2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价三第一章空间向量与立体几何1.1.2空间向量基本定理含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGE三空间向量基本定理(15分钟30分)1．以下命题正确的是()A．两个共线向量是指在同始终线上的两个向量B．共线的两个向量是相等向量C．共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量D．共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量【解析】选D.依据共面与共线向量的定义可以判定．2．在下列条件中使M与A，B，C确定共面的是()A．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))C．eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D．eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0【解析】选C.在C中，由eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，则eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))为共面对量，即M、A、B、C四点共面；对于A，由eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，其系数和1－1－1＝－1≠1，不能得出M、A、B、C四点共面；对于B，由eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，其系数和eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)≠1，所以M、A、B、C四点不共面；对于D，由eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OM,\s\up6(→))＝－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，其系数和不为1，所以M、A、B、C四点不共面．【补偿训练】点O为空间随意一点，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，则A，B，C，P四点()A．确定不共面B．确定共面C．不确定共面D．无法推断【解析】选B.因为点O为空间随意一点，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，所以由共面对量基本定理得A，B，C，P四点确定共面．3．若{a，b，c}是空间的一组基底，则下列各组中不能构成空间一组基底的是()A．a，2b，3cB．a＋b，b＋c，c＋aC．a＋2b，2b＋3c，3a－9cD．a＋b＋c，b，c【解析】选C.对于A中a，2b，3c，B中a＋b，b＋c，c＋a，D中a＋b＋c，b，c，每组都是不共面的向量，能构成空间的一组基底；对于C，a＋2b，2b＋3c，3a－9c，满意3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，是共面对量，不能构成空间的一组基底．4．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列结论有可能正确的是________．(填序号)①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．【解析】当λ＝0时，a＝μe2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μe2，知a与e1，e2共面．答案：①②③5．已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝eq\f(1,2)EF，以、eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))为基底表示eq\o(AF,\s\up6(→)).【解析】由条件AF＝eq\f(1,2)EF知，EF＝2AF，所以AE＝AF＋EF＝3AF，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(＋)＝eq\f(1,3)(＋)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)(＋)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→)).(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．若向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))成为空间一组基底的关系是()A．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B．eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))C．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))D．eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))【解析】选C.对于A，由结论eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面知，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面；对于B，D，易知eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，故只有C中eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))不共面．2．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，eq\o(VP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(VC,\s\up6(→))，eq\o(VM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VB,\s\up6(→))，eq\o(VN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VD,\s\up6(→)).则()A．VA⊂平面PMNB．VA∥平面PMNC．VA⊥平面PMND．无法推断VA与平面PMN的位置关系【解析】选B.如图，设eq\o(VA,\s\up6(→))＝a，eq\o(VB,\s\up6(→))＝b，eq\o(VC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(VD,\s\up6(→))＝a＋c－b，由题意知eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(VC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.因此eq\o(VA,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PM,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(PN,\s\up6(→))，所以eq\o(VA,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))，eq\o(PN,\s\up6(→))共面．又VA⊄平面PMN，所以VA∥平面PMN.3．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一组基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一组基底；③A，B，M，N是空间四点，若eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))不能构成空间的一组基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一组基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一组基底．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】选D.