2025年高考数学重难点突破训练：利用导数研究不等式恒（能）成立问题【七大题型】（含答案及解析）

重难点04利用导数研究不等式恒（能）成立问题【七大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1直接法解决不等式恒（能）成立问题】..................................................3

【题型2分离参数法求参数范围】..............................................................3

【题型3分类讨论法求参数范围】..............................................................4

【题型4构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】..............................................5

【题型5与不等式恒（能）成立有关的证明问题】................................................5

【题型6洛必达法则】.........................................................................6

【题型7双变量的恒（能）成立问题】..........................................................8

►命题规律

1、利用导数不等式恒（能）成立问题

恒（能）成立问题是高考的常考考点，是高考的热点问题，其中不等式的恒（能）成立问题经常与导数及

其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难

度较大，解题时要学会灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1不等式恒（能）成立问题的解题策略】

1.不等式恒（能）成立问题的求解方法

解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法：

（1）分离参数法解决恒（能）成立问题

①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等

式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题.

②恒成立U>a，/（x）max；

。&/（X）恒成立。&/（x）min；

a2/（x）能成立a2fix）min；

。W/G）能成立a^f（x）max.

（2）分类讨论法解决恒（能）成立问题

分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进

行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一

段内的函数值不满足题意即可.

【知识点2双变量的恒(能)成立问题的解题策略】

1.双变量的恒(能)成立问题的求解方法

“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价

变换有：

对于某一区间/,

)

(l)VXj,X2e>g(》2/Wmin>g(x)max.

(2)VXlEll,BX2Gl2,/(%i)>g(&)/(%)min>g(x)min.

)，

(3)3XGe2,/(均>g(x2)/(x)max>gG)max.

【知识点3洛必达法则】

“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，

000

经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现万型或益型可以考虑使用洛必达法则.

1.洛必达法则

法则1若函数人X)和g(x)满足下列条件:

(2)在点a的去心邻域内，外)与g(x)可导且g'(x)W0;

f(x)

⑶吧国=心

那么lim*=lim笔=/.

ig{x)…g⑴

法则2若函数段)和8任)满足下列条件:

⑴lim/(x)=8及limg(x)=oo；

x—>a

(2)在点a的去心邻域内，4)与g(x)可导且g(x)W0；

rf(x)

(3)im=A,

xTa7gw

那么配线r(x)

hrm、=A,

ig⑴

2.用洛必达法则处理抵型函数的步骤:

(1)分离变量;

(2)出现《型式子；

(3)运用洛必达法则求值.

00

3.用洛必达法则处理省型函数的步骤:

(1)分离变量；

⑵出现楙型式子；

（3）运用洛必达法则求值.

【注意】：

1.将上面公式中的x―a,x—oo换成x—>+oo,x—>-oo,x->a+,xTa一,洛必达法则也成立.

2.洛必达法则可处理/谭,0•co,产,8。,0。,8—8型求极限问题.

3.在着手求极限前，首先要检查是否满足，号,0-S,：T,«A0°,8—8型定式，否则滥用洛必达法则

会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极

限.

4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

==如满足条件，可继续使用洛必达法则.

x—^agwxTagwx—ag（%）

►举一反三

【题型1直接法解决不等式恒（能）成立问题】

【例1】（2024•内蒙古呼和浩特•二模）若=2e+lnax在比6（0,+8）上恒成立，贝ija的最大值为（）

A.?B.2e»eC.e-eD.e1+^-e

【变式1-1]（2024•陕西咸阳•模拟预测）已知不等式In久专+在W0有实数解，则实数a的取值

范围为（）

A.（—8,一田B.（—00,0）C.[―.+8）D.[0,+oo）

【变式1-2]（2024・四川成都•模拟预测）若关于％的不等式（e—l）（lna+x）2ae，—1在尤6[0,1]内有解，则实

数a的取值范围是（）

A-[今副B-[|<e]C白副D.g,e]

