2023年上海中考数学一轮复习：锐角三角比（原卷版+解析）

专题16锐角三角比

锐角三角比也是中考数学重点和难点，中考中在选择题、填空题，解答题均有几率出现，尤其是填空

压轴题，与二次函数结合，在解答压轴题中应用有很大概率作为中考难点考查，主要考查基本概念、几何

推理与证明以及相关应用.

1,了解锐角三角比的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA、cotA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、

45。、60。的正弦、余弦、正切和余切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.

2.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两

个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.

在知识导图

锐已知锐角的三

角

的角比，求锐角

三

角

比

解直角三角

形的应用

出重,点考向

一、锐角三角比的概念

如图所示，在RsABC中，NC=90。，/A所对的边BC记为a,叫做NA的对边，也叫做NB的邻

边，NB所对的边AC记为b,叫做NB的对边，也是NA的邻边，直角C所对的边AB记为c,叫做斜边.

NA的对边a

锐角A的对边与斜边的比叫做/A的正弦，记作sinA,即sinA=

斜边

NA的邻边b

锐角A的邻边与斜边的比叫做/A的余弦，记作cosA,cosA=

斜边c

NA的对边a

锐角A的对边与邻边的比叫做NA的正切，记作tanA,即tanA=

NA的邻边b

的对边ZB的邻边aZB的对边b

同理sin_8=cosJS=tanB=

斜边.斜边ZB的邻边a

知识要点:

（1）锐角的正弦、余弦、正切是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条

线段的比值.角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化.

（2）sinA,cosA,tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成网11•月，COS•

不能理解成sin与NA,cos与NA,tan与/A的乘积.书写时习惯上省略NA的角的记号

但对三个大写字母表示成的角（如/AEF）,其正切应写成“tan/AEF"，不能写成“tanAEF"；另外，（乳11/）？、

（cosa）2、（tanj）*常写成sin'』、cos'力、tan?4

（3）任何一个锐角都有相应的锐角三角比值，不因这个角不在某个三角形中而不存在.

（4）由锐角三角比的定义知：

当角度在0°<NA<90。之间变化时，0<COS^<btanA>0.

二、特殊角的三角比的比值

利用锐角三角比的定义，可求出0。、30。、45。、60。、90。角的各三角比的比值，归纳如下:

0°30°45°60°90°

三角函逐

工

sina0A/2晅1

2T2

1

cosa173420

2~22

V3

tana01V3不存在

3

知识要点：

（1）通过该表可以方便地知道0°、30。、45。、60。、90。角的各三角比的比值，它的另一个应用就是：如果

知道了一个锐角的三角比的比值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若sin8=亚，则锐角9=45,

2

（2）仔细研究表中数值的规律会发现:

sin00、sm30°、sin43、sin60°、sin90°的值依次为0、、1,而cosO°、cos30*'

222

cos45°、cos60°、cos90°的值的顺序正好相反，tan30°、tan45°、tan60°的值依次增大，其变化规律

可以总结为：

当角度在（F</A<90。之间变化时，

①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小）

②余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大）.

三、锐角三角比之间的关系

如图所示，在RSABC中，ZC=90°.

(1)互余关系：sinA=cos(900-ZL4)=cosB-cosA=sin(90°—=sin5；

(2)平方关系：sidn+cos?工=1；

(3)倒数关系：tanA•tan(9(P-乙4)=1或tanA=—-—；

tanB

(4)商数关系：tan工=汇且.

cos工

四、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.

解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图:

角角关系：两锐角互余，即/A+/B=90°；

边边关系：勾股定理，即/+/=1；

边角关系：锐角三角函数，即

.4abab

sinA=—,cosA4=—,tanAA=—,cotAA=—

ccba

.cbnanbna

smB=—,cosn=—,tanz?=—,cotB=—

ccab

知识要点：

解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：

(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；

(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角).这两种情形的共同之处：有一条

边.因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边.

2.已知在RtZXABC中，ZC=90°fsinA=—,则tan3的值为（）

A.—B.®C.BD.

