2025年中考数学复习：二次函数综压轴题之关于线段周长问题（解析版）

2025年中考复习二次函数综压轴题专题训练一一关于线段周长问题

1.如图，抛物线^^4与工轴交于4B两点(点人在点口的左侧)，与"轴交于点C,连接

OO

(1)求三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式；

(2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作刀轴于点河，交8C于点N求线段PN长

的最大值.

【答案乂1)4—2,0),3(6,0),。(0,4);线段5。所在直线的函数表达式?/=一为+4,(2)3

O

【分析】⑴分别令/=0,g=0,解方程即可得到48,C三点的坐标，再利用待定系数法即可求出线段

所在直线的函数表达式；

⑵根据题意，结合⑴线段所在直线的函数表达式，设点P的坐标为(m,—专加+卜+吼点N的坐标

为(m,—，n+4),由PN=PM—NM——^-m2+-^m+4—(―1~?n+4)=—1-(m-3)2+3,利用二次函数的

OOOOO

性质解答即可.

【详解】(1)解:在"=―9c2+(_啰+4中，

OO

令1=0,则g=4,

・,•点。的坐标为(0,4),

令g=0,则一+a/+4=0,

OO

即为2—4劣—12=0,

解得:x=—2或o=6,

・・,点A在点石的左侧，

・・・点人的坐标为(一2,0),点8的坐标为(6,0),

设线段所在直线的函数表达式为g=krc+b,

将点8(6,0),。(0,4)代入g=far+b,得,

解得:卜=4,

[6=4

・・・线段所在直线的函数表达式为g=—£■力+4;

(2)解：。.•点P在抛物线y=―+A.x+4上，

oo

上设点P的坐标为(m,—+,

OO

•・・加_L力轴交于点N,

・••点N的坐标为(nz,―|-m+4),

o•••

・・•点P在线段石。上方的抛物线上，

0VmV6且PN=PM—NM=一■^-m2++4—(—|-m+4)=―^-(m—3)2+3,

oooo

•.•一：<0,且0<机<6,

o

.•.当m=3时，PN有最大值，线段PN长的最大值为3.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性

质和一次函数的性质进行解题.

2.已知关于c的二次函数4=a/+2ac+3.

(1)若该函数图象经过(—1,4).

①求a的值；

②设抛物线与①轴正半轴交于点8,交沙轴于点。，点P是直线T=-1上的动点，求P8+PC的最小值.

(2)在—2W①41时,该函数的最大值与最小值之差为12,求a的值.

【答案】⑴①a=-l;②32，⑵a=±3

【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、待定系数法求函数表达式、点的对称性等，其中

(2),要注意分类求解，避免遗漏.

(1)①将点(—1,4)代入抛物线表达式即可求解；

②点B关于函数对称轴的对称点为点A,连接AC交2=一1于点P,则点P为所求点，进而求解；

(2)当a>0时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在a：=1时取得最大值，当c=1时夕=aa?+

2ax+3=3a+3,当①=-1时，y=ax2+2ax+3=a—2a+3=—a+3,则3a+3—(—a+3)=8,即可求解，

当a<0时，同理可解.

【详解】⑴①将点(—1,4)代入抛物线表达式得：4=a—2a+3,,斗

解得a=T;

②由①知，抛物线的表达式为y2rr+3,对称轴为c=—1,(\

设抛物线与力轴的另外一个交点为4,//f'J\

令y=_/2—2T+3=0,解得=-3,02=],-----~7~!----1------

A।O\\x

故点的坐标分别为(一3,0)、(1,0),/：\

令/=0,解得。=3,。(0,3),

由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线力=—1,即点P在函数的对称

轴上，

・・•点石关于函数对称轴的对称点为点连接交力=—1于点F,则点P为所求点，

即+PC=Q4+PC=AC为最小，

故PB+PC的最小值4C=VOA2+OC2=A/32+32=3A/2;

(2)抛物线g=ax2+2ax+3的对称轴为直线/=—1,

贝|J力=1比/=—2距离对称轴更远，

当a>0时，抛物线开口向上，则抛物线在N=—1时取得最小值，在力=1时取得最大值，

当/=1时，最小值为y=ax2+2ax+3=3a+3,

当x=—1时，最大值为y=ax2+2ax+3=a—2a+3=—a+3,

・・・该函数的最大值与最小值之差为12,

3a+3—(—a+3)—12,解得a=3

当QV0时，抛物线开口向下，则抛物线在顶点处取得最大值，在/=1时取得最小值，

该函数的最大值与最小值之差为12,•••

—a,+3—(3<z+3)—12,解得a=-3;

故a=土3.

