2025年高考数学重难点突破训练：函数性质的灵活运用【八大题型】（含答案及解析）

重难点02函数性质的灵活运用【八大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1函数的单调性的综合应用】............................................................3

【题型2函数的最值问题】.....................................................................4

【题型3函数的奇偶性的综合应用】............................................................4

【题型4函数的对称性及其应用】..............................................................5

【题型5对称性与周期性的综合应用】..........................................................6

【题型6类周期函数】.........................................................................6

【题型7抽象函数的性质及其应用】............................................................7

【题型8函数性质的综合应用】.................................................................8

►命题规律

1、函数性质的灵活运用

函数及其性质是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个重点、热点内容，

函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函

数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解.对

于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及

求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大，复

习时要加强训练.

►方法技巧总结

【知识点1函数的单调性与最值问题的解题策略】

1.求函数的单调区间

求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.

2.函数单调性的判断

(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

(2)函数yjg(x))的单调性应根据外层函数产也)和内层函数pg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的

原则.

(3)函数单调性的几条常用结论：

①若"X)是增函数，贝『/(x)为减函数；若是减函数，则-〃x)为增函数；

②若〃x)和g(x)均为增(或减)函数，则在/(x)和g(x)的公共定义域上〃x)+g(x)为增(或减)函

数；

③若〃x)>0且/(x)为增函数，则函数/而为增函数，一匚为减函数；

/(x)

④若y(x)>o且y(x)为减函数，则函数77?6为减函数，」一为增函数.

/(X)

3.求函数最值的三种基本方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

4.复杂函数求最值：

对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

【知识点2函数的奇偶性及其应用】

1.函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断段)与火-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系

式(/(x)+/(-x)=O(奇函数)或危)力-x)=0(偶函数))是否成立.

(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的

函数，ta/(x)+g(x),/(x)-g(x),/(x)Xg(x),f(x)g(x).

对于运算函数有如下结论：奇土奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇、(土)奇=偶；奇><(十)偶=奇;

偶x(十)偶=偶.

(4)复合函数y=/[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇.

(5)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数/(x)=w?(a+l)(xwO)或函数f(x)=m(a.

a-1a+1

②函数f(x)=±(ax-a-x).

③函数/(x)=log=log。(1+或函数/(x)=log=log“(1--—)

flx-mx-mflx+mx+m

④函数〃x)=log"(Gn+x)或函数f(x)=log,,(Vx2+1-x).

2.函数奇偶性的应用

(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的

函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.

【知识点3函数的周期性与对称性的常用结论】

1.函数的周期性常用结论(。是不为0的常数)

(1)若兀r+a)=/(x),贝T=a；

(2)若贝!JT=2a；

(3)若於+〃)=次x),贝！JT=2a；

(4)若加+.)=/*(；),贝I]7=2。；

(5)若次x+a)=-f(!),贝ljT=2a；

(6)若7(x+a)=/(x+b),贝！IT=\a-b\(a^by,

2.对称性的三个常用结论

(1)若函数兀v)满足火a+x)y6-x),则y=/(x)的图象关于直线x="：”对称.

(2)若函数兀r)满足加什丫尸十方.)，则y=/(x)的图象关于点(今步,0b寸称.

(3)若函数於)满足/(a+x)4yS-无尸c,则y=/(x)的图象关于点对称.

3.函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=/(x)有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数〃x)是周期函数，且7=2(b-a)；

(2)若函数y=/(x)的图象有两个对称中心(a,c),(6,c)(a<Z?),则函数y=/(x)是周期函数，且

T=1(b-a)；

(3)若函数y=/(尤)有一条对称轴无=。和一个对称中心(6,0)(。<6),则函数y=f(x)是周期函数，且

r=4(b-a).

【知识点4抽象函数的解题策略】

1.抽象函数及其求解方法

我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y/x)表示，抽

象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于

一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.

