2025版新教材高考数学一轮复习48双曲线训练含解析新人教B版

四十八双曲线(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1．(2024·泸县高三月考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为4eq\r(2)，且两条渐近线相互垂直，则该双曲线的实轴长为()A．2 B．4C．6 D．8B解析：双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x.因为两条渐近线相互垂直，所以－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＝－1，得a＝b.因为双曲线的焦距为4eq\r(2)，所以c＝2eq\r(2).由c2＝a2＋b2得2a2＝8，解得a＝2，所以实轴长为2a＝4.2．(2024·内蒙古自治区高三二模)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的顶点分别为A1，A2，以线段A1A2为直径的圆与直线ax＋by－2ab＝0相切，且双曲线C的焦距为4，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,3)－y2＝1 B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1C.x2－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(y2,9)－eq\f(x2,3)＝1A解析：由题意知，圆的半径为a，圆心为(0,0)．设圆心到直线的距离为d，则d＝eq\f(|－2ab|,\r(a2＋b2))＝a，所以a2＝3b2.因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，又c2＝a2＋b2，解得a＝eq\r(3)，b＝1，所以双曲线的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.3．(2024·青岛市高三二模)已知曲线C的方程为eq\f(x2,k2－2)－eq\f(y2,6－k)＝1(k∈R)，则下列结论正确的是()A．当k＝8时，曲线C为椭圆，其焦距为4＋eq\r(15)B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为eq\r(3)C．存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线D．当k＝3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9相切B解析：对于A，当k＝8时，曲线C的方程为eq\f(x2,62)＋eq\f(y2,2)＝1，轨迹为椭圆，焦距为2c＝2eq\r(62－2)＝4eq\r(15)，A错误；对于B，当k＝2时，曲线C的方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1，轨迹为双曲线，则a＝eq\r(2)，c＝eq\r(6)，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，B正确；对于C，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6－k<0，,k2－2<0，))解集为空集，所以不存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线，C错误；对于D，当k＝3时，曲线C的方程为eq\f(x2,7)－eq\f(y2,3)＝1，轨迹为双曲线，其渐近线方程为y＝±eq\f(\r(21),7)x，则圆(x－4)2＋y2＝9的圆心到渐近线的距离d＝eq\f(|±4\r(21)|,\r(21＋49))＝eq\f(4\r(3),\r(10))＝eq\f(2\r(30),5)≠3，所以双曲线渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9不相切，D错误．4．(2024·邢台市其次中学高三模拟)已知点A(0，－1)是抛物线x2＝2py的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且|PF|＝m|PA|.若双曲线C的中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\r(2)＋1 D.eq\r(3)＋1C解析：由点A在抛物线的准线上，得p＝2，故抛物线方程为x2＝4y，焦点坐标为F(0,1)．过点P作准线的垂线，垂足为N，如图所示，由抛物线定义可得|PN|＝|PF|.因为|PF|＝m|PA|，所以|PN|＝m|PA|，则eq\f(|PN|,|PA|)＝m.当直线PA的斜率不存在时，m＝1.当直线PA的斜率存在时，设直线PA的倾斜角为α，则sinα＝m，当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切．设直线PA的方程为y＝kx－1，代入抛物线方程得x2－4kx＋4＝0.由根的判别式Δ＝16k2－16＝0，解得k＝±1，易得点P的坐标为(2,1)或(－2,1)．由题意可知，A，F是双曲线的两个焦点，所以|PA|－|PF|＝2eq\r(2)－2＝2a，c＝1，所以双曲线的离心率为eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1.5．(多选题)若双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是()A．C的渐近线上的点到F距离的最小值为4B．C的离心率为eq\f(5,4)C．C上的点到F距离的最小值为2D．过F的最短的弦长为eq\f(32,3)AC解析：由题意可得2a＝6,2c＝10，所以a＝3，c＝5，b＝eq\r(c2－a2)＝4，右焦点F(5,0)，渐近线的方程为4x－3y＝0，所以C的渐近线上的点到F距离的最小值为F到渐近线的距离d＝eq\f(bc,c)＝b＝4，所以A正确，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，所以B不正确；双曲线上的点为顶点到焦点的距离最小，5－3＝2，所以C正确；过焦点的弦长为垂直与x轴的直线与双曲线的弦长，eq\f(2b2,a)＝eq\f(32,3)，而斜率为0时，弦长为实轴长2a＝6＜eq\f(32,3)，所以最短的弦长为6，故D不正确．