3.如图，二次函数的图象交必轴于4B两点，交夕轴于点。，点B的坐标为(5,0),顶点。的坐标为(2,9).

(1)求二次函数的解析式和直线3。的函数解析；

(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.

(3)P是线段口。上的一个动点，过点P作c轴的垂线，交抛物线于点M,当点P在第一象限内时，求线

段长度的最大值.

【答案】(1)9——x2+4：x+5,y——x+5

(2)icV0或a;>5

(3)最大值为牛

【分析】(1)可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标,利用待定系

数法可求得直线BD解析式；

(2)根据图象即可求得使一次函数值大于二次函数值的土的取值范围；

(3)设出P点坐标，从而可表示出PM的长度,利用二次函数的性质可求得其最大值.

本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，方程思想等知识，解题的关键是熟练掌

握二次函数的性质

【详解】(1)解：,••抛物线的顶点。的坐标为(2,9),

可设抛物线解析式为y=a(x—2)2+9,

•.•点5(5,0)在该抛物线的图象上，

.-.0=a(5-2)2+9,

解得a——1,

：.抛物线解析式为y=—(多一2)2+9,即夕——X2+4a;+5,

,点。在沙轴上，令,=0可得沙=5,

二。点坐标为(0,5),

可设直线BD解析式为夕=far+5,

把B点坐标代入可得5%+5=0,

解得％=—1,

直线解析式为?/=一0+5;

(2)解：•.•且直线与二次函数的图象交B(5,0),D(0,5)这两点

结合图象：一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是rrV0或a;>5,

故答案为：cV0或2>5;

(3)解：设P点横坐标为m(m>0),

则P(m,—m2+4m+5),•••

PM=-rn2+4m+5—（—m+5）=—m2+5m=—（m—-1-）+

：.当=长度的最大值为争.

4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a^+bx-3的图像交力轴于点A（-V3,0）和点5（373,0），交y

轴于点C,连接BC.

⑴求该抛物线的函数表达式；

（2）如图1,点P是直线下方抛物线上一点，过点P作4轴的平行线交直线BC于点点E是直线

8。上一点，且在PD右侧,满足DE=DP,求ADEP周长的最大值及此时点P的坐标；

⑶将抛物线y=ax?+近—3沿方向平移2个单位后,得到一个新的抛物线y',点河为新抛物线y'

上一点，点“关于直线8c的对称点为M'，连接,当ACM'M=60°时,直接写出所有符合条

件的点河的横坐标.

【答案】（1）9=2个①—3

OO

⑵4DEP的周长最大值为9Q丁）,p（3浮,—彗）；

⑶符合条件的点”的横坐标为3个付或逐或3%简或—氓.

【分析】（1）利用待定系数法求解；

⑵过点E作EF_LPD交PD的延长线于点F,求出直线BC的解析式，设P（巾,《病一带皂小一3）,则

等m—3）,用m表示PD,DF,EF,PE的长度,根据ADEP周长=2PD+PE列出函数关系式,根据二

次函数的性质解答；

⑶根据平移的性质得到新的抛物线解析式为式=家一5,推出△C7W是等边三角形，设”（九,E—5）,

分两种情况:当点加在y轴右侧时，当点M在y轴左侧时，分别求出n的值

【详解】⑴将点A（—，^,0）和点_B（3，^,0）代入。=°力2+6力—3中，得

f3d—A/3b—3=0

[27a+3V3b-3=0

解得二

该抛物线的函数表达式为y--^-x2-—3;

