

=V6,NR4C的角平分线交于。，则4D=.

59.（2024.厦门第四次质检）记△ABC的内角的对边分别为a,b,c,已知8=等，若b=。，c=2a,

o

D是AC上一点,BD为角B的平分线,求BD.

60.已知△ABC的角4B,。的对边分别为a,b,以且A=磊兀，若4D平分/BAC交线段8C于点。，且

O

AD=1,=2CD,求△ABC的周长.

61.在△4BC中，内角C的对边分别为a,b,c,a=32，A=多作角人的平分线与交于点。,

O

且4D=*,求b+c.

62.（2024届.云南省昆明市五华区高三上期中）的内角ABC的对边分别为a,b,c,平分/R4C且

交BC于点、D.已知4D=1,A4CD的面积为1,若。0=28。,求1211/氏4。.

8

【题型6】中线相关计算

人心•技巧

如图，4ABe中，人。为BC的中线，已知AB,AC,及/A,求中线AD长.

策喀一:如图，倍长中线构造全等，再用余弦定理即可

第喀二:向量法，AD=y(AB+AC),等式两边再进行平方

第喀三：两次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即cosZADB+cosAADC=0

补充：若或将条件“AD为的中线”换为“黑=/T也适用，此时需要倍长等分线构造相似

__.__.__.__.—・_.一•,—,—,-—*—**-*,——,-

63.在△ABC中，内角4,8,。所对边的长分别为a,b,c,且满足4=与，a=旧，说•/=3,40是

O

△4BC的中线，求AD的长.

64.(2023年新课标全国II卷真题：已知中线长)记△ABC的内角C的对边分别为a,b,c,已知4ABC的

面积为血，。为8。中点，且40=1.

(1)若4LDC=知，求tanB；

O

⑵若b?+/=8,求b,c.

65.（2024•安徽滁州•三模）在△ABC中，角ABC的对边分别为a,b,c,2bcosC-c=2a.

（1）求B的大小；（2）若a=3,且AC边上的中线长为浮，求△ABC的面积.

66.在△48。中，内角的对边分别为a,b,c,sinC=---,2sinA=3sin2C,

若△ABC的面积为甲，求边上的中线①的长.

67.在△ABC中，角A,。的对边分别为a,b,c,已知A=等，b2-a2+c2+3c=0,ZVIB。的面积为

o

芯卢，求边BC的中线的长.

4

68.ZVLBC的内角C的对边分别为a,b,c,a=2,。为AB的中点，且CD=2.

⑴证明：c=2b；⑵若/436=?求448。的面积.

69.记△ABC的内角48,C的对边分别为a,b,c,已知B=看，若c=3a,。为AC中点，BD=,求

O

△ABC的周长.

70.ZVLBC的内角4,8,C的对边分别为a,b,c.已知B=奢，c=2,。为AC的中点，BD?=1_反7,求

△ABC的面积.

__________W

【题型7】南线线相关计算

［总小技151

策略一：等面积法：AD-BC=AB-AC-sinZBAC

策略二：AD=AB-sinAABD=AC-sinZAGD

策略三：a=c-COSB+b-COSC

71.（2024•山东青岛•三模）设三角形ABC的内角的对边分别为a、b、c且sin（B+C）=2代sid'.

（1）求角/的大小；

（2）若b=3,边上的高为?L,求三角形4BC的周长.

72.已知△AB。的内角A,B,。的对边分别为Q,b,c,a=6,bsin2A=4A/5sinB.

⑴若b=l,证明：C=A+^-；

（2）若BC边上的高为丁，求△ABC的周长.

O

a2+c2-b2

73.已知△48。的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c—gbsinA-b.

2c

⑴求4

(2)若b=[c,且BC边上的高为，求a.

【题型8]其它中间线

74.如图，在△ABC中，角ABC的对边分别为a,b,c.已知A=看.若。为线段台。延长线上一点，且

O

ACAD=^,BD=3CD,求tan乙4cB.

2021新iU考一卷T20:三等分畿相关计算

75.记△ABC是内角A,B,。的对边分别为a,b,c.已知川=加，点。在边AC上，RDsin/ABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

（2）若AO=2OC,求cosAABC.

76.如图，在△ABC中，若48=AC,。为边上一点，8。=2。。，40=2,包乡空■=代，则

smZAGD

77.（2024•安徽芜湖•三模）已知a,b,c分别为ZVIBC三个内角A,B,C的对边，且bcosA+V3bsinA=a+c

⑴求B;

（2）若b=2,△ABC的面积为有，D为47边上一点，满足CD=2AD,求BD的长.

78.记△48。的内角45、C的对边分别为a、b、c,已知4=卷，点。在BC边上，且CD=2BD,cosB=

o

，求tan/BAD.

o

79.已知△ABC的三内角A,B,。所对边分别是a,b,c,且满足a=b,若点。是边AC上一点，说=

g反5+1■说,c=66,匹|=23,求边a的大小.