►举一反三

【题型1函数的单调性的综合应用】

【例1】(2024•河北沧州・模拟预测)已知函数fQ)定义域为R,且函数f(x)与f(x+l)均为偶函数，当工€[0,1]

时，/(%)是减函数，设a=/(1!)，力=/(£)，C=/(logi6^)，则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

【变式1-1](2024•陕西西安・模拟预测)已知函数/(%)的定义域为R,对任意实数x,>都有

/(%+y)=/(x)+/(y)-l,当久>0时,/(%)>1,且f(2)=5,则关于x的不等式/(%)+/(4-3%)<6的解

集为()

A.(1,+8)B.(2,+8)C.(-oo,1)D.(-oo,2)

【变式1・2】(2024•山东•二模)已知函数/(%)=2X2一血％+1在区间[_1,+8)上单调递增，则/(I)的取值

范围是()

A.[7,+oo)B.(7,+oo)

C.(—8,7]D.(—8,7)

【变式1・3】(2024•江苏苏州•模拟预测)已知定义在区间(-血血)(根>0)上，值域为R的函数/(%)满足：①

当0<久<加时，/(%)>0；②对于定义域内任意的实数Q、6均满足：/(a+b)=?[岩*•贝U()

U

-1■Jku77\J

A./(0)=1

B.\/xr,x2,-m<%i<x2<M/QD>f(%2)

C.函数〃>)在区间(0,m)上单调递减

D.函数/'(x)在区间(-6即)上单调递增

【题型2函数的最值问题】

【例2】(2024•安徽淮北•二模)当实数t变化时，函数/(%)=|尤2+4,％6[-4,4]最大值的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

【变式2-1](2024•全国•模拟预测)已知x>0,y>0且x+y=l,则/或+/磊的最小值为()

A."B.-C.D.-

【变式2-2](2024•江西鹰潭・三模)若/(X)=|x+2|+|3x—可的最小值是4,则实数a的值为()

A.6或一18B.-6或18

C.6或18D.一6或一18

【变式2-3](2024•全国•三模)已知函数/(无)=6Y-(6+3)刀3在[_1,1]上的最小值为-3,则实数b的取值范

围是()

A.(—oo,-4]B.[9,+oo)C.[—4,9]D.[-1,9]

【题型3函数的奇偶性的综合应用】

【例3】(2024•安徽亳州•模拟预测)已知函数久久)是定义在R上的偶函数，函数9(久)是定义在R上的奇函数，

且/Q),g(x)在[0,+8)上单调递减，贝ij()

A-/(/(2))>/(7(3))B.f(g(2))<f(g(3))

c.g(g(2))>g(g(3))D.g(/(2))<g(f(3))

【变式3-1](2024•浙江绍兴•三模)已知函数/(久)满足：对任意实数x,y,都有f(f(x+y))=f(x)(y)

成立，且/'(0)=1,贝！J()

A./(x+l)为奇函数B./(x)+l为奇函数

C.，(久+1)|为偶函数D.，(久)一1|为偶函数

【变式3-2](2024•辽宁沈阳•三模)已知/(X)是定义在R上的函数，且/(2x-1)为偶函数，/(x-2)是奇函数,

当％6[0,1]时,f(x)=2x-l,则f(7)等于()

11

A.-1B.——C.-D.1

【变式3-3](2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，且对任意的瓶<几<0,都有

<0,且f(-2)=0,则不等式金号2N0的解集为()

A.[-3,-1]U[0,1]B.[—2,2]

C.(-8,-3)U(—2,0)U(2,+8)D.[-3,-1]U(0,1]

【题型4函数的对称性及其应用】

【例4】(2024•四川・三模)定义在R上的函数y=/(%)与y=g(%)的图象关于直线％=1对称，且函数

y=g(2%-1)+1为奇函数，则函数y=/(%)图象的对称中心是()

A.(-1-1)B.(-1,1)C.(3,1)D.(3-1)

【变式4-1](2024•宁夏银川•三模)已知函数/(>)=/*,则下列说法不正确的是()