oo

（2）过点E作EF_LPD交PD的延长线于点F,•••

设直线的解析式为y=kx+t,

(3V3k+t=0

\t=-3，

k

解得=4

t=-3

直线BC的解析式为沙=卑2一3,

o

设P(nz,"|-?n2-2f3),贝U_D(nz,普m-3),

DE=DP=—3—=--^-m2+V3m,

o\Jo/J

••,B(3V3,0),C(0,-3),

.­.0^^373,0(7=3,

:.tanZBCO=，舄=V3,

C/O

NBCO=60°,

•：PD//OC,

：."DC=60°

,/DE=DP

：.APED=ADPE=30°,ZFDE=60°,NDEF=30°,

2

DF=±DE=-^m+--m,EF=V^DF=一暇加+3,

26262

PE=2£!F=-4加+3m

o

/./\DEP周长=2PD+PE

=2(^-m2+V3m^)--^y-m2+3m

2+四9(2+佝

m—

3+4

.•.当m=哈时，ADEP的周长最大，最大值为9(2丁),此时p(弓£,一?)；

(3)y--^-x2—^--x-3=^-(x—V3)2—4

ooo

・・・将抛物线g=a/+版一3沿石。方向平移2个单位后，得至||一个新的抛物线yf,

：.抛物线g=Q/+b/一3向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度,

新的抛物线解析式为yf=-^-x2—5,

o

•.•点”关于直线BC的对称点为M',ACM'M^60°,

/.△CMM，是等边三角形，

设M(n,—5),

当点河在g轴右侧时,如图，过点M作MH_LCA少于点

・・・/MCM，=60°,/MCB=ZBCMf=30°,

・・・ZOCMA=90°,

CH—之一5一(—3)—一2,

OO•••

?.1■九2—2—V3n

o

解得n=3V3+V51（负值舍去）.

当点加在点此时，点M的纵坐标为一3,

此时-|-n2—5=—3,解得n—负值舍去）；

当点”在沙轴左侧时，如图，过点焰作M3H±CM'于点H,

CH———3——5）——+2,

I91—

—~TI+2——y/3n

O

解得n=公铲IL（正值舍去）.

当点Af在点M时，点M的纵坐标为一3,

此时-^-n2—5=—3,解得n=—，^（正值舍去）：

O

综上,符合条件的点”的横坐标为3个庖或0或3%庖或—氓.

【点睛】此题是二次函数的综合题，解直角三角形，考查待定系数法求函数解析式,二次函数与几何图形，二次

函数的最值，正确理解二次函数的性质是解题的关键.

5.在平面直角坐标系中，抛物线y=—/+be+c=与c轴交于点4（—5,0），口（点A在点B的左侧），与y

轴交于点点（0,5）.

⑴求该抛物线的解析式；

（2）如图1,若点P是第二象限内抛物线上一动点，求皿。面积的最大值；

（3）在对称轴上找一点Q，使4BCQ的周长最小,求点Q的坐标；

（4）如图2,若点河是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，入、C,M,N为顶点的四边形是平行

四边形？若存在，请直接写出点河的坐标，请说明理由.

【答案】(l)g=—①2—4〃+5

⑵争

O

⑶Q(—2,3)

(4)存在，点M的坐标为(-5,-16)或(-7,-16)

【分析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)证明4PHE是等腰直角三角形，则PE=华即可求解;

(3)AC与抛物线的对称轴的交点即为点Q,求出直线AC的解析式,进而即可求解;

(4)当AC为平行四边形对角线时，则一5=2—2,解得：c=-3，即可求解；当AM(AN)为平行四边形对角线

时，同理可解.