223

3.在R/^ABC中，ZC=90°,ZB=40°,AB=5,则BC的长为（）

5

A.5tan40°B.5cos40°C.5sin40°D.

cos40°

4.如图，在44BC中，NACB=90。，点。为AB边的中点，连接CO,若3C=4,CD=3,则sin/OCB的

值为（）

A.-B.好C.—D.—

3253

5.如图，ZACB=45°,ZPRQ=125°,AABC底边BC上的高为九，“。尺底边QR上的高为饱，则有（）

A.%=%B.C.D.以上都有可能

6.如图,在四边形ABCD中,NA2C=ZBCD=90°,A3=3,8C=石，把RtAABC沿着AC翻折得到Rt^AEC,

D.近

5

9.如图，在AABC中，ADJ.BC,垂足为点。，若AC=6应，ZC=45°,tanZABC=3,则3D等于

3

10.如图，在吊△ABC中，ZC=90°,D为BC上一点,AB=5,BD=1,tanB=—.贝ljsina=___.

4

11.如图，在△ABC中，点。是3C的中点，DAXAC,tanZBAD=^,AB=46,则的长度为

A

CDB

12.在△ABC中，AB=3娓,AC=6,N8=45。，则3C=.

13.在直角坐标平面内有一点41,2）,点A与原点。的连线与x轴的正半轴的夹角为a,那么cota的值为

14.已知菱形ABCZ）的边长为6,对角线AC与8。相交于点0,OELAB,垂足为点E,AC=4,那么sinZAOE

15.勾股定理是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠，我国汉代数学家赵爽将四个全等的直角三角形拼成了一

个大正方形A3CD,同时留下一个小正方形EFG"的空隙（如图），利用面积证明了勾股定理.如果小正方

形EFGH的面积是4,sinZGBC=-,那么大正方形ABC。的面积等于.

16.如图，图中提供了一种求cotl5。的方法，作RIAABC,使NC=90。，NABC=30。，再延长CB到点

使BD=BA,联结即可得〃=15。，如果设AC”则可得CO=（2+⑹f,那么

cotl50=cotD=-^=2+V3,运用以上方法，可求得cot22.5。的值是.

匚

DB

17.将一副三角板如图摆放，使得一块三角板的直角边AC和另一块三角板的斜边ME重叠，点A与点M

重合，已知AB=AC=8,则重叠的面积是.

18.已知在R3ABC中，ZC=90°,BC=1,AC=2,以点C为直角顶点的RtAOCE的顶点。在8A的延

长线上，交CA的延长线于点G,若tan/CED=g,CE=GE,那么3。的长等于.

三、解答题

19.如图，已知在AABC中，-3为锐角，AD是BC边上的高，cosB=^-,AB=13,3C=21.

(1)求AC的长；

⑵求NBAC的正弦值.

20.如图，已知在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,AD//BC,ZADB=90°,cosA=1.

(1)。的长;

(2)如果点E为。。的中点，连接BE,求/EBC的正切值.

21.如图，在RtAiABC中，ZACB=90°,AC=BC=6,点。在边AC上，且AD=2CD,DEJ.AB,垂

足为点E,联结CE,求：

(1)线段8E的长；

(2)NECB的余弦值.

22.如图，边长为1的正方形A8CC中，对角线AC、8。相交于点。，点。、R分别在边A。、OC上，BR

交线段0c于点尸，QP-LBP,。尸交3。于点E.

(1)求证：AAPQ~ADBR；

(2)当/QED等于60。时，求哭的值.

DR

23.已知点A(l,0)和点3(5,0).点C在x轴的负半轴上，且AC=AB,点。的坐标为(0,3),直线/经过点

C、D.

(1)求直线/的表达式；

(2)点尸是直线/在第三象限上的点连接AP、BP,若线段CP是线段C4、CB的比例中项.

①求证：ACPA〜ACBP；

②求tan/CR4的值.

心重对、考向

五、解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数

量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.

1.解这类问题的一般过程

(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出

几何图形，建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的

问题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角

形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

2.常见的应用问题

h

(1)坡度：i=1：冽=一=tana；坡角：。.