【变式1-3]（2024•甘肃兰州•三模）已知函数/（无）=磊—炉，对于任意的xe（1,2],不等式/（若）+/

，黑<、）<1恒成立，则实数t的取值范围为（）

\（x-l）2（x—6）/

A.（1,+8）B.[—1,1]C.（—8,—1]D.（-00,-1）

【题型2分离参数法求参数范围】

【例2】（2024•宁夏银川・模拟预测）已知QEN*,函数一廿>（）恒成立，贝ija的最大值为（）

A.2B.3C.6D.7

【变式2-1](2024・四川宜宾・二模)已知不等式l-ln%有解，则实数a的取值范围为(

A.(-《1+8)B.(_1+8)C.(-8消)D.(-8,)

【变式2-2](2024・四川成都•三模)若％E[0,+8),%2+a%+i<e、恒成立，则实数Q的最大值为(

A.eB.2C.e-1D.e-2

-11

x2

【变式2-3](2024・四川南充•三模)已知函数/(x)=/3,g(x)=e--x-x,3x1；x2G[1,2]^

|9(巧)一9(>2)|>同〃>1)一/02)|色为常数)成立，则常数k的取值范围为()

A.(-oo,e-2]B.(-oo,e-2)C.(-8,^^]D.(-8,^^)

【题型3分类讨论法求参数范围】

、,,2

【例3】(2024•广东汕头•三模)已知函数/'(%)=Inx—ax,gQ)=嬴口力0.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若f(x)Wg(x)恒成立，求a的最小值.

【变式3-1](2024•四川泸州•二模)已知函数f(x)=2%3-a%2+2(a>0).

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

⑵若士e[-1,1],|/Q)|23,求实数a的取值范围.

【变式3-2](2024•北京•三模)已知函数fQ)=ln(x+l)+k(x+l).

(1)求/'CO的单调区间；

(2)若f(x)W-1恒成立，求实数k的取值范围；

(3)求证：察〈辿尸.(九6N且2)

【变式3-3](2024•四川•模拟预测)已知函数f(x)=axlnx-2x+6(a,bGR)在点(1)(1))处的切线方程

为y=-x.

(1)求函数f(x)的极值；

(2)设g(x)=砂|%/(3+2]+mx(.meR),若g(x)>0恒成立，求TH的取值范围.

【题型4构造函数法解决不等式恒(能)成立问题】

【例4】(2024・四川乐山•二模)若存在与6[—1,2],使不等式Xo+(e2-l)lna2商+e2%o—2成立，则a的

取值范围是()

A-[今翻B.[评]C.曲4]D.[”]

【变式4-1](2024•甘肃兰州・二模)若关于x的不等式e*+久+21n：2nl/+1所恒成立，则实数力的最大

值为()

A.1B.fC.fD.e2

N4Z

/\x+a

【变式4-2](2023•河南开封•模拟预测)若存在xe[l,+8),使得关于久的不等式(l+口12e成立，则

实数a的最小值为()

11

A.2B.—C,In2-1D.蔽-1

【变式4-3](2024•江西赣州•二模)已知函数/'(%)=e-+1,g(%)=(1+若Ng(%),则左的取

值范围为()

A.(0,e]B.[e,+8)C.白，+8)D.(0,]

【题型5与不等式恒(能)成立有关的证明问题】

【例5】(2024•云南昆明•三模)已知函数/(%)=e%-sina%；

(1)当a=-1时，证明：对任意xe(-,+8),/(x)>0；

(2)若x=。是函数y(X)的极值点，求实数a的值.

【变式5-1］(2024・青海•模拟预测)已知函数/'(%)=6球+聂2一5(aeR).

(1)当a=l时,求/(久)的最值；

(2)当时,证明：对任意的久~x2G［-2,2］,都有|f(%i)-f(%2)lWe2-1.

【变式5-2］(2024•陕西安康•模拟预测)己知函数/'(x)=ae'(aK0)应(久)=/0(久)为g(x)的导函数.

(1)证明：当a=l.时，Vxe(0,+oo),f(x)>

(2)若/(久)与gQ)有两条公切线，求a的取值范围.

【变式5-3］(2024•贵州六盘水•三模)若函数/(%)在［a,句上有定义，且对于任意不同的犯,小e口切，都有

\f(.x1)-f(x2)\<k\x1-x2\，则称f(x)为［a,句上的*类函数”

(1)若/'(x)=X2,判断/(%)是否为［1,2］上的“4类函数”；

o1_

(2)^/(%)=-Inx+(a+l)x+嚏为［l,e］上的“2类函数”，求实数a的取值范围；

⑶若f(久)为［1,2］上的“2类函数”且f(l)=f(2),证明：V%!，X2G［1,2］,|/(xi)-/(x2)l<1.

