新高考数学一轮复习讲练测第6章第02讲 等差数列及其前n项和（练习）（解析版）

第02讲等差数列及其前n项和（模拟精练+真题演练）1．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在等差数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0（

）A．10 B．11 C．12或13 D．13【答案】C【解析】因为在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以可知等差数列为递减数列，且前12项为正，第13项以后均为负，所以当SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0或13．故选：C．2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（

）A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升【答案】B【解析】设九只茶壶按容积从小到大依次记为SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B3．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．54 B．71 C．80 D．81【答案】D【解析】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0是等差数列，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．63 B．SKIPIF1<0 C．45 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为数列SKIPIF1<0是等差数列，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.5．（2023·北京海淀·校考三模）已知等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0为递减数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0不单调，故充分性不成立，若SKIPIF1<0为递减数列，则SKIPIF1<0不是常数数列，所以SKIPIF1<0单调，若SKIPIF1<0单调递减，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0为递增数列，矛盾；所以SKIPIF1<0单调递增，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，其中当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时也不能满足SKIPIF1<0为递减数列，故必要性成立，故“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0为递减数列”的必要不充分条件.故选：B6．（2023·河南郑州·统考模拟预测）公差不为零的等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则下列各式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0公差不为零,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，B正确，A错误，取SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0,C,D均不正确,故选：B.7．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前n项和，且SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为递增的等差数列.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.因此，SKIPIF1<0有最小值，且最小值为SKIPIF1<0.故选：A.8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列.若SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：D.9．（多选题）（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）已知SKIPIF1<0为等差数列，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，公差d=−2，则（

）A．SKIPIF1<0=SKIPIF1<0B．当n=6或7时，SKIPIF1<0取得最小值C．数列SKIPIF1<0的前10项和为50D．当n≤2023时，SKIPIF1<0与数列SKIPIF1<0（mN）共有671项互为相反数．【答案】AC【解析】对于A，等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A正确；对于B，由A的结论，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由d=−2当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0或6时，SKIPIF1<0取得最大值，且其最大值为SKIPIF1<0，B错误；对于C,SKIPIF1<0,故C正确，对于D，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0中与数列SKIPIF1<0中的项互为相反数的项依次为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可以组成以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列，设该数列为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，解可得SKIPIF1<0，即两个数列共有670项互为相反数，D错误．故选：AC．10．（多选题）（2023·江苏盐城·统考三模）已知数列SKIPIF1<0对任意的整数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则下列说法中正确的有（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．数列SKIPIF1<0可以是等差数列D．数列SKIPIF1<0可以是等比数列【答案】BC【解析】若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故A错；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据递推关系可知，当SKIPIF1<0为奇数，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故B正确；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0成立，故数列SKIPIF1<0可以是等差数列，即C正确；若数列SKIPIF1<0是等比数列，假设公比为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，两式相除得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不符合题意，则假设不成立，故D错.故选：BC11．（多选题）（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的最大值 D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的最小值【答案】ACD【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A正确、B错误；当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0单调递减，此时SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取得最大值，即SKIPIF1<0，故C正确；当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0单调递增，此时SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取得最小值，即SKIPIF1<0，故D正确；故选：ACD12．（多选题）（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0，下列结论正确的有（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是等比数列D．若SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，则数列SKIPIF1<0为等差数列【答案】ABD【解析】对于选项A，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故A项正确；对于选项B，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等比数列，首项为SKIPIF1<0，公比为2，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B项正确；对于选项C，因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0不是等比数列，故C项错误.对于选项D，设等差数列的公差为d，由等差数列前SKIPIF1<0项和公式可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与n无关，所以数列SKIPIF1<0为等差数列，故D项正确.故选：ABD.13．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个SKIPIF1<0第n层放SKIPIF1<0个物体堆成的堆垛，则SKIPIF1<0______．