(2)方位角:

(3)仰角与俯角:

要点：

1.解直角三角形的常见类型及解法:

已知条件解法步骤

由tanA=士求NA,

b

两直角边(a,b)ZB=90°-ZA,

c=+■

两

边

由=2求NA,

c

斜边，一直角边(如c,a)ZB=90°-ZA,

RtAABC

b=-a”

NB=90°-ZA,

锐角、邻边

,.b

(如NA,b)tan4c=---

一直角边cosJ4

边

和一锐角ZB=90°-ZA,

锐角、对边

a,a

角(如/A,a)c=---，b=---

sinAtanA

斜边、锐角(如C,ZA)ZB=90°-ZA,

a=c-sin>b=ccosA

2.用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是:

把实际问题抽象成数学问题（解直角三角形），就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系

转化为图形（点、线、角等）以及图形之间的大小或位置关系.

借助生活常识以及课本中一些概念（如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等）的意义，也有助于把实际

问题抽象为数学问题.

当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解.

3.锐角三角函数的应用

用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角

形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。

一、单选题

1.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1:3,若它把物体从地面点A处送到离地面2米高的8处，则物

体从A到8所经过的路程为（）

A.6米B.加米C.2，记米D.3A/10米

2.在离铁塔底部加米的地面A处测得铁塔塔顶的仰角为那么铁塔的高为（）

A.m-sinaB.m-cosaC.m-tanaD.m-cota

3.如图，一艘船从A处向北偏东30。的方向行驶10千米到8处，再从8处向正西方向行驶16千米到C处,

这时这艘船与A的距离（）

北

A.15千米B.14千米C.10/千米D.5g千米

4.如图，一块矩形木板ABC。斜靠在墙边（Of08,点A,B,C,D,。在同一平面内）.已知筋=a,

AD=b,?BCOx,则点A到。C的距离等于（）

A.Qsinx+Z?sinxB.acosx-^-bcosx

C.asim+bcosxD.6zcosx+/?sinx

5.我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层45的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑

物顶点A的仰角为45。，沿着C向上走到30百米处的。点.再测得顶点A的仰角为22。，已知（力的坡度:

/=1：2,A、B、C、。在同一平面内，则高楼A8的高度为（)(参考数据；s历22°M.37,cos220~0.93,

3?22po.40）

A.60B.70C.80D.90

6.如图，一棵松树A8挺立在斜坡CB的顶端，斜坡C8长为52米，坡度为1=12：5,小张从与点C相距

60米的点。处向上爬12米到达观景台QE的顶端点E,在此测得松树顶端点A的仰角为39°,则松树的高

度AB约为（）（参考数据:sin39°=0.63,cos39°~0.78,tan39°=0.81）

A.16.8米B.28.8米C.40.8米D.64.8米

7.保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的。同一水平线的A处，测得

AD=20米，沿坡度i=Q75的斜坡A3走到8点，测得塔顶E仰角为37。，再沿水平方向走20米到C处，测

得塔顶E的仰角为22。，则塔高。石为（）米.（结果精确到十分位）（sin37。g0.60,cos37°®0.80,

tan37«0.75,sin22°«0.37,cos22°«0.93,tan22°«0.40）

A.18.3米B.19.3米C.20米D.21.2米

8.共享单车为市民出行提供了便利.图1为单车实物图，图2为单车示意图，A3与地面平行，点A、8、

。共线，点。、F、G共线，坐垫C可沿射线3E方向调节.已知，ZABE=10°,NEAB=45。,车轮半径为

30cm,BE=40cm,小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90cm时骑着比较舒适，此时CE的长约为（）

（结果精确到1cm,参考数据：sin70°«0.9,cos70°«0.3,tan70°~1.4）

二、填空题

9.如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4米.如果在山坡上种树，也要求

株距为4米，则相邻两树间的坡面距离5米，则此山坡的坡度为.

10.如图，在甲楼的底部8处测得乙楼的顶部。点的仰角为a,在甲楼的顶部A处测得乙楼的顶部。点的

俯角为£，如果乙楼的高OC=10米，那么甲楼的高米（用含a,4的代数式表示）.

11.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面A3的坡度为.