A.函数久久)单调递增B.函数f(x)值域为(0,2)

C.函数/(%)的图象关于(0,1)对称D.函数/(%)的图象关于(1,1)对称

【变式4-2](2024•四川南充•三模)已知函数/(X)、g(x)的定义域均为R,函数-2久-1)+1的图象关于原

点对称，函数g(x+l)的图象关于y轴对称，/(x+2)+g(x+l)=—1/(—4)=0,则/(2030)-g(2017)=

()

A.-4B.-3C.3D.4

【变式4-3](2024•重庆•模拟预测)已知函数y=/O)的定义域是(—8,0)u(0,+8),对任意的比i，x26

(0,+oo),^x,都有叱〉0,若函数y=f(久+1)的图象关于点(一1,0)成中心对称，且/1)

X12x2X1

=4,则不等式/(%)>?的解集为()

A.(-1,0)U(0,1)B.(―l,0)U(l,+8)

C.(-0,-1)U(0,1)D.(-00,-1)U(1,4-oo)

【题型5对称性与周期性的综合应用】

[例5](2024•全国•模拟预测)若定义在R上的函数/⑶满足/(田)=/(%),且f(2+x)+/(2-x)=6/⑶

=6,则下列结论错误的是()

A./(8+x)=/(%)B./(久)的图象关于直线x=4对称

C./(201)=3D.y=/(x+2)-3是奇函数

【变式5-1](2024・四川绵阳•模拟预测)定义在R上的函数/(x)满足/(2—x)=/(X),/(1)=2,/(3x+2)为

奇函数，有下列结论：

①直线％=1为曲线y=/(幻的对称轴；②点(|,0)为曲线y=/(x)的对称中心；③函数/⑶是周期函数；

「2004

④2r/(0=o；⑤函数/(久)是偶函数.

其中，正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【变式5-2](2024•湖南邵阳•三模)已知函数/(%)及其导函数尸(吗的定义域均为R,记。(久)=广(久)，函数

/(2%+3)的图象关于点(-1,1)对称.若对任意XCR,有/(%+3)=X+/(3—X),则下列说法正确的是()

A.g(x)不为周期函数B./(久)的图象不关于点(1,1)对称

1

C.9(211)=5D./(985)=1

【变式5-3](2024•陕西榆林•一模)定义在R上的函数fO),g(x)满足f(0)<0,/(3-x)=/(1+x),

1

g(2-x)+g(x)=2,,g(x+-)=/(2x)+1,则下列说法中错误的是()

A.x=6是函数/(x)图象的一条对称轴

B.2是g(x)的一个周期

C.函数/'(%)图象的一个对称中心为(3,0)

D.若neN*且n<2023,/(n)+f(n+1)+-+f(2023)=0,则〃的最小值为2

【题型6类周期函数】

【例6】(2024•山东青岛•模拟预测)函数/(%)的定义域为R,满足/(x)=2/Q—l),且当x6(0,1]时，f(x)=x

(1一x).若对任意X6(-8,河，都有/则Hl的最大值是()

11r14八32r41

A-TB-TC.君D.-

【变式6-1](2024•云南昆明•二模)定义“函数y=/(x)是D上的a级类周期函数”如下：函数y=/(x),久e

D,对于给定的非零常数a,总存在非零常数T,使得定义域D内的任意实数久都有好。)=/(尤+7)恒成立，

此时r为久久)的周期.若y=f(久)是[1,+8)上的a级类周期函数，且7=1,当久e[1,2)时，/(幻=2久+1,且

y=f(x)是[1,+8)上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()

A.[|,+8)B.[2,+00)C.[|,+8)D.[10,+00)

【变式6-2](2024•河南新乡•三模)设函数f(x)的定义域为R,满足，(久-2)=2f(x),且当xe(0,2]时，

,2

/0)=久(2—乃.若对任意X6口+8),都有成立，则a的取值范围是()

A.H，+8)B.[|,+8)