【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】依题意，在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足上式，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<014．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）设随机变量SKIPIF1<0的分布列如下：SKIPIF1<0123456PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0构成等差数列，则SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0构成等差数列，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<015．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，公差d为奇数，且同时满足：①SKIPIF1<0存在最大值；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．则数列SKIPIF1<0的一个通项公式可以为SKIPIF1<0______．（写出满足题意的一个通项公式）【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因为数列SKIPIF1<0是等差数列，所以由等差数列的性质可知SKIPIF1<0．设等差数列SKIPIF1<0的公差为d，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0存在最大值，所以公差SKIPIF1<0，又因为d为奇数且SKIPIF1<0，故可取SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0（答案不唯一）16．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将数列SKIPIF1<0与数列SKIPIF1<0的公共项从小到大排列得到新数列SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为数列SKIPIF1<0是正奇数列，对于数列SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为奇数时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为偶数；当SKIPIF1<0为偶数时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为奇数，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.17．（2023·湖南·校联考模拟预测）记等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求m的值．【解析】（1）设SKIPIF1<0的公差为d，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．18．（2023·江苏·校联考模拟预测）设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：数列SKIPIF1<0中的任意不同的三项均不能构成等差数列.【解析】（1）令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0①，又SKIPIF1<0②，①②两式相减，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以数列SKIPIF1<0是首项为－3，公比为2的等比数列，所以SKIPIF1<0（2）假设数列SKIPIF1<0中存在三项数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）成等差数列，则SKIPIF1<0，由（1）得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，两边同时除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（*），因为（*）式右边为奇数，左边为偶数，所以（*）式不成立，假设不成立.所以数列SKIPIF1<0中得任意不同的三项均不能构成等差数列.19．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知正项等比数列SKIPIF1<0和数列SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项，SKIPIF1<0.(1)证明：数列SKIPIF1<0是等差数列，(2)若数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项积SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前20项和.【解析】（1）由题知，SKIPIF1<0是等比数列，设其公比为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，两式相减得，SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0是等差数列.（2）由SKIPIF1<0知：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由（1）设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.即数列SKIPIF1<0的前20项和为SKIPIF1<0.20．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．(1)求SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）由题意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，公差SKIPIF1<0的等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，将所有上式累加可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0也满足上式，SKIPIF1<0．（2）由（1）得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．1．（2020•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块【答案】SKIPIF1<0【解析】方法一：设每一层有SKIPIF1<0环，由题意可知，从内到外每环上扇面形石板数之间构成等差数列，上层中心的首项为SKIPIF1<0，且公差SKIPIF1<0，由等差数列的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则三层共有扇面形石板SKIPIF1<0块，方法二：设第SKIPIF1<0环天心石块数为SKIPIF1<0，第一层共有SKIPIF1<0环，则SKIPIF1<0是以9为首项，9为公差的等差数列，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0下层比中层多729块，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．2．（2020•北京）在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【答案】SKIPIF1<0【解析】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，可知数列SKIPIF1<0是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为最大项，自SKIPIF1<0起均小于0，且逐渐减小．SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0有最大项，无最小项．故选：SKIPIF1<0．3．（2022•上海）已知等差数列SKIPIF1<0的公差不为零，SKIPIF1<0为其前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中不同的数值有个．【答案】98．【解析】SKIPIF1<0等差数列SKIPIF1<0的公差不为零，SKIPIF1<0为其前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其余各项均不相等，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中不同的数值有：SKIPIF1<0．故答案为：98．4．（2022•乙卷（文））记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．若SKIPIF1<0，则公差SKIPIF1<0．【答案】2．【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：2．5．（2021•上海）已知等差数列SKIPIF1<0的首项为3，公差为2，则SKIPIF1<0．【答案】21．【解析】因为等差数列SKIPIF1<0的首项为3，公差为2，则SKIPIF1<0．故答案为：21．6．（2020•上海）已知数列SKIPIF1<0是公差不为零的等差数列，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0．【解析】根据题意，等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，变形可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．7．（2020•海南）将数列SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的公共项从小到大排列得到数列SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为．【答案】SKIPIF1<0．【解析】将数列SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的公共项从小到大排列得到数列SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是以1为首项、以6为公差的等差数列，故它的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．8．（2021•新高考Ⅱ）记SKIPIF1<0是公差不为0的等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；（Ⅱ）求使SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的最小值．【解析】（Ⅰ）数列SKIPIF1<0