【题型6洛必达法则】

【例6】(23-24高二下•全国♦期末)若不等式sin%>%-a%3对于%£(0,)恒成立，求a的取值范围.

1

【变式6-1](2023iWi三,全国,专题练习)已知函数/(久)=。111万+6%(£1/67?)在久=5处取得极值，且曲线

y=/(x)在点(1/(1))处的切线与直线x—y+1=0垂直.

(1)求实数a,6的值；

(2)若Vxe[1,+8),不等式/(x)W(m-2)x-?'亘成立，求实数zn的取值范围.

【变式6-2](2024・浙江•二模)①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具一洛必达法则，法则中有

结论：若函数/'(%),g(x)的导函数分别为。(x),g'(x)，且limf(x)=limgO)=0,则

x->ax->a

%->a八G(x)JQ''M7

②设。>0,左是大于1的正整数，若函数/(%)满足：对任意久e[0,a],均有/(%)之/停)成立，且理/(%)

=。，则称函数/(x)为区间[。,a]上的k阶无穷递降函数.

结合以上两个信息，回答下列问题：

⑴试判断/■⑶=久3-3久是否为区间[0,3]上的2阶无穷递降函数;

1

(2)计算:lim(l+%)x；

3

(3)证明:<COSX,XG

【变式6-3](23-24高二下•广东珠海・期末)在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域的

问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附近

数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种方法，其中有一种十分简单且好用的方法——洛

必达法则

该法则表述为：“设函数/(*),g(x)满足下列条件：

(r)lim/(x)=0,lim^(x)=0：

x->a%->a

②在点a处函数和g(x)的图像是连续且光滑的，即函数/(X)和g(x)在点a处存在导数；

③即黑=4其中/是某固定实数；

则=噜=4”

厂心出x—心(X)

那么，假设有函数/'(久)=ex,g(x)=tx+1.

⑴若f(久)>g(x)恒成立，求t的取值范围；

(2)证明：ex-lnx>2.

【题型7双变量的恒(能)成立问题】

[例7](2023・四川泸州•一模)已知函数/'(X)=ax+1-xlnx的图像在x=1处的切线与直线久-y=0平行.

(1)求函数/(x)的单调区间；

⑵若以1，刀26(0,+8),且％1>刀2时，求实数加的取值范围.

【变式7-1](2023・四川自贡•二模)已知函数/(x)=ae，—/有两个极值点打、电

(1)求a的取值范围；

(2)若冷23xi时，不等式工1+丘222*62恒成立，求2的最小值.

【变式7-2](2024•全国•二模)已知函数/(%)=%ln%-评一%+eR),广(%)为/(%)的导函数.

(1)当a=!时，若g(x)=t(x)在[[切+1](1>0)上的最大值为/1(。，求h(t)；

(2)已知X1,%2是函数/(X)的两个极值点，且％1<%2，若不等式ei+m<XiX劈恒成立，求正数加的取值范围.

、■-1-1

【变式7-3](2023•河南•二模)已知函数/'(X)+(7n-l)x-ln久(zneR),g(x)=/-姿+1.

⑴讨论f(%)的单调性;

(2)当爪>0时，若对于任意的/€(0,+8),总存在犯6[1,+8),使得/(久1)29(冷)，求小的取值范围.

►过关测试

一、单选题

1.(2024・陕西・模拟预测)当久>0时，久2”轨_2111%之以+1恒成立，则实数a最大值为()

44

A/B.4C.了D.8

2.(2024・陕西安康•模拟预测)若存在xe(0,+8),使得不等式02/+久20加+1112式成立，则实数a的取

值范围为()

A-2，+8)B,[|,+oo)C.(-oo,1]D.(—8,1

3.(2024•河南•模拟预测)已知4>0,对任意的%>1,不等式62忒一。11^)111%20恒成立，则实数2的取值

范围为()

A.2,+8)B.5,+8)

C.[2e,+oo)D.[e,+8)

4.(2024・广东深圳•模拟预测)已知函数/(%)=ae=+ln扁-2,若f(%)>0恒成立，则正实数a的取值范围

是()