OO

80.已知△ABC的内角对应的边分别为a,b,c,△ABC的面积为sinA=3sinB,点。在边BC上，若

DC-DA-求cosA.

o

81.如图，在△4BC中，若4B=AC,D为边8c上一点，BD=2DC,AD=2,4叱^先=《，则BC=

sin/力CD

82.已知a,b,c分别为△ABC三个内角的对边，且＜?=b2+2c2,若人=冬，a=3,芯=3前，求

O

AM■的长度.

83.在△ABC中，内角A3,。所对的边分别为a,b,c.已知/=看，若点。为边8C上的一个点，且满足

O

cosABAD=冬，求LABD与△ACD的面积之比.

5

【题型9］三角册解的个数问题

「^心•技巧/

三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形

具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

解三角形多解情况

在△ABC中，已知a,b和A时，解的情况如下：

眇

A为锐南A为钝角或直角

广cc

图形

AB；'.-'BA'--.……-BAB

AB

关系式a=bsinAbsinA<a<ba>ba>ba&b

解的个数一解两解一解一解无解

84.在AABC中，c=2,acosC=csinA,若当a=g时的AABC有两解，则x0的取值范围是.

85.设在△ABC中，角43、C所对的边分别为a,b,c,若满足a=6,6=小出=?的△ABC不唯一，则

小的取值范围为()

A.B.(O,V3)c.D.(y,l)

86.若满足/ABC=弓,AC=3,8C=m的AABC恰有一解,则实数m的取值范围是

O

87./XABC中，已知AABC=^-,AC=3,BC=m(m>0).

o

(1)若△ABC恰有一解，则实数小的取值范围是；

(2)若△ABC有两解，则实数小的取值范围是；

(3)若△ABC无解,则实数m的取值范围是；

88.在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若b=10,4=亭,且△ABC有唯一解，则a的取值范围

6

是.

89.在△ABC中，已知48=/，6。=2其，若存在两个这样的三角形4BC,则尤的取值范围是

90.已知A4BC的内角48、。所对的边分别是a,b,c,人=60°,若a=0,b=m(7n>O),当AABC有且

只有一解时，求实数小的范围及AABC面积S的最大值.

【题型10】解三角矽的实际应用

1.心'■技151

（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图

①）.

⑵方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a（如图②）.

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.北偏东a,即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向（如图③）.北偏西

a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.南偏西等其他方向角类似.

（4）坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角。为坡角）.坡度指坡面的铅直高度与水平

长度之比（如图④，i为坡度，i=tanf）.坡度又称为坡比.

类型一距离问题

91.一游客在/处望见在正北方向有一塔在北偏西45°方向的。处有一寺庙，此游客骑车向西行1km后

到达。处,这时塔和寺庙分别在北偏东30°和北偏西15°,则塔8与寺庙。的距离为km.

92.（2024.陕西西安.模拟预测）在100m高的楼顶人处，测得正西方向地面上8、C两点（8、。与楼底在同

一水平面上）的俯角分别是75°和15°,则B、。两点之间的距离为（）.

A.200V2B.240V2C.180V3D.200V3

93.山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计,将数学

符号“8”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新.如图2,为了测量科技馆

最高点A与其附近一建筑物楼顶口之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°,30°,：

___________彦

随后无人机沿水平方向飞行600米到点D,此时测得点人和点B的俯角分别为45°和60°（A,B。

在同一铅垂面内），则A,口两点之间的距离为米.

94.如图，一条巡逻船由南向北行驶，在力处测得灯塔底部。在北偏东15°方向上，匀速向北航行20分钟到

达3处，此时测得灯塔底部。在北偏东60°方向上，测得塔顶尸的仰角为60°,已知灯塔高为2"km.

则巡逻船的航行速度为km/h.

类型二高度问题

95.（2024•广东•二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小

镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为电

=1.00m,之后将小镜子前移a=6.00m,重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2=0.60小，已

知人的眼睛距离地面的高度为拉=1.75m,则钟楼的高度大约是（）

A.27.75mB.27.25mC.26.75mD.26.25m

96.如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚人处测得山顶。处的仰角

为60°,又利用无人机在离地面高300m的M处（即=300m），观测到山顶。处的仰角为15°,山脚A

处的俯角为45°,则山高8C=m.

c

97.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流

芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度VN,在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物43,高约为

37m,在地面上点。处（B,C,N三点共线）测得建筑物顶部鹳雀楼顶部河的仰角分别为30°和45°,

在A处测得楼顶部M的仰角为15°,则鹳雀楼的高度约为m.