【详解】(1)解：丁点A(—5,0),(7(0,5)在抛物线y=—x2+匕/+c的图象上,

f0=-25-5fc+cJb=_4

，解得

[5=c\c=5

：.抛物线的解析式为g=—疗―4/+5;

(2)由(1)知，抛物线的表达式为：y=—x2—4：x+5,

令y=-x2—4/+5=0,解得：/=1或一5,

故点石(1,0);

①过P作PE_L于点E,过点P作PF_L力轴交AC于点H,如图:

vA(-5,0),0(0,5),

・・・OA=OC,AC=V52+52=5A/2,

・・・ZVIO。是等腰直角三角形，

・・.ZCAO=45°f

・・・PF_L2轴，

・・・4AHF=45°=/PHE,

・・・AFHE是等腰直角三角形，

・PE—^^-

.•V2'

：.当PH最大时，PE最大，

设直线解析式为"=fcz;+5,

将4—5,0)代入得0=—5k+5,

：.k=l,

・・・直线解析式为g=i+5,

设F(m,—m2—4m+5),(—5VnzV0),则5),

PH—(—m2—4m+5)—(m+5)=—(m+-|-y+

*.*a=—1<0,

.•.当山=—1时，PH的最大为苧，

此时PE最大为姿2,即点p到直线A。的距离值最大；

O

△B4c面积的最大值=[AC•PE=Exx20=萼;

2288

⑶设点Q(-2,m)，点4(-5,0),C(0,5),

A与_B关于对称轴对称，•••

连接AC与对称轴的交于点Q,

设力。解析式为夕=for+6,

0——5k+b心=1

，解得

5=b[b=5

y=x+5,

当x=-2时，夕=3,

Q(—2,3),

.•.点Q(—2,3);

(4)存在，理由如下：

y=—x2—4a;+5=—Q+2尸+9,

抛物线的对称轴为直线2=—2,

设点N的坐标为(一2,神)，点河的坐标为(①-x2-4rc+5),

分三种情况:①当月。为平行四边形对角线时，

则一5=c—2,解得：x=—3,

点河的坐标为(-3,8);

②当入川为平行四边形对角线时，

则a?—5=—2，解得：2=3,

点”的坐标为(3,-16);

③当AN为平行四边形对角线时，

贝U—5—2=立，

解得：2=—7,

点”的坐标为(-7,-16);

综上，点”的坐标为：(一3,8)或(3,—16)或(一7,—16).

【点睛］本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函

数的性质，平行四边形的判定与性质.熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键.

6.综合探究

如图，在平面直角坐标系中.直线y=A;c(A;¥O)与抛物线沙=a/+c(a¥O)交于A(8,6),B两点，点口

的横坐标为一2.

⑴求抛物线的解析式；

(2)点P是直线AB下方抛物线上一动点,过点P作c轴的平行线,与直线交于点C.连接PO,设

点P的横坐标为7n.

①若点P在c轴上方，当成为何值时，OC=CP；

②若点尸在立轴下方，求可。。周长的最大值.

【答案】⑴？/=枭2一2

O•••

(2)①当7n=4+yiU时,oc=cp；②中。。周长的最大值为9

【分析】本题考查了二次函数的线段周长综合，待定系数法求解析式，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题

的关键.

(1)先求出直线4B的解析式为g=■力,再得出B(-2,—去)，结合4(8,6)，代入y=a/+C(QWO),进行计算

即可作答.

⑵①先设P(m,n),则当加一2=,所以PC—m—因为OC—CP,所以=m—^-n,且-1-m2—2

83338

几，化简计算，得m=4+^^，故当Tn=4+W10^时，Q(J—CP；②当点、P在x轴下方时，一2VmV4,n

oo

2

<0,同理得OC=CP,。。=+n?=-1-n,代入得OP+PC+OC--1-m+2+m—^-n—,化简

J，3o33

计算，即可作答.

【详解】⑴解:将点4(8,6)代入y=kc,

得8k=6,解得%=总，

/.直线AB的解析式为夕=%

当x=-2时，g=,x(—2)=—|~,

/.B(-2,—

64a+c=6

将点?4(8,6),8(—2,—分别代入y—ax?+c,得

4a+c——'

a=

解得l

c=-2’

：.抛物线的解析式为y=-^-X2—2;

o

⑵①设PgM，则-^-m2—2=n,

o

・・,过点P作力轴的平行线，与直线AB交于点C,

n,n,

4

PC=m——n,

o

令"-2=0,

解得力=4或力=—4.

