2024-2025学年高中数学第一章数列2.1.1等差数列课时素养评价含解析北师大版必修5

PAGE三等差数列(20分钟35分)1.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=2,则a4等于 ()A.5 B.6 C.7 D.9【解析】选C.a4=a3+d=a2+2d=a1+3d=1+3×2=7.2.(2024·宝鸡高二检测)在数列QUOTE中a1=2,2an+1-2an=1,则a101的值为 ()A.52 B.51 C.50 【解题指南】由2an+1-2an=1,得到an+1-an=QUOTE,进而得到数列QUOTE是首项为2,公差为QUOTE的等差数列,利用等差数列的通项公式,即可求解,得到答案.【解析】选A.由题意,数列QUOTE满意2an+1-2an=1,即an+1-an=QUOTE,又由a1=2,所以数列QUOTE是首项为2,公差为QUOTE的等差数列,所以a101=a1+100d=2+100×QUOTE=52.3.已知等差数列{an}中各项都不相等,a1=2,且a4+a8=QUOTE,则公差d= ()A.0 B.QUOTE C.2 D.0或QUOTE【解析】选B.依据题意知d≠0,a4+a8=QUOTE⇒a1+3d+a1+7d=(a1+2d)2.又a1=2,则4+10d=(2+2d)2,解得d=QUOTE或d=0(舍去).4.若{an}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有 ()①{|an|}; ②{an+1-an};③{pan+q}(p,q为常数); ④{2an+n}.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选C.设an=kn+b,则an+1-an=k,故②为常数列,也是等差数列.pan+q=p(kn+b)+q=pkn+(pb+q),故③为等差数列,2an+n=2(kn+b)+n=(2k+1)n+2b,故④为等差数列.①未必是等差数列,如an=2n-4,则{|an|}的前4项为2,0,2,4,故{|an|}不肯定是等差数列.5.已知{an}为等差数列,a5+a7=4,a6+a8=-2,则该数列的正数项共有项.

【解析】由已知得QUOTE得QUOTE所以an=-3n+20.令an≥0,解得n≤QUOTE,即n=1,2,3,…,6,故该数列的正数项共有6项.答案:66.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,数列{bn}中,bn=3an+4,则{bn}是否为等差数列?并说明理由.【解析】{bn}是等差数列,理由如下:因为{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,所以an+1-an=d,所以bn+1-bn=3an+1+4-3an-4=3(an+1-an)=3d.因为d为常数,所以3d也为常数,所以{bn}是首项为b1=3a1+4,公差为3d的等差数列.【补偿训练】已知数列{log2(an-1)}(n∈N+)为等差数列,且a1=3,a3=9,求数列{an}的通项公式.【解析】设等差数列{log2(an-1)}的公差为d,则log2(a3-1)-log2(a1-1)=2d,代入a1=3,a3=9得,log28-log22=2d,所以d=1.所以log2(an-1)=log2(a1-1)+(n-1)×1=n.所以an-1=2n,所以an=2n+1.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在等差数列{an}中,若a1=-2,a5=2,则a20等于 ()A.15 B.16 C.17 【解析】选C.因为{an}为等差数列,a1=-2,a5=2,所以a5=a1+(5-1)d,即2=-2+4d,所以d=1,所以a20=a1+(20-1)d=-2+19×1=17.2.已知函数f(x)=cosx,x∈(0,2π)有两个不同的零点x1,x2,且方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m等于 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选D.若m>0,则公差d=QUOTE-QUOTE=π,明显不成立,所以m<0,则公差d=QUOTE=QUOTE.所以m=cosQUOTE=-QUOTE.3.已知QUOTE是等差数列,且a1=QUOTE,a4=1,则a10= ()A.-5 B.-11 C.-12 D.3【解题指南】由QUOTE是等差数列,求得an,进而求出a10.【解析】选B.因为QUOTE是等差数列,设bn=QUOTE,b1=QUOTE,b4=QUOTE,所以3d=-QUOTE,d=-QUOTE,所以bn=QUOTE-QUOTE,所以an=QUOTE-1,故a10=-11.4.(2024·荆州高一检测)《张丘建算经》有一道题大意为:今有十等人,每等一人,宫赐金,以等次差(即等差)降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入得金三斤,持出,中间三人未到者,亦依等次更给,则每等人比下一等人多得斤? ()