A.0<a<eB.a>e2C.a>eD.a>2e

5.(2024•全国•模拟预测)若关于％的不等式(e-l)(ln%+a%)之丘。工一1在停,1]内有解，则正实数a的取

值范围是()

A.(0,2+21n2]B.[-^,e]C.(0,4]D.[^,e]

^elnx-3

6.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(乃=，》『2bc，若不等式恒成立，则实数a的取

(x-2)ex-—A<0x

值范围为()

A.(—8,3)B.(6e-2,+oo)

C.(6e—2,3)D.(-oo,6e-2)

7.(2024•重庆•模拟预测)已知函数/(x)=W，gQ)=axe-ax,若存在/C(0,1),到6(-8,0)使得=g

(久2)，则实数a的取值范围为()

A.(—8,—2)B.(—2,—1)C.(—1,+8)D.(0,+8)

8.(2023・上海崇明•一模)若存在实数a,b,对任意实数xe[0,1],使得不等式炉一爪wa久+6W疗+小恒成

立，则实数机的取值范围是()

A•惕+00)B.陪+8)C.惕+8)D.惇,+8)

二、多选题

9.(2024•新疆•一模)设/⑶=(1+x)lnx„g(x)=(a-l)x,若/(%)<g(x)在久£[1,2]上恒成立，则实数a

的值可以是()(附:M2=0.69)

10.(2024•河南郑州•模拟预测)已知函数/(久)=xcosx-sinx,下列结论中正确的是()

A.函数久久)在％=与时，取得极小值一1

B.对于Vx€[0,n],/(久)W0恒成立

,，.l俨1sinxi

C.右°<久1<去<冗，则看<病

D.若对于"久€(04)，不等式a(手<b恒成立，则a的最大值为?，6的最小值为1

11.(2024•江苏•模拟预测)设久V%2)是直线y=。与曲线/(%)=%(1-In%)的两个交点的横坐标，则

()

A.%i%2<eB.%21n%i>%ilnx2

C.maE(0,1),%2一%1>e。D.VaE+%2>a

三、填空题

12.(2024・四川成都•三模)若不等式即工⑺久-ln2)-xlnx2N0,对任意久eg,+8)恒成立，则正实数小的

取值范围是.

13.(2024•广西桂林•三模)若宅：22(用11%-；0(卜>0)对任意的万€(0,+8)恒成立，则左的取值范围是

14.(2024•浙江•三模)已知函数/'(X)=(x—2)ex+Inx,g(x)=ax+b,对任意ae(—8,1],存在x€(0,1)

使得不等式/(久)Ng(x)成立，则满足条件的6的最大整数为.

四、解答题

15.(2024•山西吕梁•三模)已知函数/(%)=%2-2%+aln%,QeR).

(1)讨论函数的单调性；

(2)若对任意的比1,到G(0,+8)西丰x2,使X弋二J3)>0恒成立，则实数a的取值范围.

16.(2024•全国•模拟预测)已知函数f(%)=%2-2aln%—2(aeR).

(1)讨论f(%)的单调性;

(2)若不等式f(%)<2(lnx)2+/一2%在区间(1,+8)上有解，求实数a的取值范围.

17.(2024•广东茂名,一■模)设函数/(X)=e*+asinx,xG[0,+oo).

(1)当a=—1时，〃>)2汝+1在[0,+8)上恒成立，求实数6的取值范围;

(2)若a>0/(%)在[0,+oo)上存在零点，求实数a的取值范围.

18.(2024•四川宜宾•模拟预测)己知函数/(久)=[-xlnK,g(久)=a(x+Inx)+a?—方

(1)求/(%)过原点的切线方程；

(2)求证：存在ae(0,乡，使得/(X)2g(x)在区间(1,+8)内恒成立，且/(x)=g(x)在(1,+8)内有解.

19.(2024•北京•三模)已知/(久)=(2久一l)eax-x在x=。处的切线方程为x+y+b=0.

(1)求实数a,b的值；

(2)证明：/(%)仅有一个极值点%o，且fQo)<-“

(3)若g(x)=(依-1)底一乂，是否存在k使得g(x)2-1恒成立，存在请求出k的取值范围，不存在请说明理由.

