2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式二课时素养评价含解析新人教A版必修4

PAGE两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(20分钟35分)1.(2024·金昌高一检测)与QUOTE相等的是 ()A.tan66° B.tan24° C.tan42° D.tan21°【解析】选B.原式=QUOTE=tan(45°-21°)=tan24°.2.已知tanα=QUOTE,tan(α-β)=-QUOTE,那么tan(2α-β)的值为 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为tanα=QUOTE,tan(α-β)=-QUOTE,所以tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=QUOTE=QUOTE.3.已知α为锐角,且tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,则角α等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTEπ D.QUOTE【解析】选C.因为tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]=QUOTE=QUOTE=-1,因为α为锐角,所以0<2α<π,所以2α=QUOTE,得α=QUOTE.4.已知α+β=QUOTEπ,则(1-tanα)(1-tanβ)= ()A.2 B.-2 C.1 D.-1【解析】选A.因为tan(α+β)=-1=QUOTE,所以tanα+tanβ=-1+tanαtanβ.所以(1-tanα)(1-tanβ)=1-tanα-tanβ+tanαtanβ=2.5.(2024·平顶山高一检测)已知△ABC中,QUOTEtanAtanB-tanA-tanB=QUOTE,则C的大小为.

【解析】依题意有QUOTE=-QUOTE,即tan(A+B)=-QUOTE.又因为0<A+B<π,所以A+B=QUOTE,所以C=π-A-B=QUOTE.答案:QUOTE6.已知α,β∈QUOTE,且tanα,tanβ是方程x2+3QUOTEx+4=0的两个根,求α+β.【解析】因为tanα,tanβ是方程x2+3QUOTEx+4=0的两个根,所以tanα+tanβ=-3QUOTE,tanαtanβ=4,所以tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因为两根之和小于0,两根之积大于0,故两根同时为负数.又α,β∈QUOTE,所以α,β∈QUOTE,所以α+β∈(-π,0),故α+β=-QUOTE.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.tan20°+tan40°+QUOTEtan20°tan40°的值是 ()A.2QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为tan60°=tan(20°+40°)=QUOTE,所以QUOTE(1-tan20°tan40°)=tan20°+tan40°,所以原式=QUOTE-QUOTEtan20°tan40°+QUOTEtan20°tan40°=QUOTE.2.(2024·沈阳高一检测)锐角△ABC中,tanAtanB的值 ()A.不小于1 B.小于1C.等于1 D.大于1【解析】选D.由于△ABC为锐角三角形,所以tanA,tanB,tanC均为正数.所以tanC>0.所以tan[180°-(A+B)]>0.所以tan(A+B)<0,即QUOTE<0.而tanA>0,tanB>0所以1-tanAtanB<0,即tanAtanB>1.3.已知tanα=QUOTE,则QUOTE的值是 ()A.2 B.QUOTE C.-1 D.-3【解析】选B.方法一:因为tanα=QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=3,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.方法二:QUOTE=QUOTE=tanQUOTE=tanα=QUOTE.4.已知tanα和tanQUOTE是方程ax2+bx+c=0的两个根,则a,b,c的关系是 ()A.b=a+c B.2b=a+cC.c=b+a D.c=ab【解析】选C.由根与系数的关系可知tanα+tanQUOTE=-QUOTE,且tanαtanQUOTE=QUOTE,所以tanQUOTE=tanQUOTE=QUOTE=1.所以-QUOTE=1-QUOTE.所以-b=a-c.所以c=a+b.5.QUOTE的值应是 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.1 D.-1【解析】选A.因为tan10°+tan50°=tan60°-tan60°tan10°tan50°,所以原式=QUOTE=-tan60°=-QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知tanα=2,tanβ=-3,其中0°<α<90°,90°<β<180°,则QUOTE=,α-β=.

【解析】QUOTE=QUOTE=-7.因为tan(α-β)=QUOTE=-1,又0°<α<90°,90°<β<180°,所以-180°<α-β<0°,所以α-β=-45°.答案:-7-45°7.(2024·沈阳高一检测)tan69°-tan24°-tan69°tan24°=.

【解析】因为tan69°-tan24°=tan(69°-24°)(1+tan69°tan24°)=tan45°(1+tan69°tan24°)=1+tan69°tan24°所以tan69°-tan24°-tan69°tan24°=1+tan69°tan24°-tan69°tan24°=1.答案:18.tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°=.

【解析】原式=QUOTE(tan20°+tan40°)+tan40°tan20°=QUOTEtan60°(1-tan20°tan40°)+tan40°tan20°=1-tan20°tan40°+tan40°tan20°=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2024·蕲州高一检测)(1)已知α+β=QUOTE,求(1+tanα)(1+tanβ).(2)利用(1)的结论求(1+tan1°)·(1+tan2°)·(1+tan3°)·…·(1+tan44°)的值.【解析】(1)因为α+β=QUOTE,所以tan(α+β)=1,即QUOTE=1,所以tanα+tanβ=1-tanαtanβ.所以(1+tanα)(1+tanβ)=(tanα+tanβ)+1+tanαtanβ=2.(2)由(1)知当α+β=45°时,(1+tanα)(1+tanβ)=2.所以原式=(1+tan1°)(1+tan44°)(1+tan2°)·(1+tan43°)·…·(1+tan22°)(1+tan23°)=222.10.已知A,B,C是△ABC的三内角,向量m=(-1,QUOTE),n=(cosA,sinA),且m·n=1.(1)求角A.(2)若tanQUOTE=-3,求tanC.【解析】(1)因为m·n=1,所以(-1,QUOTE)·(cosA,sinA)=1,即QUOTEsinA-cosA=1,2sinQUOTE=1.所以sinQUOTE=QUOTE.因为0<A<π,所以-QUOTE<A-QUOTE<QUOTE,所以A-QUOTE=QUOTE,即A=QUOTE.(2)由tanQUOTE=QUOTE=-3,解得tanB=2.又A=QUOTE,所以tanA=QUOTE.所以tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-QUOTE=-QUOTE=QUOTE.【补偿训练】已知tan(π+α)=-QUOTE,tan(α+β)=QUOTE.(1)求tan(α+β)的值.(2)求tanβ的值.【解析】(1)因为tan(π+α)=-QUOTE,所以tanα=-QUOTE,因为tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以tan(α+β)=QUOTE=QUOTE.(2)因为tanβ=tan[(α+β)-α]=QUOTE,所以tanβ=QUOTE=QUOTE.1.若(tanα-1)(tanβ-1)=2(α,β为锐角),则α+β=.

【解析】(tanα-1)(tanβ-1)=2⇒tanαtanβ-tanα-tanβ+1=2⇒tanα+tanβ=tanαtanβ-1⇒QUOTE=-1,即tan(α+β)=-1,因为α,β为锐角,所以0<α+β<π.所以α+β=QUOTE.答案:QUOTE2.是否存在锐角α,β,使得(1)α+2β=QUOTE,(2)tanQUOTEtanβ=2-QUOTE同时成立?若存在,求出锐角α,β的值;若不存在,请说明理由.【解析】假设存在锐角α,β使得(1)α+2β=QUOTE,(2)tanQUOTEtanβ=2-QUOTE同时成立.由(1)得QUOTE+β=QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE.又tanQUOTEtanβ=2-QUOTE,所以tanQUOTE+tanβ