②当点P在力轴上方时，4VnzV8,n>0,

4V，25

•・・OC=CP,OCYn)+n=■§■九'

.54

・・—n=m-­n,

oo

,1

..n——-m,

o

，-2=%

"2=

o

，加二串也或机二生”(舍去)

OO•••

...当m=4+^^时，OC=CP；

o

②由①得P(m,n),

X2_-

mlib2N-nIb

89

当点P在1轴下方时，一2VnzV4,7iV0,

.・•点CITTI,?!),

2222

OC――^-n,OP—Vm+n=A/m+f-5-m—2y=-^-m+2,

3Vvo78

41

*.*PC=m——n,m9—2=n,

38

.•.OP+PC,+OC,=^m2+2+m-4n-vn

833

m2-2)+2=-j(m-2)2+9,

/.当m=2时，八/3。。的周长最大，最大值为9.

7.在平面直角坐标系中，已知抛物线夕=a/+be+4与c轴交于点4(4,0),风―|~,0),与沙轴交于点C.

⑴求抛物线的解析式；

(2)如图1,点。是OC的中点，点E为2轴上一点，尸为对称轴上一点，一动点P从点。出发，沿O—E

—F—C运动，若要使点P走过的路径最短，请求出点E、F坐标,并求出最短路径；

(3)如图2,直线夕=工与抛物线交于点问抛物线上是否存在点Q(点河除外)，使得AQCA=

NMCA?若存在，请求出点Q坐标;若不存在，说明理由.

【答案】⑴y=-"^-x2+^-x+4

OO

⑵石管,0)、9序,1),最短路径长6.5

⑶存在，Q(7,—17)

【分析】(1)用待定系数法即可求解；

⑵作点。关于抛物线对称轴的对称点,4),作点。(0,2)关于2轴的对称点G(O,—2),连接CN交x轴

于点E交抛物线对称轴于点F,则此时，点E、F符合题设要求，此时点P运动的路径最小，进而求解；

(3)先求出点河⑶3),由AQCA=AMCA,得到CN=CM,根据勾股定理列式计算，进而求解•.••

此题主要考查了反比例函数解析式求法以及待定系数法求二次函数解析式以及利用对称求最小值问题以及

相似三角形的判定与性质等知识，利用相似得出。点坐标是解题关键.

【详解】⑴解：:已知抛物线y=ax'+bx+4与6轴交于点A(4,0),—■会，。),

设抛物线的表达式为：n=a(x—4)(T+1.5)=Q(/—2.5力-6)=ax2—2.5ax—6a,

y—ax2++4

6a=4,

贝I。=一京

o

则抛物线的表达式为：y=—力+4;

⑵解:如图1,由抛物线的表达式g=―+^-x+4知,

OO

其对称轴为直线/=--------=—

2x(4)4

・"=一。/+日2+4

OO

，1=0,g=4

则C(0,4)

作点。关于抛物线对称轴的对称点N,

倍,4)

•.•点。是OC的中点

0(0,2)

作点。关于2轴的对称点G,

G(0,—2)

连接CN交2轴于点E交抛物线对称轴于点F

则此时，点E、F符合题设要求，此时点P运动的路径最小，

理由：•.•点。关于2轴的对称点G,点。关于抛物线对称轴的对称点N

:.ED=GE,CF=NF,

则DE+EF+CF=GE+EF+NF=GN,

此时GN的长度满足点P走过的路径最短

设直线NG的表达式为y^kox+bo

把N仔,4),G(O,—2)分别代入方加+仇,得，#=孰+瓦

21一2=瓦

解得卜。=春

［瓦=-2

直线NG的表达式为：y=~^~x—2,

5

当/=六时，。=率/-2=1,

45

即点*件,1),

令g=¥■力一2=0,则

56

则点风点,0),•••

•••N(1~,4),G(O,-2)

NG=J(-(4+2)2=号=6.5,

即点E、F坐标分别为：后传,0)、凤1~,1),

/.最短路径长6.5;