12.如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点。处后进球，已知小明与篮板底的距离BC=5米，眼

睛与地面的距离AB=1.7米，视线与水平线的夹角为a,已知tancr的值为0.3,则点。到地面的距离

CD的长为米.

13.如图，一个高BE为若米的长方体木箱沿坡比为1:君的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，45=3米,

则木箱端点E距地面AC的高度EF为米.

14.如图1,一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边加上的点A处，另一端8在边ON上滑动，

图2为某一位置从上往下看的平面图，测得NABO=30。，ZAOB=45°,长为32厘米，则AB的长为

厘米,

三、解答题

15.某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进.如图，这小区原地下车库的入口处

有斜坡AC长为13米，它的坡度为i=l:2.4,AB1BC,为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为17。，即

ZADC=17°（此时点8、C、。在同一直线上）.求斜坡改进后的起点。与原起点C的距离（结果精确到

0.1米）.

（参考数据：sinl7°«0.29,cosl7°«0.96,tanl7°»0.31）

16.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡C£>,8=26米，坡度i=l:2.4,小明在斜坡下端C处测得楼顶点

8的仰角为60。，在斜坡上的点。处测得楼顶8的的仰角为30。，DE与地面垂直，垂足为E,其中点A、C、

E在同一直线上.

⑴求的值；

（2）求大楼的高度（结果保留根号）

17.某地一居民的窗户朝南.窗户的离地高度为0.8米，此地一年的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的

夹角最小为夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为夕.若你是一名设计师，请你为教学楼

的窗户设计一个直角形遮阳蓬要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天

温暖的阳光射入室内.根据测量测得Nc=30。，”=60。,4?=1.5米.若同时满足下面两个条件（1）当

太阳光与地面的夹角是a时，太阳光刚好射入室内；（2）当太阳光与地面的夹角是月时，太阳光刚好不射

入室内.请你求出直角形遮阳蓬3CD中CD的长、8离地面的高度.

18.有一把长为6米的梯子A2,将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为a,

地面与墙面互相垂直（如图1所示），一般满足50。Wc475。时，人才能安全地使用这架梯子.

（1）当梯子底端8距离墙面2.5米时，求。的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？

（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面

下滑1.5米到墙面上的。点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处（如图2所示），此时人

是否能安全使用这架梯子？请说明理由.

19.圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方

向水平放置且与杆垂直的标尺（称为"圭”）.当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上.我

国古代很多地区通过观察“表”在“圭”上的影子长度来测算二十四节气，并以此作为指导农事活动的重要依

据.例如，我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为

冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至.

某地发现一个圭表遗迹（如图2）,但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即

AB的长）为11.3米.现已知该地冬至正午太阳高度角（即ZCBD）为35。34,夏至正午太阳高度角（即ACAD）

为82。26、请通过计算推测损坏的“表”原来的高度（即CZ）的长）约为多少米？（参考数据见表1,结果精

确到个位）

南（喜线）屋之蠹

表1

asinecos。tana

35°3<0.580.810.72

82。280.990.137.5

（注：表1中三角比的值是近似值）

、模拟检测

一、单选题

1.（2021・上海闵行・一模）已知在Rt~4BC中，NC=90°,4B=[3,AB=5,那么AC的长为（）

55

A.5cos尸B.5sin0CCOS尸D，sin£

2.（2020・上海・统考一模）如图,把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交

成角a,则重叠部分的面积是（）

C.-^―

A.2sinaB.2cosaD.-^―

sina2cosa

3.（2019•上海奉贤•校联考一模）如图,在直角坐标平面内，射线与无轴正半轴的夹角为a,如果

J16,tana=3,那么点A的坐标是（)

A.(1,3)B.(3,1)C.(1,历)D.(3,回)

4.（2019•上海浦东新•统考一模）如图,一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为a,水平

）

5.（2020•上海徐汇•统考一模）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60。，那么

此时小李离着落点A的距离是（）

C,辛米»竽百米

A.200米B.400米

6.（2021.上海松江.统考一模）如图，一艘船从A处向北偏东30。的方向行驶10千米到B处，再从B处向

正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）

北

CB

A

A.15千米B.10千米C.10/千米D.5石千米

二、填空题

7.（2022・上海长宁・统考二模）已知正六边形外接圆的半径为3,那么它的边心距为.

