2024-2025学年新教材高中数学第五章计数原理5.2习题课排列的应用课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(三十二)习题课排列的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同安排方法有()A．180种B．220种C．240种D．260种C[因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的4本中分一本，然后再选3本分给3个同学，故有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)＝240种．]2．从8人中选3人排队，其中甲乙不分开参排，若参排，就肯定排在一起，其不同的排法共有()A．252种B．278种C．144种D．362种C[依据甲、乙的参排状况加以分类．若甲乙不参排，不同的排法有Aeq\o\al(3,6)＝120种；若甲、乙参排，不同的排法有Aeq\o\al(1,6)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝24种；所以共有不同的排法120＋24＝144种，即选C．]3．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24B．18C．12D．6B[当选0时，先从1，3，5中选2个数字有3种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有两种方法，剩余1个数字排在首位，共有3×2＝6(种)方法；当选2时，先从1，3，5中选2个数字有3种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有两种方法，其余2个数字全排列，共有3×2Aeq\o\al(2,2)＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个)奇数．]4．若把英语单词“Look”的字母依次写错了，则可能出现的错误的种数为()A．24B．10C．9D．11D[Look有两个相同字母，故可能出现错误eq\f(1,2)Aeq\o\al(4,4)－1＝11(种)．本题也可列举求解．]5．4名男生和4名女生并坐一排照相，女生要排在一起，不同排法的种数为()A．Aeq\o\al(8,8)B．Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(4,4)C．Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)D．Aeq\o\al(5,8)B[因为4名女生要排在一起，所以先将4名女生捆绑与其他4名男生一起排列，然后再将4名女生排列，共有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(4,4)种排法．]二、填空题6．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1，2号盒子中，B球必需放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法有________种．30[依据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E有Aeq\o\al(3,3)＝6种不同的放法，则依据分步计数原理，此时有Aeq\o\al(3,3)＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E有Aeq\o\al(3,3)＝6种不同的放法，则依据分步计数原理，此时有Aeq\o\al(3,3)＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E有Aeq\o\al(3,3)＝6种不同的放法，依据分步计数原理，此时有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．]7．显示屏上的七个小孔排成一排，每个小孔可以显示红、黄、蓝三种颜色，或不显示．若每次由其中三个小孔显示一组红、黄、蓝三色信号，但相邻的两个小孔不同时显示，则该显示屏能够显示的不同信号数为________．60[3个显示小孔不相邻，即在4个不显示的小孔的5个空当中插入3个显示的小孔，又因3个小孔显示的颜色不相同，故有Aeq\o\al(3,5)＝60种不同的信号数．]8．从1，2，3，4，…，10十个数中任取两个数，分别做对数的底数与真数，可得到________个不同的对数值．69[从10个数中取出两个数的全部排列数为：Aeq\o\al(2,10)＝10×9＝90．当1为底数时，不合题意的共有9个，当1为真数时，对数值都是零，应去掉8个，又因log23与log49同，log32与log94同，log24与log39同，log42与log93同．∴共有不同对数值90－9－8－4＝69．]三、解答题9．如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞蓬是由太阳光的七种颜色组成的，七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种？[解]如图，对8个区域进行编号，任选一组对称区域(如1与5)同色，用7种颜色涂8个区域的不同涂法有7！种，又由于1与5，2与6，3与7，4与8是对称的，通过旋转后5，6，7，8，1，2，3，4与1，2，3，4，5，6，7，8是同一种涂色，即重复染色2次，故此种图案至多有eq\f(7！,2)＝2520种．10．某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，假如第一节不排体育，最终一节不排数学，那么共有多少种不同的排法？[解]6门课总的排法是Aeq\o\al(6,6)种，其中不符合要求的可分为：体育排在第一节有Aeq\o\al(5,5)种排法；数学排在最终一节有Aeq\o\al(5,5)种排法；但这两种方法，都包括体育在第一节，数学排在最终一节，这种状况有Aeq\o\al(4,4)种排法，因此符合条件的排法应是：Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4)＝504种．11．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有()A．10种B．16种C．20种D．24种C[一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．∵要求每人左右均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有Aeq\o\al(2,5)＝20种坐法．故选C．]12．从0，1，3，5，7中取出不同的三个数作为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系数，其中有实数根的不同的一元二次方程有()A．16个B．17个C．18个D．19个C[方程有实根，需Δ＝b2－4ac≥0．当c＝0时，a，b可在1，3，5，7中任取两个，有Aeq\o\al(2,4)个；当c≠0时，b只能取5，7，b取5时，a，c只能取1，3，共有Aeq\o\al(2,2)个；b取7时，a，c可取1，3或1，5，有2Aeq\o\al(2,2)个，所以有实数根的不同的一元二次方程共有Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(2,2)＝18个．]13．(多选题)7名学生，站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端，不同排法的种数为()A．Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5) B．Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)C．Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5) D．Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)ABC[法一(特别元素优先法)按甲是否在最右端分两类：第一类，甲在最右端，有Aeq\o\al(6,6)种方法；其次类，甲不在最右端，甲有Aeq\o\al(1,5)个位置可选，乙也有Aeq\o\al(1,5)个位置可选，其余5人有Aeq\o\al(5,5)种排法，即Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)种方法．故有Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)＝3720种方法．法二(间接法)无限制条件的排列方法共有Aeq\o\al(7,7)种，而甲在最左端，乙在最右端的排法分别有Aeq\o\al(6,6)种，甲在最左端且乙在最右端的排法有Aeq\o\al(5,5)种．故有Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720种方法．法三(特别元素优先法)按最左端先支配分步．对于最左端除甲外有Aeq\o\al(1,6)种排法，余下六个位置全排列有Aeq\o\al(6,6)种排法，其中甲不在最左端，乙在最右端的排法有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)种．故有Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)＝3720种方法．]14．(一题两空)用数字0，1，2，3，4，5可组成________个没有重复数字的四位数，在这些四位数中，按从小到大的依次排成一个数列，则第85个数为________．3002301[(1)法一(干脆法)：Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(3,5)＝300(个)．法二(间接法)：Aeq\o\al(4,6)－Aeq\o\al(3,5)＝300(个)．(2)1在首位的数的个数为Aeq\o\al(3,5)＝60．2在首位且0在其次位的数的个数为Aeq\o\al(2,4)＝12．2在首位且1在其次位的数的个数为Aeq\o\al(2,4)＝12．以上四位数共有84个，故第85个数是2301．]15．用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成多少个满意下列条件的没有重复数字的五位数．(1)被4整除．(2)比21034大的偶数．(3)左起其次、四位是奇数的偶数．[解](1)被4整除的数，其特征是末两位数是4的倍数，可分两类：当末两位数是20，40，04时，其排列数为3Aeq\o\al(3,3)＝18个，当末位数是12，24，32时，其排列数为3·Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝12个，故满意条件的五位数共有：3Aeq\o\al(3,3)＋3Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝30个．(2)可分五类：当末位数字是0，而首位数字是2时，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2,2)＝6个；当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12个；当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12个；当末位数字是4，而首位数字是2时，有Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(1,1)＝3个；当末位数字是4，而首位数字是3时，有Aeq\o\al(3,3)＝6个．故有(Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2,2))＋Aeq\o\al(1,2)