⑶解：存在，理由：

依题意[夕=一告/+枭+4

X---6+4

OO

解得:x=—2(舍去)或3,

则点M(3,3),

设直线CQ交OM于点N(m,m),

由点。(0,4)、A(4,0)知，OC=OA

A/CAO=45°,

而直线V=力和a;轴正半轴的夹角为45°,

AOMA=180°-45°-45°=90°

则AC±MN,

AQCA=NMCA,则CN=CM,

则m2+(m-4)2=(0—3)2+(4-3)2,

解得:m—3(舍去)或1,

则点

设直线ON的表达式为沙=%何+上

把点(7(0,4)、N(l,l)分别代入g=kxx+瓦

尸，4=仇

仔(1=自+2，

解得忆，

%=一3

直线CW的表达式为：？/=-32；+4,

依题意，得卜=一枭2+青±+4

[y=­3x+4：

—3/+4=--+^-x+4

OO

解得：c=0(舍去)或7,

则点Q(7,—17).

8.如图,在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点4(—1,0),点5(2,3).

••

y

1V1V

lo\lo[

备用图

⑴求此二次函数的解析式；

(2)当一2W7W2时,求二次函数夕=—/+bx+c的最大值和最小值；

⑶点河为此函数图象上任意一点，其横坐标为小,过点河作MN//x轴，点N的横坐标为-m+3.已

知点河与点N不重合，且线段MN的长度随成的增大而减小.

①求7n的取值范围；

②当MNW5时,直接写出线段MN与二次函数y=—/+版+《—1W2；<引的图象交点个数及对应

的小的取值范围.

【答案】(l)y=—x2+2x+3

(2)当一2<,<2时，二次函数y=一/+皈+c的最大值为4,最小值为一5

(3)①小<~|■:1②,线段AW与Q二次函数9=—a?+bc+c(—1的图象只有1个交点时的取值范围

为一"或lWnz<g,有2个交点时，m的取值范围为—<m<1

【分析】⑴利用待定系数法计算即可得解；

(2)将二次函数解析式化为顶点式，得出抛物线开口向下，对称轴为直线2=1,即当c=1时，夕取最大值为4,

再结合2—1<1—(—2),计算即可得出答案；

⑶①表示出_MN=|-2?n+3],分—2m+3>0和—2m+3<0计算即可得出m的取值范围；②由OVMNW

5得出一1Wm〈日，再利用分类讨论和数形结合的思想求解即可.

【详解】⑴解：:二次函数y=—x2+bN+c的图象经过点A(—1,0),点B(2,3),

.f—1—5+c=0

At-4+25+c=3,

解得:产，

[c=3

二次函数的解析式为：+3;

(2)解：:y——劣2+2/+3——(x—I)?+4,

：.抛物线开口向下，对称轴为直线N=1,

当力=1时，"取最大值为4,

2-1<1-(-2),

/.当x=—2时，y取最小值，一(一2)2+2X(—2)+3=—5,

・・・当-2《力42时，二次函数g=—/+b力+c的最大值为4,最小值为一5;

⑶解:①由题意得：MN=|—m+3—m|=|-2m+3|,

当一2馆+3>0时，昭7=—2馆+3,也的长度随恒的增大而减小，满足题意，

当一2馆+3Vo时，MN=2M—3,MN的长度随加的增大而增大，不满足题意，

—2??1+3>0,••

解得:

②・・・OVM7V45,

0V—21m+345,

解得:—

如图，当恒=1时，点“在最高点，7W与图象有1个交点,

直线N二,关于抛物线对称轴直线力=1对称后直线为X

・•・]VnzV1时，MN与图象有2个交点，

•••

综上所述，线段AiN与二次函数y=—a;2+法+c(—的图象只有1个交点时，m的取值范围为一1

1,91

WTTZ<1或5，有2个交点时，m的取值范围为—<m<1.

【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，包括待定系数法二次函数的解析式、二次函数的最值问题、二次函数

的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键.

9.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线沙=/+就+c(b和c是常数)与比轴交于点4与夕轴交于点

C,且OB=OC=3.

