2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量基本定理学案含解析北师大版必修4

PAGE3．2平面对量基本定理考纲定位重难突破1.了解平面对量基本定理及其意义．2.会用随意一组基底表示指定的向量，能应用平面对量基本定理解决(分析)一些实际问题.重点：平面对量基本定理的意义及应用．难点：应用平面对量基本定理解决平面几何问题.授课提示：对应学生用书第43页[自主梳理]1．平面对量基本定理(1)定理：假如e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底．2．对基底的理解(1)基底的两个主要特征①基底是两个不共线的向量；②基底的选择是不唯一的．(2)零向量与随意向量共线，故不能作为基底．[双基自测]1．下面三种说法中，正确的是()①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面全部向量的基底；②一个平面内有多数多对不共线向量可作为该平面全部向量的基底；③零向量不行作为基底中的向量．A．①② B．②③C．①③ D．①②③解析：只要平面内一对向量不共线，就可以作为该平面对量的一组基底，故①不正确，②正确；因为零向量与随意一个向量平行，所以③正确，故选B.答案：B2．已知平行四边形ABCD，下列各组向量中，是该平面内全部向量基底的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→)) B.eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))解析：不共线的两个向量可以作基底．答案：D3．已知λ1＞0，λ2＞0，e1，e2是一组基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，则a与e1________，a与e2________(填“共线”或“不共线”)．解析：不妨设a与e1共线，则由a＝λ1e1＋λ2e2知λ2＝0与λ1＞0，λ2＞0冲突，∴a与e1，e2都不共线．答案：不共线不共线授课提示：对应学生用书第43页探究一对基底的理解[典例1]如图，设点O是▱ABCD两对角线交点，下列向量组：①eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))；③eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))；④eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→)).可作为该平面其他向量基底的是()A．①② B．①③C．①④ D．③④[解析]①eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))不共线；②eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(DA,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线；③eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))不共线；④eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OD,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))共线．由平面对量基底的概念知①③可构成平面内全部向量的基底．[答案]B两个向量能否作为基底，关键是看它们是否共线．此题中的向量是否共线，主要看它们所在的线段是否在一条直线上或是否平行．1．已知e1，e2不共线，现有下列几组向量：①a＝2e1，b＝2e2；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.其中a，b可以作基底的序号是________．解析：不共线的两向量均可做基底．所以知①④可以，②③共线不行做基底．答案：①④探究二用基底表示向量[典例2]如图，△OAB中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，M，N分别是边eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))上的点，且eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，设eq\o(AN,\s\up6(→))与eq\o(BM,\s\up6(→))相交于P，用向量a，b表示eq\o(OP,\s\up6(→)).[解析]eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(NP,\s\up6(→)).设eq\o(MP,\s\up6(→))＝meq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(NP,\s\up6(→))＝neq\o(NA,\s\up6(→))，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋meq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋m(b－eq\f(1,3)a)＝eq\f(1,3)(1－m)a＋mb，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋neq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋n(a－eq\f(1,2)b)＝eq\f(1,2)(1－n)b＋na.∵a，b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)1－m＝n,\f(1,2)1－n＝m))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝\f(1,5)，,m＝\f(2,5).))∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(2,5)b.用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来．解决此类题时，要细致视察所给图形，借助于平面几何学问和共线向量定理及平面对量基本定理解决．2.如图，在△ABC中，已知M为BC边上一点，且满意eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，求△ABM与△ABC的面积之比．解析：∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,4)(eq\o(MC,\s\up6(→))－eq\o(MA,\s\up6(→)))，∴eq\f(3,4)eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(MC,\s\up6(→))＝3eq\o(BM,\s\up6(→))，∴eq\f(S△ABM,S△ABC)＝eq\f(|\o(BM,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,4).探究三平面对量基本定理的应用[典例3]如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))；(2)求证：B，E，F三点共线．[解析](1)如图所示，延长AD到G，使eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，则eq\o(AG,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a)．(2)证明：由(1)知，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))共线．又eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))有公共点B，∴B，E，F三点共线．只要是平面内的两个不共线向量，肯定能作为一组基底，把向量用基底进行表示，证明三点共线问题转化为证明有公共点的两个向量共线解决．3.如图，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD与BC交于点M，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→)).(2)在已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M.设eq\o(OE,\s\up6(→))＝peq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝qeq\o(OB,\s\up6(→)).求证：eq\f(1,7p)＋eq\f(3,7q)＝1.解析：(1)因为B，M，C三点共线，所以存在实数m，使得eq\o(OM,\s\up6(→))＝meq\o(OC,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))＝m·eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)ma＋(1－m)b.又A，M，D三点共线，所以存在实数n，使得eq\o(OM,\s\up6(→))＝neq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－n)eq\o(OD,\s\up6(→))＝na＋eq\f(1,2)(1－n)b.由于a，b不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)m＝n,1－m＝\f(1,2)1－n))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(4,7),n＝\f(1,7)))，故eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,7)a＋eq\f(3,7)b.(2)证明：因为E，M，F三点共线，所以存在实数λ，使得eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\o(OE,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OF,\s\up6(→))＝λpa＋(1－λ)qb.结合(1)，易得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λp＝\f(1,7),1－λq＝\f(3,7)))，消去λ，得eq\f(1,7p)＋eq\f(3,7q)＝1.对平面对量基本定理理解不精确致误[典例]如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC.AM与BN相交于点P，则AP∶PM＝()A．1∶4 B．4∶1C．4∶5 D．5∶4[解析]设eq\o(BM,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up6(→))＝e2，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝2e1＋e2.因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ，使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＝－