C.(―8,—|]D.(—co,—1]

【变式6-3](2024•安徽合肥•模拟预测)定义在R上的函数/(久)满足/(x+1)=?(%),且当[0,1)时，/(%)

=1一|2久一1|.当％€[m,+8)时,f(%)<—,则m的最小值为()

A•百B.豆C.-D.—

【题型7抽象函数的性质及其应用】

【例7】(2024•山西吕梁・一模)已知函数/(久)满足/(久+y)+fQ-y)=7(x)f(y),/(1)=|,则下列结论

不正确的是()

A./(0)=3B.函数f(2x—l)关于直线》=京寸称

C./(%)+/(0)>0D.f(x)的周期为3

【变式7-1](2024•江西•模拟预测)已知定义域为R的函数/(x),g(x)满足：g(o)K。，/O)g(y)-/(y)g(x)

=f(%-y),且=g(久-y)，则下列说法不正确的是()

A.9(0)=1B./(%)是奇函数

C.若/(I)+g(l)=1,则f(2024)=g(2024)=-1D.g(x)是奇函数

【变式7-2](2024•全国•模拟预测)设函数/(X)的定义域是(0,+8),且对任意正实数x,y都有f(>y)=f(久)

+/(y)恒成立，已知/'(2)=1,且当x>1时，/(%)>0.

⑴求/©)的值；

(2)判断y=/(%)在区间(0,+8)内的单调性，并给出证明；

(3)解不等式/(2x)>/(8x—6)—1.

【变式7-3](2024•江西•模拟预测)已知函数p(%),q(%)的定义域均为R,且满足：@Vx>0,p(x)>0；

②q(%)为偶函数,q(x)>q(0)=1；③Vx,yWR,p(x+y)=p(x)q(y)+q(x)p(y).

⑴求p(0)的值，并证明：p(%)为奇函数；

(2)€R，且%1V%2，证明：

①P(X1)=P(空)q(空)+q(空)P(亨]

②p(x)单调递增.

【题型8函数性质的综合应用】

【例8】(2024•黑龙江佳木斯•模拟预测)已知f㈤=W普+，是定义在[―2,2]上的函数，若满足f(久)+f(-切

1

=0且/(1)=9

(1)求/■(%)的解析式;

(2)设函数g(x)=x2-2mx+4(meR),若对任意久1到G[1,2],都有。(功)</(右)恒成立，求m的取值范围.

【变式8-1](2024・上海宝山,一■模)已知函数/(久)=/一ax-a,aeR.

⑴判断函数/(x)的奇偶性；

(2)若函数/(久)=x"(x)在工=1处有极值，且关于x的方程F(久)=m有3个不同的实根，求实数m的取值范

围；

(3)记g(x)=-M(e是自然对数的底数).若对任意久1、冷e[0间且的>八时，均有|/(右)一〃>2)|<

|g(久i)-g(久2)|成立，求实数a的取值范围.

【变式8-2］(23-24高一上•广东广州•期末)已知函数f。)的定义域为R,Wa,beR,f(a+b)+f(a-b)=

(a)/(6),且/(l)=*1/(%)在区间［0,3］上单调递减.

(1)求证：/(%)+/(0)>0；

⑵求f(l)+f(2)+…+f(2023)的值;

(3)当久GR时，求不等式3/(2比)+4<9/(x)的解集.

【变式8-3］(2023•上海浦东新•模拟预测)已知定义域为。的函数丫=/(吗.当。6。时，若9(K)=号］⑷

(%eD,xKa)是增函数，则称f(x)是一个"T(a)函数

(1)判断函数y=2/+无+2(xe7?)是否为7(1)函数，并说明理由；

(2)若定义域为［0,+8)的7(0)函数y=s(x)满足s(0)=0,解关于2的不等式s(2Q<加(2)；

(3)设P是满足下列条件的定义域为R的函数y=W(x)组成的集合：①对任意W(x)都是7(a)函数；

②W(0)=W(2)=2,W(_i)=勿(3)=3.若W(x)2nl对一切W(x)6P和所有xeR成立，求实数ni的最大

值.