⑴求b,c的值；

⑵如图2,点P是直线下方抛物线上的一点(不与点B,C重合)，过点P作PO，c轴于点。，尸。

与8。交于点Q.若PQ=20Q,求点P的坐标；

(3)当二次函数夕=a?+bc+c的自变量a?满足TnWrrWm+1时，此函数的最大值与最小值的差为3,

求此时m的值.

【答案】⑴6,c的值分别为一2,—3

(2)(2,-3)

⑶加的值为一1或2

【分析】此题是二次函数和一次函数综合题，数形结合和分类讨论是解题的关键.

⑴求出B(3,0),。(0,—3),进一步即可求出b,c的值;

(2)由(1)知抛物线的解析式为夕=/一22—3.设。。,廿一2力一3),则。«,0).求出直线BC的解析式为沙=

2一3,则Q也t—3),得到DQ=3-t,PQ=-t2+3t.根据PQ=2DQ得到方程，解方程即可求出答案；

(3)求出抛物线的对称轴为直线2=1，顶点坐标为(1,—4).当a?=小时，v=m2—2m—3,当:E=??I+1时，

y=(m+1)2—2(m+l)—3=m2—4.根据?it的取值范围分段进行求解即可.

【详解】⑴解：•••OB=00=3,

.•.B(3,0),G(0,-3),

/.c=-3.

把B(3,0)代入y=x2+bx—3,

得0=9+3b-3,

解得b=-2,

c的值分别为-2,-3

(2)由(1)知抛物线的解析式为y—x2—2x-3.

设2t—3),则。(t,0).

由B(3,0),C(0,—3),

设直线直线BC的解析式为V=+则色"?=°

解得｛二

・・・直线的解析式为夕=%一3,

:.3),

:.DQ—3—t,PQ—(t—3)—(t2-2t—3)=—i?+3九

PQ=2DQ,

—i?+=2(3—t),

整理，得)-5力+6=0,

解得'=2,右2=3(舍去).

当力=2时，1?—2t—3=-3,

”(2,—3),

即当PQ=2DQ时，点P的坐标为(2,—3).

(3)由(1)知抛物线的解析式为y=x2—2x—3=(T—I)2—4,

则该抛物线的对称轴为直线/=1,顶点坐标为(1,—4).

当力=m时，g=m2—2m—3,

当力=nz+l时，g=(m+l)2—2(771+1)—3=m2—4.

当m+l&l,即7n<0时，函数的最小值是7n2—4,函数的最大值是?77?—2TTI—3,

rri—2m—3—(m2—4)=-2nz+1=3,解得nz=-1;

当1时，函数的最小值是m?—2m,—3,函数的最大值是？T?2一4,

m2—4—(m2—2m-3)=2m—1=3,解得m=2;

当<m<1时，函数的最小值是一4,函数的最大值是—4,

/.m2—4—(—4)=3,解得?7i=四(舍去)或?7i二一四(舍去)；

当0V?72V］时，函数的最小值是一4,函数的最大值是m2—2m—3,

m2—2m—3—(—4)=3,解得恒二，^+1(舍去)或??i=—四+1(舍去)；

综上所述，此时馆的值为一1或2.

10.如图，抛物线沙=/+匕力+c与c轴交于4B两点，其中点人的坐标为(―3,0),与g轴交于点。，点

D(-2,-3)在抛物线上.

(1)求抛物线的解析式；

⑵抛物线的对称轴上有一动点P求出PA+PD的最小值；

(3)若抛物线上有一动点Q，使△ZBQ的面积为6,求点Q的坐标.••

【答案】(1)9—X2+2X—3

(2)372

(3)(0,—3)或(—2,—3)或(—1+A/7,3)或(―1—,3)

【分析】本题是二次函数综合题，考查待定系数法确定二次函数解析式、将军饮马最值问题、面积问题,解题关

键是熟练掌握待定系数法求抛物线解析式，学会利用对称解决最短问题，用方程的思想去思考问题.