8.（2021•上海奉贤・统考三模）已知一斜坡的坡比为1：2,坡角为a,那么sina=.

9.（2021・上海・统考一模）在AABC中，NC=90。，如果cot/A=2,BC=3,那么AC=.

10.（2019・上海徐汇・校联考中考模拟）在RtAABC中，ZACB=90。，AD是3c边上的中线，如果AD=2BC,

那么cosZCAD的值是.

11.（2019•上海青浦•统考一模）如图，某水库大坝的横断面是梯形ABC。，坝高为15米，迎水坡C。的坡

度为1：2.4,那么该水库迎水坡CD的长度为米.

12.（2020・上海•统考一模）如图，在Rt/kABC中，ZABC=90°,BD±AC,垂足为点D,如果BC=4,sinZDBC

=j,那么线段A8的长是.

5S

13.（2019•上海徐汇・校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,CELA8于点E,cosB=—,则常随

13»AABC

14.（2022・上海•二模）如图，已知即AABC中，ZABC=90°,点。是AC边的中点，联结8D将△48C

绕着点A逆时针旋转，点B恰好落在射线8。上的点E处，点C落在点尸处，联结ED、FC.如果A8=l,

8C=2时，那么的正切值是.

D

三、解答题

3

15.(2022.上海.上海市进才中学校考一模)如图，在RSABC中，NACB=90。，AC=10,sinA=-,

CDLAB,垂足为D.

⑴求BD的长；

⑵设AC=a>BC=B，用a,b表示AD-

4

16.（2021.上海嘉定・统考一模）如图，在AABC中，/1B=AC=1O,sinB=-.

(1)求边8C的长度；

(2)求cosA的值.

17.(2022•上海杨浦•统考二模)如图，已知在平行四边形ABCD中，过点。作垂足为点E,

Q

AD=11,AB=20,cosA=—.

17

AEB

（1）求平行四边形A3CD的面积；

（2）连接CE,求sin/3CE的值.

18.（2021•上海浦东新•统考模拟预测）如图，在RtZiABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,点D在边BC

上，且BD=3CD,DE±AB,垂足为点E,联结CE.

（1）求线段AE的长；

（2）求/ACE的余切值.

19.（2021•上海奉贤•统考一模）如图，是一个手机的支架，由底座、连杆AB、BC、CD和托架组成（连杆

AB、BC、CD始终在同一平面内），连杆A3垂直于底座且长度为8.8厘米，连杆8C的长度为10厘米，连杆

。的长度可以进行伸缩调整.

（1）如图，当连杆AB、8c在一条直线上，且连杆8的长度为9.2厘米,/BC£）=143。时，求点。到底座的

高度（计算结果保留一位小数）

（2）如图，如果NBCD=143。保持不变，转动连杆BC,使得/ABC=150。，假如AD//3C时为最佳视线状

态，求最佳视线状态时连杆CD的长度（计算结果保留一位小数）（参考数据：

sin53°«0.80,cos53°«0.60,cot53°«0.75）

20.(2020•上海浦东新•统考三模)在平面直角坐标系尤Oy中，已知抛物线y=-无2+法+。与无轴交于点A(-3,0)

和点8,与y轴相交于点C(0,3),抛物线的顶点为点。.

y

5

4

3

2

1

-5-4-3-2-1,012345x

—1■

-3

-4

-5

(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

(2)联结A。、AC,CD,求/ZMC的正切值；

(3)如果点P是原抛物线上的一点，且将原抛物线向右平移机个单位(机＞0),使平移后

新抛物线经过点P,求平移距离.

21.(2021・上海嘉定•统考一模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E在CO边上，tanNEAO=J.点

F是线段AE上一点，连接SF,CF.

3

(1)如果tanNCb/=:，求线段AF的长;

(2)如果CF=」BC.

2

①求证：NCFE=ZDAE；

②求线段防的长.