重难点04利用导数研究不等式恒（能）成立问题【七大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1直接法解决不等式恒（能）成立问题】..................................................3

【题型2分离参数法求参数范围】..............................................................6

【题型3分类讨论法求参数范围】..............................................................9

【题型4构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】.............................................12

【题型5与不等式恒（能）成立有关的证明问题】...............................................16

【题型6洛必达法则】........................................................................20

【题型7双变量的恒（能）成立问题】.........................................................25

►命题规律

1、利用导数不等式恒（能）成立问题

恒（能）成立问题是高考的常考考点，是高考的热点问题，其中不等式的恒（能）成立问题经常与导数及

其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难

度较大，解题时要学会灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1不等式恒（能）成立问题的解题策略】

1.不等式恒（能）成立问题的求解方法

解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法：

（1）分离参数法解决恒（能）成立问题

①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等

式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题.

②恒成立U>a，/（x）max；

。&/（X）恒成立。&/（x）min；

a2/（x）能成立a2fix）min；

。W/G）能成立a^f（x）max.

（2）分类讨论法解决恒（能）成立问题

分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进

行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一

段内的函数值不满足题意即可.

【知识点2双变量的恒(能)成立问题的解题策略】

1.双变量的恒(能)成立问题的求解方法

“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价

变换有：

对于某一区间/,

)

(l)VXj,X2e>g(》2/Wmin>g(x)max.

(2)VXlEll,BX2Gl2,/(%i)>g(&)/(%)min>g(x)min.

)，

(3)3XGe2,/(均>g(x2)/(x)max>gG)max.

【知识点3洛必达法则】

“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，

000

经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现万型或益型可以考虑使用洛必达法则.

1.洛必达法则

法则1若函数人X)和g(x)满足下列条件:

(2)在点a的去心邻域内，外)与g(x)可导且g'(x)W0;

f(x)

⑶吧国=心

那么lim*=lim笔=/.

ig{x)…g⑴

法则2若函数段)和8任)满足下列条件:

⑴lim/(x)=8及limg(x)=oo；

x—>a

(2)在点a的去心邻域内，4)与g(x)可导且g(x)W0；

rf(x)

(3)im=A,

xTa7gw

那么配线r(x)

hrm、=A,

ig⑴

2.用洛必达法则处理抵型函数的步骤:

(1)分离变量;

(2)出现《型式子；

(3)运用洛必达法则求值.

00

3.用洛必达法则处理省型函数的步骤:

(1)分离变量；

⑵出现楙型式子；

(3)运用洛必达法则求值.

【注意】：

1.将上面公式中的x―a,x—oo换成x—>+oo,x—>-oo,x->a+,xTa一,洛必达法则也成立.

2.洛必达法则可处理/谭,0•co,产,8。,0。,8—8型求极限问题.

3.在着手求极限前，首先要检查是否满足，号,0-S,：T,«A0°,8—8型定式，否则滥用洛必达法则

会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极

限.

4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

==如满足条件，可继续使用洛必达法则.

x—^agwxTagwx—ag(%)

►举一反三

【题型1直接法解决不等式恒(能)成立问题】

【例1】(2024•内蒙古呼和浩特•二模)若=2e+lnax在比6(0,+8)上恒成立，贝ija的最大值为()

A.?B.2e»eC.e-eD.e1+^-e

【解题思路】易知a>0,原式可变形为/(*)=e^-e-ae-alnaxN0,(x>0),结合隐零点的解题思路，求出

1

/Wmin»由/(%)min20可得=]-21ntT20,结合函数的单调性解得0<七<1,即可求出。的取值范围

即可.

【解答过程】由题意知，ax>0,由％>0,得。>0.