A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解题指南】依据题意将每等人所得的黄金斤数构造等差数列,设公差为d,依据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组,求出公差d即可得到答案.【解析】选B.设第十等人得金a1斤,第九等人得金a2斤,依次类推,第一等人得金a10斤,则数列{an}构成等差数列,设公差为d,则每一等人比下一等人多得d斤金,由题意得QUOTE,即QUOTE,解得d=QUOTE,所以每等人比下一等人多得QUOTE斤金.5.(2024·北京高考)在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{TnA.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项【解析】选B.设公差为d,因为a1=-9,a5=a1+4d=-1,所以d=2,所以a1,…,a5<0,a6,…>0,所以T1<0,T2>0,T3<0,T4>0,T5<0,以后都小于0,且越来越小.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2024·吉安市高一检测)已知数列{an}满意a1=1,an=QUOTE,则它的通项公式an=.

【解析】因为an=QUOTE,所以QUOTE-QUOTE=1,所以QUOTE为等差数列,即QUOTE=QUOTE+(n-1)·1=n,因为an>0,所以an=QUOTE.答案:QUOTE【误区警示】本题由于不留意an>0简单造成增根.7.一个等差数列的前三项为:a,2a-1,3-a.则这个数列的通项公式为an=.

【解析】因为a+(3-a)=2(2a-1),所以a=QUOTE.所以这个等差数列的前三项依次为QUOTE,QUOTE,QUOTE.所以d=QUOTE,an=QUOTE+(n-1)×QUOTE=QUOTE+1.答案:QUOTEn+18.已知等差数列{an}中,a1<a2<…<an且a3,a6为x2-10x+16=0的两个实根,则此数列的通项公式是.

【解析】由题意,QUOTE又因为a1<a2<…<an,所以解得a3=2,a6=8,所以QUOTE,a1=-2,d=2,从而an=-2+2(n-1),即an=2n-4.答案:an=2n-4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列{an}满意a1=1,且an=2an-1+2n(n≥2,且∈N+).(1)求a2,a3;(2)证明:数列QUOTE是等差数列;(3)求数列{an}的通项公式an.【解析】(1)a2=2a1+22=6,a3=2a2+23=20.(2)因为an=2an-1+2n(n≥2,且n∈N+),所以QUOTE=QUOTE+1(n≥2,且n∈N+),即QUOTE-QUOTE=1(n≥2,且n∈N+),所以QUOTE是首项为QUOTE=QUOTE,公差d=1的等差数列.(3)由(2)得QUOTE=QUOTE+(n-1)×1=n-QUOTE,所以an=QUOTE·2n.10.数列{an}满意a1=2,an+1=(λ-3)an+2n(n∈N+).(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;(2)是否存在λ的值,使数列{an}为等差数列?若存在,求其通项公式;若不存在,说明理由.【解析】(1)因为a1=2,a2=-1,a2=(λ-3)a1+2,所以λ=QUOTE.所以a3=-QUOTEa2+22,所以a3=QUOTE.(2)因为a1=2,an+1=(λ-3)an+2n,所以a2=(λ-3)a1+2=2λ-4,a3=(λ-3)a2+4=2λ2-10λ+16.若{an}为等差数列,则a1+a3=2a2,即λ2-7λ+13=0.因为Δ=49-4×13<0,所以方程无实数解,所以λ值不存在,所以不存在λ的值使{an}为等差数列.1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织28尺,其次日、第五日、第八日所织之和为15尺,则第十四日所织尺数为 ()A.13 B.14 C.15 【解题指南】由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出第十四日所织尺数.【解析】选B.设第一天织a1尺,从其次天起每天比前一天多织d尺,由已知得QUOTE,解得:a1=1,d=