6．(2024·全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．2解析：点B为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，点A的坐标为(a,0)．因为AB的斜率为3，所以eq\f(\f(b2,a),c－a)＝3，即eq\f(c2－a2,ac－a)＝eq\f(c＋a,a)＝e＋1＝3，所以e＝2.7．(2024·临沂市高三模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆F：(x－2)2＋y2＝3相切，且双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合，则双曲线C的方程为____________．x2－eq\f(y2,3)＝1解析：由题意，圆F：(x－2)2＋y2＝3的圆心F(2,0)是双曲线C的右焦点，所以c＝2.双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x.因为双曲线C的渐近线与圆F相切，所以圆心F(2,0)到直线y＝eq\f(b,a)x的距离等于圆的半径，即eq\f(|2b－0|,\r(a2＋b2))＝eq\r(3).所以b2＝3a2.又c2＝a2＋b2＝4，所以a2＝1，b2＝3.所以双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.8．已知双曲线C：x2－y2＝m(m>0)的焦距为4eq\r(2)，且它的渐近线与圆x2＋(y－m)2＝16有交点，连接全部交点的线段围成了几何图形M，则几何图形M的面积为________．16解析：由双曲线C：x2－y2＝m(m>0)，得eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m)＝1，则c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(2m)＝2eq\r(2)，解得m＝4.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.圆x2＋(y－m)2＝16化为x2＋(y－4)2＝16，如图．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x2＋y－42＝16，))解得B(4,4)；联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x，,x2＋y－42＝16，))解得A(－4,4)．所以几何图形M的面积为eq\f(1,2)×8×4＝16.9．(2024·黄冈中学高三月考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq\r(2)，且过点(4，－eq\r(10))．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0；(3)求△F1MF2的面积．(1)解：因为e＝eq\r(2)，所以双曲线的实轴、虚轴相等．可设双曲线方程为x2－y2＝λ.因为双曲线过点(4，－eq\r(10))，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则eq\o(MF1,\s\up6(→))＝(－2eq\r(3)－3，－m)，eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2.因为点M在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0.(3)解：△F1MF2的底边|F1F2|＝4eq\r(3).由(2)知m＝±eq\r(3)，所以△F1MF2的高h＝|m|＝eq\r(3)，所以S△F1MF1＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×eq\r(3)＝6.B组新高考培优练10．(多选题)(2024·淄博市高三二模)已知动点P在双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1上，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，下列结论正确的是()A．双曲线C的离心率为2B．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)xC．动点P到两条渐近线的距离之积为定值D．当动点P在双曲线C的左支上时，eq\f(|PF1|,|PF2|2)的最大值为eq\f(1,4)AC解析：对于双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1，a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，所以双曲线C的离心率为e＝eq\f(c,a)＝2，渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，A选项正确，B选项错误；设点P的坐标为(x0，y0)，则xeq\o\al(2,0)－eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，双曲线C的两条渐近线方程分别为x－eq\f(\r(3),3)y＝0和x＋eq\f(\r(3),3)y＝0，则点P到两条渐近线的距离之积为eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0－\f(\r(3),3)y0)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))2))·eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(\r(3),3)y0)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)－\f(y\o\al(2,0),3))),\f(4,3))＝eq\f(3,4)，C选项正确；当动点P在双曲线C的左支上时，|PF1|≥c－a＝1，|PF2|＝2a＋|PF1|＝|PF1|＋2，所以eq\f(|PF1|,|PF2|2)＝eq\f(|PF1|,|PF1|＋22)＝eq\f(|PF1|,|PF1|2＋4＋4|PF1|)＝eq\f(1,|PF1|＋\f(4,|PF1|)＋4)≤eq\f(1,2\r(|PF1|·\f(4,|PF1|))＋4)＝eq\f(1,8)，当且仅当|PF1|＝2时，等号成立，所以eq\f(|PF1|,|PF2|2)的最大值为eq\f(1,8)，D选项错误．