原式可化为。…-。。一。]!!。%>0,

设/(久)=ex-e—ae—alnax(x>0),则f'(%)=ex-e—p

又函数y=ex~e,y=一(在(0,+8)上单调递增，所以函数y=((%)在(0,+8)上单调递增，

则当%70时，/<%)->—8,当%一+8时，/<%)—+8,

故存在t>0使得/'(t)=0,即e~e—2=0,得。=出~6,gpina=Int+t—e,

且当0V%Vt时,f'(x)<0；当％,t时,//(x)>0,

所以函数f(%)在(OJ)上单调递减，在Q+8)上单调递增，

故/(%)min=f(t)=et-e—ae—alnat=et-e—teef-e-tet-e(21nt+t—e),

所以e*—e—tee~e—tet—e(21nt+t—e)=et-e(l—te—2tlnt—t24-te)>0,

即I—21nt—t20,设h(t)=~-21n力一t(t>0),

-1

由函数y=~,y=-2\nt,y=-t在(0,+8)在单调递减，

知函数h(t)在(0,+8)在单调递减,且九⑴=0,所以0VY1,

所以e~e<e~ewe—e,故0vte~e〈ei-e,即OCaWe—e,当且仅当t=1时等号成立，

所以。的最大值为e-e.

故选：C.

【变式1-1](2024•陕西咸阳•模拟预测)已知不等式也%-|-1_e9+五40有实数解，则实数Q的取值

范围为()

A.(—8,一月B.(—oo/O)C.[一卷,+8)D.[0,+8)

【解题思路】构造两个函数％(%)=x2lnx/(x)=-Vex2+2x-^+a(x>0),先利用导数求出h(%)=/E%单

11

调区间，从而得到似乃在久=%处取到最小值，再利用二次函数的性质知/⑺=-Vex2+2％+a(x>0)在

%=+处取到最大值，从而可求出结果.

【解答过程】mo,所以不等式111久-：-"e)++五WO有实数解，即不等式尤211枕4-正久2+2%_t+。

成立，

11

设/i(%)=/In%,/(%)=-Vex2+2%—&+a(x>0),・,•=2x\nx+%2x-=x(l+21nx),

当OV久<已时，/i\x)<0,当久,已时，h,(x)>0,

所以无(%)在区间(0*)上是减函数，在区间(京,+8)上是增函数，h(x)min=/l(±)=-i,

又因为/(无)=_迎(％_嘉)+a,当％=+时，/(X)max=a，

因为不等式lnx—|—(a-—专+Ve<。有实数解,贝Uf(%)max=a2/i(x)min=一(

故选：C.

【变式1-2](2024•四川成都・模拟预测)若关于「的不等式(6-1)(111(1+%)2。眇一1在工€[0,1]内有解,则实

数a的取值范围是()

A-[去罔B.[1,e]C,[|,e2]D.口]

【解题思路】题设中的不等式等价于(e—l)ln(ae，)2aex-l,令f(t)=(e—+1,结合导数可得该函

数的单调性，结合/⑴=0/(e)=0可得(e-l)lnt>—1的解，从而可求实数Q的取值范围.

【解答过程】由Ina有意义可知，a>0.

由(e-l)Qna+%)>aex-l,得(e-l)ln(ae尤)>aex-l.

令t=aex,即有(e-l)lnt>t-1.

因为％W[0,1],所以t=ae*w[a,ae],令/(t)=(e-l)lnt-t+1,

问题转化为存在tG[afae],使得/(t)>0.

a_1_7

因为广(t)=1—,令尸(t)<0,BPe-l-t<0,解得t>e—l；

令尸(t)>0,即e—1—t>0,解得0<t<e—1,

所以f(t)在(0,e-l)上单调递增，在(e-1,+8)上单调递减.

X/(l)=o,/(e)=(e-l)lne-e+1=0,所以当lWtWe时,f(t)>0.

因为存在te[a,ae],使得/'(t)20成立，所以只需aWe且ae21,解得aeg,e].

故选：B.

【变式1-3](2024•甘肃兰州・三模)已知函数/(久)=磊一久3,对于任意的xe(1,2],不等式/(若)+/

要<、)<1恒成立，则实数t的取值范围为()

\(x-l)2(x—6)/

A.(1,+°°)B.[—1,1]C.(-8,—1]D.(—oo,—1)

【解题思路】由题意可得f(x)=l-九-X),f(x)在R上单调递减，所以不等式/(岩)+f<1恒

成立，等价于方>—在尤e(1，2]恒成立,即(％+1)(%-1)(久一6)<-«+1)恒成立，设

h(x)=(%+l)(x-l)(x-6),xe(l,2],利用导数求出函数h(x)在xe(1,2]的最值即可得答案.