►过关测试

一、单选题

1.(2024•湖北武汉•二模)已知函数/(久)=同用，则关于x的不等式/(2x)〉/(l-久)的解集为()

A.&+8)B.(-oo,|)C.(|,1)D.

y2—2QXX>1

{^X-1,X<1是R上的增函数，则实数。的取值范围是()

A.(0总B.(0,•C.(0,1)D.(0,1]

3.(2024•上海黄浦・二模)设函数f(久)=「哈IX)靠？x<4°t若/(久)〉。恒成立，则实数a的取值

范围是()

A.(1,+8)B.(0,0

C(Q)D.(|,1)

4.(2024•西藏•模拟预测)若函数/(x)=x-W，则下列函数中为奇函数的是()

A./(%+1)-2B./(久一1)-2C./■(久一1)+2D.f(x+1)+2

5.(2024•广东深圳•模拟预测)已知函数/(X)的定义域为R,若对VxeR都有/(3+x)=/(l—%),且f(x)在

(2,+8)上单调递减，贝叶(1),/(2)与f(4)的大小关系是()

A./(4)</(1)</(2)B./(2)</(1)</(4)

C.f(l)<f(2)</(4)D.f(4)<f(2)<f(l)

6.(2024•辽宁抚顺・一模)已知定义域为0}的函数f(%)满足/(%+y)[/(%)+f(y)]=/(%)/(y),/(I)

=2,且当％6(0,+8)时，恒成立，则下列结论正确的是()

A./(|)=6B.fax)=2f(x)

C./(X)为奇函数D./(%)在区间(0,+8)是单调递增函数

7.(2024・陕西安康•模拟预测)己知函数/(%)的定义域为R,函数/(%)=/(1+吗-(1+久)为偶函数，函数

GQ)=/(2+3x)—1为奇函数，则下列说法错误的是()

A.函数/(x)的一个对称中心为(2,1)B./(0)--1

C.函数/(%)为周期函数,,且一个周期为4D.f(l)+/(2)+/(3)+/(4)=6

8.(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数y=/(x)是定义在R上的函数，/(I+x)=/(1-x),函数/(比+1)

的图象关于点(一1,0)对称，且对任意的G[0,1],%1*%2>均有君/(久1)+^2/(X2)>+点/(X1)，

则下列关于函数y=/(久)的说法中，正确的个数是()

®/(%+2)=/(x-2)；

②d登

③函数y=/(x)在[2,4]上单调递增;

④不等式/(久)＞。的解集为[4k,4k+2](fceZ).

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

9.(2024•河北沧州•二模)已知/(久)是定义在[0,+8)上的单调递增且图象连续不断的函数，若V久,ye

[0,+oo),恒有/(x+y)=成立,设句＞龙2＞1，典1()

A./(0)=0

B.3%0[0,+oo),f(x0)=1

C/(一)+/(久2)＞

D-)+f(%2)V,(二1+久2)

10.(2024•新疆•三模)已知/O),9(%)都是定义在R上的函数，对任意实数X,＞满足f(%+y)-/(%-y)=2g

Q)f(y)，f(2)+/(i)=o且/(2)"(1)wo,则下列结论正确的是

A.f(0)=0B.9(1)=-5

『2024

C./(久)为奇函数D.〉f(n)=2024

乙^九=1

11.(2024•江西上饶•模拟预测)已知函数/(%)的定义域为R,V%,yER,f(x+y)~f(x—y)=2/Q—%)f(y),

且/(3=1，贝I()

A./(x)为偶函数B./(x)=2/(|)/(l^)

C./(x)的周期为2D.[/(%)]2+[/(|-^)]=1

三、填空题

12.(2024•青海海西•模拟预测)已知/(x)是定义在R上的奇函数，且满足/(久+2)=-/(-x),贝，(1000)=

13.(2024•天津・一模)记不超过x的最大整数为团.若函数/(x)=|2x-[2x+t]]既有最大值也有最小值，

则实数t的取值范围是.