11．(2024·甘肃适应测试)已知F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为eq\f(π,6)，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±2x B．y＝±eq\f(1,2)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\r(2)xD解析：不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|.由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2c>2a，,4a>2a，))所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝eq\f(π,6).由余弦定理，得coseq\f(π,6)＝eq\f(4a2＋2c2－2a2,2·4a·2c)＝eq\f(\r(3),2)，即(eq\r(3)a－c)2＝0，所以c＝eq\r(3)a，则b＝eq\r(2)a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(2)x.12．(多选题)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，双曲线的左焦点在直线x＋y＋eq\r(5)＝0上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值可能为()A．eq\f(3,4) B．1C．eq\f(4,3) D．2CD解析：由双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，可得a＝2b.由双曲线的左焦点在直线x＋y＋eq\r(5)＝0上，可得－c＝－eq\r(5)，即c＝eq\r(5).由a2＋b2＝5，解得a＝2，b＝1，双曲线的方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.由题意可得A(－2,0)，B(2,0)，设P(m，n)，可得eq\f(m2,4)－n2＝1，即有eq\f(n2,m2－4)＝eq\f(1,4)，所以k1k2＝eq\f(n,m＋2)·eq\f(n,m－2)＝eq\f(n2,m2－4)＝eq\f(1,4)(k1，k2＞0)，则k1＋k2≥2eq\r(k1k2)＝1.由A，B为左右顶点，可得k1≠k2，则k1＋k2＞1.13．(2024·泉州模拟)已知椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，双曲线N：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．eq\r(3)－12解析：如图，设椭圆的右焦点为F(c,0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A.由题意可知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，因为点A在椭圆M上，所以eq\f(c2,4a2)＋eq\f(3c2,4b2)＝1，所以b2c2＋3a2c2＝4a2b2.因为b2＝a2－c2，所以(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，所以4a4－8a2c2＋c4＝0，所以eeq\o\al(4,椭圆)－8eeq\o\al(2,椭圆)＋4＝0，所以eeq\o\al(2,椭圆)＝4±2eq\r(3)，所以e椭圆＝eq\r(3)＋1(舍去)或e椭圆＝eq\r(3)－1，所以椭圆M的离心率为eq\r(3)－1.因为双曲线的渐近线过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，所以渐近线方程为y＝eq\r(3)x，所以eq\f(n,m)＝eq\r(3)，故双曲线的离心率e双曲线＝eq\r(\f(m2＋n2,m2))＝2.14．已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1与双曲线x2－eq\f(y2,n)＝1的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则4eeq\o\al(2,1)－eeq\o\al(2,2)＝________.若P为两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝________.03解析：由题意得椭圆的半焦距满意ceq\o\al(2,1)＝4－m，双曲线的半焦距满意ceq\o\al(2,2)＝1＋n.因为两曲线有相同的焦点，所以4－m＝1＋n，即m＋n＝3，则4eeq\o\al(2,1)－eeq\o\al(2,2)＝4×eq\f(4－m,4)－(1＋n)＝3－(m＋n)＝0.不妨设F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝4，,|PF1|－|PF2|＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝3，,|PF2|＝1，))所以|PF1|·|PF2|＝3.15．(2024·八省联考)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.(1)求C的离心率；(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.(1)解：设双曲线的半焦距为c，则F(c,0)，Beq\b\lc\