【解答过程】解：因为/(%)=白-%3,XER,易知/(乃在R上单调递减，

1pX

所以/'(一吗=Q互+炉=H+/，

所以人—乃+/(*)=1,所以/(%)=1-/(—X),

又因为对于任意的久e(1,2],不等式九件+八01：：；_6))<1恒成立，

即对于任意的久6(1,2],不等式/((X_1；；；A6))<1—八言)=/(—言)恒成立，

所以(二工6)>一言在％e(1,2]上恒成立，

即言>-(I黑一6)在“e(1,2]上恒成立・

由％e(1,2],知x-l>0,x-6<0,

所以当xe(1,2],上式等价于(x+1)0一等(“一6)<一(t+1)恒成立.

设h(x)=(x+l)(x—l)(x—6)=x3—6x2—x+6,xG(1,2],

h.'[x}=3x2-12x-l,开口向上，对称轴为x=2,

当xe(1,2]时，》(x)<〃(l)=—10<0,所以％(x)在xe(1,2]内单调递减，而八(1)=0,

所以h(x)<0,所以0W—(t+l),BPt<-l.

故选：C.

【题型2分离参数法求参数范围】

【例2】(2024•宁夏银川•模拟预测)已知a6N*,；函数/(x)=e3，-x。>0恒成立，则a的最大值为()

A.2B.3C.6D.7

【解题思路】由题意函数/(x)=e3x-非>()恒成立，可得到a为正奇数，讨论久的范围，参变分离转化成恒

成立问题，定义新函数求导求最小值，从而得到a的最大值.

【解答过程】当a为正偶数时，当％=-2时，f(-2)=e6-(-2)a<0,不合题意，所以a为正奇数，

则当x<0时，xa<0<e3时亘成立，只需研究x>0时，e3x—xa>0恒成立即可，

当x=l时，03-1>0成立，则当X€(0,1)时，a>落，因为此时书<0,所以恒成立.

当久€(1,+8)时，a<记^恒成立，

设9(久)=G(L+8)，则g'CO=3器,)，

令g'(x)=。，得％=6，

当％e(l,e)时,g'(x)<0,g(x)单调递减，

当KC(e,+8)时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

所以g(x)min=g(e)=3ea8.2,又因为a为正奇数，

所以a的最大值为7.

故选：D.

【变式2-1](2024・四川宜宾・二模)已知不等式axe^+xAl-ln久有解，则实数a的取值范围为()

A.(一5，+8)B.(-1,+oo)C.D.(_8,0

【解题思路】分离参数转化为。>上淖，构造函数/0)=胃学，利用导数法求出f(x)min，a>f(%)min

即为所求.

【解答过程】不等式axe，+工>l-lnx有解，即。>上三丝，%>0,只需要a>(上一)

xex\xex/

1—%—Inx

令f(x)

xex

(x+l)(x-2+lnx)

X>0,

x2ex

令g(x)=x—2+Inx,%>0,

5'(x)=l+->0,所以函数g(x)在(0,+8)上单调递增,

又g⑴=T<0,g(2)=ln2>0,所以存在配e(1,2),使得。(刈))=0,即近-2+】nx()=0,

•1•xG(O,xo),g(x)<0,即尸(x)<0；x6(x0,+oo),g(x)>0,即((x)>。,

所以函数f(x)在(O,%o)上单调递减，在(孙,+8)上单调递增，

/(&)=I：］：?又由“0—24-lnx=0,可得尤oe'。=e2,

人()DU0

r,、l—XQ—\nXoI-XQ+XQ-21

•1-f(X。)=々声。=一一=一万

故选：A.

【变式2-2](2024•四川成都・三模)若％W[0,+8),%2+q%+i〈e久恒成立，则实数a的最大值为()

A.eB.2C.e-1D.e-2

【解题思路】先确定％=0时的情况，在x>0时，参变分离可得aw巴尸，进而构造函数/(%)=四罗,

求得/(x)的最小值即可.

【解答过程】当x=0,l<e°,不等式成立，

当x>0时，aW」-R-i恒成立,即a>可—J),

xxmin

令f(x)=与匚，则/(x)=(e*-2叫广-=(A1)(；A1),

令g(x)=e'-x-l,则g(x)=eX-l,当x>0时,g'(x)=ez-l>0,

所以g(x)在(0,+8)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0,所以eJv-1>0,

所以当0<%<l时,f(%)<0,所拶单调递减,当x>l时，f(x)>0,所x)单调递增,

所以/(x)min=/⑴=eJ：T=e-2,所以aWe-2.