14.(2024・湖南衡阳•模拟预测)已知f(x),g(x)是定义域为R的函数，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，满

足/(久)+90)=〃2+久+2,若对任意的1</<久2<2,都有二:二鲁2)>-3成立,则实数a的取值范围

是.

四、解答题

15.(2024•上海•三模)己知/(久)=胃，函数y=/(x)是定义在(-2,2)上的奇函数，且/⑴=5

(1)求/'(%)的解析式;

(2)判断y=/(久)的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.

16.(2024•吉林长春•一模)函数/'(%)的定义域为(0,+8),对于Vx,yG(0,+oo),/(xy)=f(x)+f(y),

且当x>l时，/(x)<0.

(1)证明:f(x)为减函数；

(2)若/&)=2,求不等式/(%)+/(x-1)+2>。的解集.

17.(2024・河南•模拟预测)已知函数/(久)对任意实数居y恒有/0-/+/(久+/=/(2切成立，且当x<0时,

f(x)>0.

(1)求f(0)的值;

(2)判断/(吗的单调性，并证明；

(3)解关于X的不等式:/[%2一(口_|_2)x]+f(a+y)+/(a-y)>0.

18.(23-24高二下•江西南昌•期末)定义在[一2,2]上的函数y=f(x)满足：对任意的孙九€[-2,2],都有，

(m+7)=/(m)成立,且当久>0时，f(x)>0.

(1)求证：f(x)在[-2,2]上是单调递增函数；

(2)解关于式的不等式：/(%)</(2x+1);

(3)已知f(l)=，若/(久)<产-2就一2对所有的x£［一2,2］及a£［一2a恒成立，求实数t的取值范围.

19.(2024•天津河北•模拟预测)已知。>0,函数/(%)=a/+必+久久瓦cER).

(1)函数/(%)的图象经过点(0,-2),且关于久的不等式的解集为［-1,2］,求/(%)的解析式；

(2)若/(久)有两个零点a,£(a<S),且/(x)的最小值为—4a,当0<aW^时，判断函数。(久)=a/+(6-2)久+c

在(a/)上的单调性，并说明理由；

(3)设b=2a,记h(t)为集合｛/(x)|t-1<x<t+l］(teR)中元素的最大者与最小者之差，若对Vte

(-00,-1］,h(t)>。2一口恒成立，求实数G的取值范围.

重难点02函数性质的灵活运用【八大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1函数的单调性的综合应用】............................................................3

【题型2函数的最值问题】.....................................................................6

【题型3函数的奇偶性的综合应用】............................................................9

【题型4函数的对称性及其应用】..............................................................11

【题型5对称性与周期性的综合应用】.........................................................13

【题型6类周期函数】........................................................................17

【题型7抽象函数的性质及其应用】...........................................................20

【题型8函数性质的综合应用】...............................................................24

►命题规律

1、函数性质的灵活运用

函数及其性质是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个重点、热点内容，

函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函

数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解.对

于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及

求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大，复

习时要加强训练.

►方法技巧总结

【知识点1函数的单调性与最值问题的解题策略】

1.求函数的单调区间

求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.

2.函数单调性的判断

(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

(2)函数yjg(x))的单调性应根据外层函数产也)和内层函数pg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的

原则.

(3)函数单调性的几条常用结论：

①若"X)是增函数，贝『/(x)为减函数；若是减函数，则-〃x)为增函数；

②若〃x)和g(x)均为增(或减)函数，则在/(x)和g(x)的公共定义域上〃x)+g(x)为增(或减)函

数；

③若〃x)>0且/(x)为增函数，则函数/而为增函数，一匚为减函数；

/(x)

④若y(x)>o且y(x)为减函数，则函数77?6为减函数，」一为增函数.