依据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一组基底，否则就不能构成空间的一组基底．明显②正确，③中由eq\o(BA,\s\up6(→))、eq\o(BM,\s\up6(→))、eq\o(BN,\s\up6(→))共面且过相同点B，故A，B，M，N共面．①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，因为d与c共线，c≠0，所以存在实数k，使d＝kc，因为d≠0，所以k≠0，从而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，所以c与a，b共面与条件冲突．所以d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，M为空间随意两点，假如有eq\o(PM,\s\up6(→))＝＋7eq\o(BA,\s\up6(→))＋6－4，那么M必()A．在平面BAD1内B．在平面BA1D内C．在平面BA1D1内D．在平面AB1C1内【解析】选C.由于eq\o(PM,\s\up6(→))＝＋7eq\o(BA,\s\up6(→))＋6－4＝＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－eq\o(PB,\s\up6(→)))－4(－)＝11－6eq\o(PB,\s\up6(→))－4，于是M，B，A1，D1四点共面．二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．下列命题为真命题的是()A．若p＝xa＋yb，则p与a、b共面B．若p与a、b共面，则p＝xa＋ybC．若eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，则P，M，A，B共面D．若P，M，A，B共面，则eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))【解析】选AC.若p＝xa＋yb，则p与a，b确定在同一平面内，故A对；若eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，则eq\o(MP,\s\up6(→))、eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))三向量在同一平面内，所以P、M、A、B共面．故C对；eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，若p与a、b共面，但假如a，b共线，p就不确定能用a、b来表示，故B不对；同理D也不对．6．下列命题错误的是()A．若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线重合B．若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b确定不共面C．若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面D．已知空间的三个不共面对量a，b，c，则对于空间的随意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc【解析】选ABC.a与b共线，a，b所在的直线也可能平行，故A不正确，符合题意；依据自由向量的意义知，空间随意两向量a，b都共面，故B不正确，符合题意；三个向量a，b，c中随意两个确定共面，但它们三个却不确定共面，故C不正确，符合题意；D选项为空间向量基本定理，故正确，不符合题意．三、填空题(每小题5分，共10分)7．已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满意随意三点均不共线，但四点共面，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝2x·eq\o(BO,\s\up6(→))＋3y·eq\o(CO,\s\up6(→))＋4z·eq\o(DO,\s\up6(→))，则2x＋3y＋4z＝________．【解析】eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2x)·eq\o(OB,\s\up6(→))＋(－3y)·eq\o(OC,\s\up6(→))＋(－4z)·eq\o(OD,\s\up6(→))，由A，B，C，D四点共面，得－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1.答案：－18．已知空间向量eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60°.点G为△ABC的重心，若eq\o(PG,\s\up6(→))＝xeq\o(PA,\s\up6(→))＋yeq\o(PB,\s\up6(→))＋zeq\o(PC,\s\up6(→))，x，y，z∈R，则x＋y＋z＝________，|eq\o(PG,\s\up6(→))|＝________．【解题指南】运用共线向量和共面对量的学问可解决．【解析】依据题意得，点G为△ABC的重心，设BC中点为D，则eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(PG,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))，所以eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，所以x＝y＝z＝eq\f(1,3)，所以x＋y＋z＝1；|eq\o(PG,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋22＋32＋2×1×2×\f(1,2)＋2×1×3×\f(1,2)＋2×2×3×\f(1,2)))＝eq\f(25,9)，所以|eq\o(PG,\s\up6(→))|＝eq\f(5,3).答案：1eq\f(5,3)四、解答题(每小题10分，共20分)9．如图所示，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且|BE|＝eq\f(1,3)|BB1|，|DF|＝eq\f(2,3)|DD1|.(1)求证：A、E、C1、F四点共面；(2)若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋z，求x＋y＋z的值．【解析】(1)因为＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)).所以A、E、C1、F四点共面．(2)因为eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)，所以x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3)，所以x＋y＋z＝eq\f(1,3).10．如图所示，在空间几何体ABCD­A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→)).(2)eq\o(MP,\s\up6(→))＋NC1．【解析】(1)因为P是C1D1的中点，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝＋＋＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)因为M是AA1的中点，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋＝eq\f(1,2)c＋a，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.1．设e1，e2，e3不共面，则下列向量组不共面的是______(填序号).①a＝e1＋3e2－e3，b＝2e1－3e2－10e3，c＝－e1＋2e2＋6e3；②a＝2e1＋e2－3e3，b＝2e1＋e2－4e3，c＝3e1＋e2－2e3.【解析】①因为e1，e2，e3不共面，a＝e1＋3e2－e3，b＝2e1－3e2－10e3，c＝－e1＋2e2＋6e3，所以若a，b，c共面，则设c＝xa＋yb，所以－e1＋2e2＋6e3＝x·e1＋3x·e2－x·e3＋2y·e1－3y·e2－10y·e3＝(x＋2y)·e1＋(3x－3y)·e2－(x＋10y)·e3，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝－1，,3x－3y＝2，,－x－10y＝6，))无解，所以a，b，c不共面．②因为e1，e2，e3不共面，a＝2e1＋e2－3e3，b＝2e1＋e2－