专题16锐角三角比

锐角三角比也是中考数学重点和难点，中考中在选择题、填空题，解答题均有几率出现,

尤其是填空压轴题，与二次函数结合，在解答压轴题中应用有很大概率作为中考难点考查，

主要考查基本概念、几何推理与证明以及相关应用.

1.了解锐角三角比的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA、cotA表示直角三角形中两

边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的函数值，并会由一个特殊

角的三角函数值说出这个角的度数.

2.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直

角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有

关知识解决简单的实际问题.

在知识导图

己知锐角,

求三角比

锐己知锐角的三

角

的角比，求锐角

三

角

比

解直角三角

形的应用

在重点考向

一、锐角三角比的概念

如图所示，在RtAABC中，NC=90。，NA所对的边BC记为a,叫做NA的对边，

也叫做NB的邻边，NB所对的边AC记为b,叫做NB的对边，也是NA的邻边，直角C

所对的边AB记为c,叫做斜边.

锐角A的对边与斜边的比叫做NA的正弦，记作sinA,即sinA=/廿%边=£.

斜边c

/凰邻边b

锐角A的邻边与斜边的比叫做NA的余弦，记作cosA,即cosA=

斜边c

/剧对边a

锐角A的对边与邻边的比叫做NA的正切，记作tanA,即tanA=

/凰邻边~b

ZB的对边bC边，N3的对边b

同理sin3=tanB

斜边斜边cN5的邻边a

知识要点：

(1)锐角的正弦、余弦、正切是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角

的关系，是两条线段的比值.角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之

变化.

(2)sinA,cosA,tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成$垣•乂，

cos•A

tan不能理解成sin与NA,cos与NA,tan与NA的乘积.书写时习惯上省略NA

的角的记号“N”，但对三个大写字母表示成的角(如/AEF),其正切应写成“tan/AEF"，不

22

能写成“tanAEF”；另外，6山工)、(cos^)\(tan常写成sit?金、cosAytanA.

(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角比值，不因这个角不在某个三角形中而不存

在.

(4)由锐角三角比的定义知：

当角度在0°</A<90。之间变化时，0<SinR〈l，0<COSj4<btanA>0.

二、特殊角的三角比的比值

利用锐角三角比的定义，可求出0°、30。、45。、60。、90。角的各三角比的比值，归纳

如下：

0°30°45°60°90°

三角函M

1_

sina072叵1

2~22

_1

cosa173720

~222

旦

tana0173不存在

3

知识要点：

(1)通过该表可以方便地知道0°、30。、45。、60。、90。角的各三角比的比值，它的另一个

应用就是：如果知道了一个锐角的三角比的比值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若

sm^=->则锐角6=45°.

2

(2)仔细研究表中数值的规律会发现：

sin。。、sin300'sin45°'sin60°、sin90°的值依次为0、中、弓、义、1，

而cos0°、cos30°、cos45°、cos60°、cos90°的值的顺序正好相反，tan30°、tan459、

tan60°的值依次增大，其变化规律可以总结为：

当角度在0°<NA<90。之间变化时，

①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)

②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大).

三、锐角三角比之间的关系

如图所示，在RtAABC中，ZC=90°.

(1)互余关系：sinA=cos(900-ZJ4)=cos5>cosA=sin(900-ZJ4)=sin5；

(2)平方关系：sin'H+cos^^nl；

(3)倒数关系：tan-4•tan(90°-乙4)=1或tan4=--—；

tan8

(4)商数关系：tan<=^0.

cos

四、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.

解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：

角角关系：两锐角互余，即/A+NB=90°；

边边关系：勾股定理，即

边角关系：锐角三角函数，即

..abab

sinA=—,cosAA=—,tanAA=—,cotAA=一

ccba

.nb°anb八。

smB=—,cosB=—,tanJD=—,cotn=—

ccab

知识要点：

解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：

（1）已知两条边（一直角边和一斜边；两直角边）；

（2）已知一条边和一个锐角（一直角边和一锐角；斜边和一锐角）.这两种情形的共

同之处：有一条边.因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边.

典例引微

._________I_J

一、单选题

1.在MAABC中，已知NC=90。，AC=3,BC=4,那么NA的余切值等于（）

3434

A.—B.—C.—D.一

5543

【答案】c