(1)把4、。两点坐标代入二次函数沙="+红+c,解方程组即可解决；

(2)利用轴对称找到点P,用勾股定理即可解决；

(3)根据三角形面积公式，列出方程即可解决.

【详解】⑴解：.•.二次函数沙="+H+c的图象经过人(一3,0),。(一2,-3),

.[9—3b+c=0

"l4-26+c=-3,

解得:尸R,

[c=-3

/.二次函数解析式为夕=/+2c—3;

⑵解：；抛物线沙="+2c—3的对称轴为直线,=--^—=-1,。(一2,-3),<7(0,-3),

2X1

C、。关于抛物线的对称轴为直线力=一1对称，

：.PA+PD=PA+PCf

当人、「、。共线时，24+「。最小，

连接AC与对称轴的交点就是点P,

.・.R4+P。的最小值为3V2;

⑶解：设点Q坐标(m,m2+2m—3),

令n=o,劣2+2劣—3=0,

解得：力=—3或1,

・••点B坐标(1,0),

・•.AB=4,

S^ABQ—6,

X4•|m2+2m—3|=6,

|m2+2m—3|=3,

/.rn+2m—6=0或m+2m=0,

TTL=0或一2或-1+A/7或一1一T,

・••点Q的坐标为(0,—3)或(-2,—3)或(-1+T,3)或(-1—A/7,3).

11.如图,在平面直角坐标系中，等腰直角△48。的直角顶点。和另一个顶点4(—1,0)均在力轴上，47=

BC=5，抛物线y=ax2—2ax+c经过A、8两点.

备用图•••

⑴求抛物线的解析式；

⑵若点P是电△ABC斜边上一动点(不与4B重合),过点P作7轴的垂线交抛物线于点Q,当线

段PQ的长度最大时,求点P的坐标；

(3)若点P是直线上的动点，过点P作c轴的垂线交抛物线于点Q,是否存在点P,使以P、Q、8、C

为顶点的四边形是平行四边形？如果存在,请直接写出点P的坐标：如果不存在，请说明理由.

【答案］⑴U=/—2劣一3

3+V55+V53-V55-V53+3V55+3V53-3V55-3V5

【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，平行四边形的分类，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关

键是熟练掌握二次函数的基础知识.

(1)先求得B(4,5),然后将4口两点坐标代入抛物线的解析式，求得a,c的值，进而求得结果；

⑵先求得直线的解析式,进而设P(m,m+1),表示出Q坐标，从而表示出PQ的表达式,进一步求得结

果；

(3)可得出PQ/。/BC,=5,从而根据PQ=列出方程|—m2+3巾+41=5,进而分别解方程一m2+

3m+4=5和方程-7«2+3m+4=—5,进一步得出结果.

【详解】⑴解：•.•A(-L,O),AC=5,

.••C(4,0),

：BC=5,

.\B(4,5),

把？1(—1,0),B(4,5)代入夕=ax2—2ax+c得：

.1Q+2Q+C=0

••(16a-8Q+C=5'

lc=—3

：.y=x2—2x—3;

⑵解:设直线AB的解析式为:y=k岔+b,

把力(一1,0),8(4,5)代入得:

.(-k+b=Q

'(4k+b=5'

ffc=l

=

・,・直线AB的解析式为g=c+l,

设P(nz,m+1),Q(m,m2—2m—3),

PQ=(m+1)—(m2—2m—3)=—m2+3m+4

.•.当m=1■时,PQ最L苧，

止3j./3¥315

当馆二5n时，5)-2Xy-3=--,

•山旦工.

⑶解：设_P(?n,7n+l),Q(m,m2—2m—3),

/.PQ=—m2+3m+4,••

•・•PQ〃BC,BC=5,

|—m2+3m+4|=5,

当—m?+3m+4=5时，

3+V53-V5

mi=一2一，砧=2一一'

*_3+V5,_5+V5

-3m-n时+，771+n1=,

,43+湘5+勺

出_3-V5什_5-V5

.p/3-V55-V5\

,•气2'2）'

当一m?+3m+4=—5时，

3+3V53-3V5

g=,m4=,

出_3+3V5n+,[_5+3函