所以实数a的最大值为e-2.

故选：D.

x2

【变式2-3](2024•四川南充・三模)已知函数/(久)=夕3,=e-|%-%,3%1；久26[1,2]使

|9(打)—9(型)|>同/(右)—/(冷)|(忆为常数)成立，则常数上的取值范围为()

A.(-oo,e-2]B.(-oo,e-2)C.(一8,^^|D.(一8,^^)

【解题思路】存在性问题转化为上<可匚在口，2]上能成立，利用导数求胃二的最大值即可得解•

【解答过程】了。)=暴3在[1,2]上为增函数，

由g(x)=d—/2_乂知，g，(x)-ex-x-l,

令h(x)=e，—x—1,则“(%)=ex-l,

当x>0时，h'(x)=ex-1>0,

即h(x)=9-%-1在(0,+8)上单调递增，

所以做x)>/i(0)=0,即g<x)>0,

所以g(x)在(0,+8)上单调递增，即g(无)在[1,2]上单调递增，

不妨设1W%2<%iw2,则g(%[)>g(#2)，/(X1)>/(%2))

fc

lg(xi)-g(x2)i>k|f(%D-y(x2)l可化为g(xi)-g(%2)>/(xi)-fc/(x2)>

即g(xi)T/Oi)>g(K2)-kfQ：2),

令F(x)=g(x)—kf(x)=ex—^x2—x—^kx3,

则F(x)=ex—x—l—kx2,

•TXI,*2e[1,2],使IgOD—g(%2)l>网/(打)一『(*2)1能成立，

F(x)>0在口,2]上能成立,

即k<二二在[1,2]上能成立，

k<，xE[l,2],

令G(x)=寸二，xe[l,2],

则G，(x)=『7+2,令他(%)=(久—2)/+x+2,

则m<%)=(x-l)ex+1,当%6［1,2］时，mf(x)>0,

故m(%)在［1,2］上单调递增，所以m(%)>m(l)=3-e>0,

故G<%)>0,G(%)在［1,2］上单调递增，

•••G(X)max=G(2)=宁，

4

故选：D.

【题型3分类讨论法求参数范围】

2

【例3】(2024・广东汕头•三模)已知函数/'(X)=lnx-ax,g(久)=晟440.

(1)求函数/(“)的单调区间；

(2)若/(%)<g(x)恒成立，求a的最小值.

【解题思路】(1)求导后，利用导数与函数单调性的关系，对a>0与a<0分类讨论即可得;

(2)结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.

【解答过程】(1)((x)=§-a=—(a70),

当a<0时，由于<>0,所以r(%)>0恒成立,从而f(尤)在(0,+8)上递增;

当a>0时，0<x<《，/'(%)>0；x>:,f'[x)<0,

从而在(o,£)上递增，在9,+8)递减；

综上，当a<0时，/(x)的单调递增区间为(0,+8),没有单调递减区间；

当a>0时，/(x)的单调递增区间为(0,；),单调递减区间为@,+8).

2

(2)令八(久)=/(x)-g(x)=\nx-ax--,要使/'(%)<g(x)恒成立，

只要使"x)W0恒成立，也只要使h(x)maxW0.

人⑴一…白=9+1)产-2),

kJxax1axz

若。>0,x>0,所以a%+l>0恒成立，

当0<%<(时，h'(x)>0,当:<x<+8时，h'(x)<0,

可知心)在(。,1)内单调递增，在(：,+8)内单调递减，

所以八(x)max=h(?=lnA3W0,解得：a>^,

可知a的最小值为9；

e-3

若a<0,x>0,所以a%—2Vo恒成立,

当0<%<一：时，h'(x)<o,当一N<久<+8时，"(x)>0,

可知h(x)在(0,-£)内单调递减，在(-1+8)内单调递增，

所以九(久)在(0,+8)内无最大值，且当久趋近于+8时，九(%)趋近于+8,不合题意；

综上所述：a的最小值为总

e°

【变式3-1］(2024•四川泸州・二模)已知函数/'(无)=2比3-a%2+2(。>0).