/(X)

3.求函数最值的三种基本方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

4.复杂函数求最值：

对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

【知识点2函数的奇偶性及其应用】

1.函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断段)与火-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系

式(/(x)+/(-x)=O(奇函数)或危)力-x)=0(偶函数))是否成立.

(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的

函数，ta/(x)+g(x),/(x)-g(x),/(x)Xg(x),f(x)g(x).

对于运算函数有如下结论：奇土奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇、(土)奇=偶；奇><(十)偶=奇;

偶x(十)偶=偶.

(4)复合函数y=/[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇.

(5)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数/(x)=w?(a+l)(xwO)或函数f(x)=m(a.

a-1a+1

②函数f(x)=±(ax-a-x).

③函数/(x)=log=log。(1+或函数/(x)=log=log“(1--—)

flx-mx-mflx+mx+m

④函数〃x)=log"(Gn+x)或函数f(x)=log,,(Vx2+1-x).

2.函数奇偶性的应用

(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的

函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.

【知识点3函数的周期性与对称性的常用结论】

1.函数的周期性常用结论(。是不为0的常数)

(1)若兀r+a)=/(x),贝T=a；

(2)若贝!JT=2a；

(3)若於+〃)=次x),贝！JT=2a；

(4)若加+.)=/*(；),贝I]7=2。；

(5)若次x+a)=-f(!),贝ljT=2a；

(6)若7(x+a)=/(x+b),贝！IT=\a-b\(a^by,

2.对称性的三个常用结论

(1)若函数兀v)满足火a+x)y6-x),则y=/(x)的图象关于直线x="：”对称.

(2)若函数兀r)满足加什丫尸十方.)，则y=/(x)的图象关于点(今步,0b寸称.

(3)若函数於)满足/(a+x)4yS-无尸c,则y=/(x)的图象关于点对称.

3.函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=/(x)有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数〃x)是周期函数，且7=2(b-a)；

(2)若函数y=/(x)的图象有两个对称中心(a,c),(6,c)(a<Z?),则函数y=/(x)是周期函数，且

T=1(b-a)；

(3)若函数y=/(尤)有一条对称轴无=。和一个对称中心(6,0)(。<6),则函数y=f(x)是周期函数，且

r=4(b-a).

【知识点4抽象函数的解题策略】

1.抽象函数及其求解方法

我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y/x)表示，抽

象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于

一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.

►举一反三

【题型1函数的单调性的综合应用】

【例1】(2024•河北沧州・模拟预测)已知函数fQ)定义域为R,且函数f(x)与f(x+l)均为偶函数，当xe[0,l]

时，/(%)是减函数，设Qu/db=，C=/(logi6^)，则4，b，c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

【解题思路】根据题意，由条件可得函数/(X)是周期为2的函数，则可得b=，G),c=/Q,

【解答过程】因为函数f(x)是偶函数，贝行(―x)=/(x),

又函数/Q+1)为偶函数，贝行(一汽)=/(2+x),

即f(x)=f(2+x)，所以函数/(%)是周期为2的函数，

则b=/Q)=fG),c=f(log16=/(Iogie2)=fQ),

且当xe[0,1]时，/(%)是减函数，

由白片轲得府)>府)>熊)，即Cd

故选：C.

【变式1-1](2024•陕西西安•模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y都有

/(%+y)=/(x)+/(y)-l,当x>0时，f(x)>1,且f(2)=5,则关于x的不等式f(x)+/(4-3久)<6的解

集为()

A.(1,+8)B.(2,+8)C.(-8,1)D.(-8,2)

【解题思路】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可.

【解答过程】任取不<冷，

从而/'(X2)—/(X1)=/(%2-久1+Xl)-y(Xl)

=/(%2—%1)—1,

因为刀2-％1>0，所以/'(工2-5)>1,

所以/(亚)一〃％)>。

则f(x)在R上单调递增.

不等式f0)+/(4-3x)<6等价于不等式

f(%)+f(4—3%)—1<5,

即f(%+4—3x)</(2).