98.中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐,高三丈，前

后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却

行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何？假设古代有类似的一个问题,

如图2,要测量海岛上一座山峰的高度4H■，立两根高48丈的标杆和。E,两竿相距80=800步，。,

B,H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点尸，此时A,C,尸三点共线，从点D退行120

步到点G,此时A,E,G三点也共线，则山峰的高度AH=步.（古制单位:180丈=300步）

图1图2

解三角形十类题整乐总

近4年考情(2021-2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年/卷第15题，13分

年〃卷第题，分高考对本节的考查不会有大的

20241513(1)正弦定理、余弦定理及其变形

变化，仍将以考查正余弦定理的

2024年甲卷第11题，5分

基本使用、面积公式的应用为(2)三角形的面积公式并能应用

2023年/卷〃卷第17题，10分主.从近五年的全国卷的考查

2023年甲卷第16题，5分情况来看，本节是高考的热点，(3)实际应用

主要以考查正余弦定理的应用

2023年乙卷第18题，12分(4)三角恒等变换

和面积公式为主.

2022年/卷〃卷第18题，12分

2021年/卷〃卷第20题，12分

热点题型解读

【题型1】拆角与凑角

类型一出现了3个角(拆身)

类型二凑角

类型三拆角后再用辅助角公式合并求角

类型四通过诱导公式统一函数名

【题型2】利用余弦定理化简等式

类型一出现了角或边的平方

类型二出现角的余弦(正弦走不通)

【题型3】周长与面积相关计算

类型一面积相关计算

类型二周长的相关计算

【题型4】倍角关系

类型一倍角关系的证明和应用

类型二扩角降赛

类型三图形中二倍角的处理

【题型5】角平分线相关计算

【题型6】中线相关计算

【题型7】高线线相关计算

【题型8】其它中间线

【题型9】三角形解的个数问题

【题型10】解三角形的实际应用

类型一距离问题

类型二高度问题

题型分类解析

【题型1】拆角与凑角

逢心•技巧

⑴正弦定理的应用

①边化角，角化边a:b:c=sinA:sinB:sinC7

②大边对大角大角对大边

sinA>sinBu>cosA<cosB

③八分匕匕.a+b+c_a+b_b+c_a+c_Q_b_c

sinA+sinB+sinCsinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AABC内角和定理(结合诱导公式)：A+R+。=兀

①sinC=sin(A+R)=sinAcosB+cosAsinB=c=acosB+bcosA

同理有:a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②一cos。=cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB;

③斜三角形中，—tan。=tan(A+B)=一3"人士=tanA+tanB+tan(7=tanA•tanB•tanC

1—tanA-tanB

公.(A-\-B\C(A-\rB\.C

⑷sin(---)=cos—;cos(---)=sm—

类型一出现了3个角（拆角）

1.在△48。中，勺①=当咚，求A的值

73acosA

【答案畤

【详解】因为2b—*cos。，所以由正弦定理可得2sinB—V^sinC=cos。

V3acosAV3sinAcosA

2sinBcosA=V3sinAcosC+V3sinCcosA=V3sin(A+C)=V3sinB

因为sinBW0,所以cosA=，因为AG(0,兀)，所以A=看.

2./\ABC的内角AB,。的对边分别为Q,b,c,且b=2csin（A+专）,求。.

【答呜j

解：因为b=2csin（A+.,在△AB。中，由正弦定理得，

_________F

sinB=2sinCsin(A+寺)，又因为sinB=sin(兀-A—C)=sin(A+C),

所以sin(A+C)=2sinCsin(4+专)，

展开得sinAcosCH-cosAsinC=2sinC^-^-sin>l+-^-cosA^

sinAcosC—V^sinCsinA=0

因为sin_AWO,故cosC=，^sinO,tanC=

o

又因为ce(o,兀)，所以。=告

o

3.(湛江一模)在AABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知卷=2cos(y-C),

求4

【答案】A=?

6

【详解】2cos(卷—。)=2cos看cosC+2sin^-sinC=cosC+V3sinC,

所以2=cosC+sinC,故b=V3asinC+acosC.

a

由正弦定理得sinB=V3sinAsinC+sinAcosC,又_8=兀一(A+C),

所以sinB=sin[7L—(A+C)]=sin(A+C)=V3sinAsinC+sinAcosC,

故sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+V3sinAsinC,

Ce(0,7L),sinCW0,所以cosA=A/3sin?l,即tanA=,AE(0,兀)，故A=二.

3o

类型二凑角

4.在△48。中，角A,B,。的对边分别为Q,b,c,已知2QcosA,cos_B+bcos224=，^c—b,求角A

【答案】(1)A=?

6

【详解】因为2acosA-cosB+bcos2A=V3c—b,

所以2acosAcosB+b(cos2A+1)=V3c,

即2QCOS24cos_B+