因为/(%)在R上单调递增，

所以4一2%<2,解得久>1.

故选：A.

【变式1-2](2024•山东•二模)已知函数/(%)=2%2一M％+1在区间[_1,+8)上单调递增，则/(I)的取值

范围是()

A.[7,+oo)B.(7,+oo)

C.(—8,7]D.(—8,7)

【解题思路】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得加£-4,再由/(1)=3-血，进而求得了(I)的取值

范围.

【解答过程】由函数/⑶=2/—mx+I的对称轴是X=会

因为函数在区间[—1,+8)上是增函数，所以解得mW—4,

又因为/'(1)=3-m,因此3-巾27,所以/'(I)的取值范围是[7,+8).

故选：A.

【变式1-3](2024•江苏苏州•模拟预测)已知定义在区间(-科根)(小〉0)上，值域为R的函数/(%)满足：①

当0<x<m时，f(x)>0；②对于定义域内任意的实数。、6均满足：f(a+b)=贝！J()

A./(0)=1

B.久2，一瓶<%1<%2<>/(x2)

C.函数〃>)在区间(0匹)上单调递减

D.函数/(x)在区间(-犯a)上单调递增

【解题思路】赋值：令a=6=0代入可得/(0)=0,令。=尤,6=-%代入可得函数为奇函数，再根据函数单

调性定义可以证明函数在(一科6)的单调性.

【解答过程】对A,令a=6=0,则f(0)=g稔,

f(o)-尸(0)=2/(0),即f(0)[/2(0)+1]=0,

故/(0)=0,所以A不正确；

/(a)+/(b)_/(%)+”—第)

取a=x,b=一为代入:

对B,/(0)=l-/(a)/(b)-;

即/(%)=-/(一%)，即/(%)在(一馆即)上为奇函数,

设<Xi<X2<Tn,

所以/(%2-X1)>0，且f(%2)>>0,

故：=/(%2)+/(一%1)=f[x2+(-%i)][l-/(X2)/(Xl)]

=/(%2-久1)口+/(X2)/(X1)]>0

即：/(%2)>/(Xl),故B错误；

对C,由B知函数在(O,zn)上单调递增，故C错误；

对D,由C结合函数为奇函数且/(0)=0,

所以/(%)在(一皿峭上单调递增，故D正确.

故选：D.

【题型2函数的最值问题】

【例2】（2024•安徽淮北•二模）当实数t变化时，函数/（%）=|%2+t\,xe[-4,4]最大值的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

【解题思路】先对内函数y=/+t对应的方程的根的情况分类讨论，得出壮0时，结果为16,对于t<o时,

求出两根，根据图象，就内函数的零点与区间端点的位置进行分类考虑，利用函数单调性分析即得.

【解答过程】若△=—4two,即t20时，/（X）=X2+t,其对称轴为龙=0,“X）max=t+16,

此时，因120,故g（t）=t+16的最小值为16；

若t<0,由y=d+t=o可得％=±6工，

图1

(I)如图1,当QW4时，即—16Wt<0时，/0)=|久2+［|在［_4,一产?］上递减，

在［一百,0］上递增，

在［0,正田上递减，在g,4］上递增,又f(±4)=|t+16|=t+16,f(0)=|t|=T,

①当—16WtW—8时，t+16W-t,故/(x)max=-3而g(t)=-t;在［-16,-8］上单调递

减，则此时，g(t)min=g(-8)=8;

②当一8<t<0时,t+16>—t,故/(x)max=t+16,而h(t)—t+16在(—8,0)上单调

递增，则此时，g(t)>%(-8)=8.

(n)如图2,当户>4,即t<—16时，〃>)=|尤2+4在［_4,0］上单调递增，在［0,4］上单调递减，

则此时f(%)max=f(0)=|t|=-t,而0(t)=-t在(-8,-16)上单调递减，则s(t)><p(-16)=16.

综上，函数/(x)=|%2+t\,xG［—4,4］最大值的最