2024-2025学年新教材高中数学第六章导数及其应用6.3利用导数解决实际问题学案含解析新人教B版选择性必修第三册1

PAGE6.3利用导数解决实际问题新版课程标准学业水平要求利用导数解决与函数有关的问题1.借助教材实例进一步驾驭导数在探讨函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用.(数学运算)2.能利用导数解决简洁的实际问题.(数学运算)关键实力·素养形成类型一函数的图象问题【典例】给定函数fQUOTE=ex-x.(1)推断函数fQUOTE的单调性,并求出fQUOTE的值域;(2)画出函数fQUOTE的大致图象;(3)求出方程fQUOTE=mQUOTE在区间[-1,2]的解的个数.【思维·引】(1)求导数、求极值后确定最值,得到值域;(2)利用函数的单调性,增长趋势作图;(3)利用图象的交点个数推断解的个数.【解析】(1)函数的定义域为R.f′QUOTE=ex-1,令f′QUOTE=0,解得x=0.f′QUOTE,fQUOTE的改变状况如表所示:x0f′QUOTE-0+fQUOTE单调递减1单调递增所以,fQUOTE在区间QUOTE上单调递减,在区间QUOTE上单调递增.当x=0时,fQUOTE的微小值fQUOTE=1.也是最小值,故函数fQUOTE的值域为QUOTE.(2)由(1)可知,函数的最小值为1.函数的图象经过特别点fQUOTE=QUOTE+1,fQUOTE=e2-2,fQUOTE=1,当x→+∞时,fQUOTE→+∞,f′QUOTE→+∞;当x→-∞时,指数函数y=ex越来越小,趋向于0,因此函数fQUOTE图象上的点渐渐趋向于直线y=-x.依据上述信息,画出函数fQUOTE的大致图象如图所示.(3)截取函数fQUOTE在区间[-1,2]上的图象如图所示.由图象得:当fQUOTE<m≤fQUOTE,即m∈QUOTE时,fQUOTE与y=m恰有两个不同交点,即m∈QUOTE时,方程fQUOTE=m在区间QUOTE上恰有两个不同的实根;同理,当m=1或QUOTE+1<m≤e2-2时,方程fQUOTE=m在区间QUOTE上有唯一的实根;当m<1或m>e2-2时,方程fQUOTE=m在区间QUOTE上无实根.【内化·悟】作函数的图象时须要关注哪些方面?提示:定义域、单调性、极值、最值以及图象的改变趋势等.【类题·通】作函数fQUOTE图象的步骤(1)求出函数的定义域;(2)求导数f′QUOTE及函数f′QUOTE的零点;(3)用f′QUOTE的零点将fQUOTE的定义域划分为若干个区间,列表给出f′QUOTE在各个区间上的正负,并得出fQUOTE的单调性与极值;(4)确定fQUOTE的图象所经过的一些特别点,以及图象的改变趋势;(5)画出fQUOTE的大致图象.【习练·破】函数f(x)=(x2+tx)ex(实数t为常数,且t<0)的图象大致是 ()【解析】选B.由f(x)=0得x2+tx=0,得x=0或x=-t,即函数f(x)有两个零点,解除A,C,函数的导数f′(x)=(2x+t)ex+(x2+tx)ex=[x2+(t+2)x+t]ex,当x→-∞时,f′(x)>0,即在x轴最左侧,函数f(x)为增函数,解除D.类型二实际生活中的最值问题【典例】(2024·泰州高二检测)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费,预料当每件商品的售价为x(8≤x≤9)元时,一年的销售量为(10-x)2万件.(1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x);(2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值.【思维·引】(1)利润=每件商品的利润×销售量;(2)利用导数求最值.【解析】(1)该连锁分店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x)=(x-4-a)(10-x)2,x∈[8,9].(2)L′(x)=(10-x)2-2(x-4-a)(10-x)=(10-x)(18+2a-3x),令L′(x)=0,得x=6+QUOTEa或x=10(舍去).因为1≤a≤3,所以QUOTE≤6+QUOTEa≤8.所以L(x)在x∈[8,9]上单调递减,故L(x)max=L(8)=(8-4-a)(10-8)2=16-4a.当每件商品的售价为8元时,该连锁分店一年的利润L最大,最大值为(16-4a)万元.【类题·通】解决实际优化问题时应留意的问题(1)列函数关系式时,留意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域;(2)一般地,通过函数的极值来求函数的最值.假如函数在给定区间上只有一个极值点,则依据所求即可推断该值是最大值还是最小值.【习练·破】(2024·焦作高二检测)欲制作一个容积为V的圆柱形蓄水罐(无盖),为能使所用的材料最省,它的底面半径应为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.设圆柱的底面半径为r,高为h,表面积为y,则由题意有πr2h=V,所以h=QUOTE.蓄水罐的表面积y=πr2+2πrh=πr2+2πrQUOTE=πr2+QUOTE(r>0).令y′=2πr-QUOTE=QUOTE=0,得r=QUOTE.检验得,当r=QUOTE时表面积取得最小值,即所用的材料最省.类型三利用导数探讨函数的问题角度1恒成立问题【典例】(2024·龙凤高二检测)函数f(x)=ex-kx,当x∈(0,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则k的取值范围是 ()A.k≤1 B.k≤2 C.k≤e D.k≤QUOTE【思维·引】转化为最值问题.【解析】选C.依题意,ex-kx≥0在(0,+∞)上恒成立,即k≤QUOTE在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=QUOTE(x>0),则g′(x)=QUOTE=QUOTE,当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1)=e,所以k≤e.【素养·探】将恒成立问题转化为最值问题用到了核心素养中的逻辑推理.将本例改为在区间QUOTE上存在x,使f(x)≥0成立,试求k的取值范围.【解析】在区间QUOTE上存在x,使f(x)≥0成立,即在区间QUOTE上存在x,使k≤QUOTE成立.令g(x)=QUOTE(x>0),则g′(x)=QUOTE=QUOTE,因为当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1)=e,又gQUOTE=2QUOTE,gQUOTE=QUOTEe3,所以g(x)max=gQUOTE=QUOTEe3.所以k≤QUOTEe3.角度2证明问题【典例】已知函数f(x)=aex-blnx在点(1,f(1))处的切线方程为y=(e-1)x+1.(1)求a,b的值;(2)求证:f(x)>2.【思维·引】(1)利用切点坐标、切线斜率构造方程(组)求值.(2)转化为最值进行证明.【解析】(1)函数fQUOTE=aex-blnx的导数为f′QUOTE=aex-QUOTE,函数fQUOTE=aex-blnx在点QUOTE处的切线斜率为k=ae-b,由切线方程y=QUOTEx+1,可得ae-b=e-1,e=ae,解得a=1,b=1.(2)fQUOTE=ex-lnx,导数为f′QUOTE=ex-QUOTE,x>0,易知f′QUOTE为增函数,且f′QUOTE>0,f′QUOTE<0.所以存在m∈QUOTE,有f′QUOTE=0,即em=QUOTE,且x>m时,f′QUOTE>0,fQUOTE递增;0<x<m时,f′QUOTE<0,fQUOTE递减,可得在x=m处fQUOTE取得最小值,fQUOTE=em-lnm=QUOTE+m>2,可得fQUOTE>2成立.【类题·通】1.关于恒成立问题留意区分“对于定义域内的随意值”“在定义域内存在值”成立的区分,两种叙述反映了不同的逻辑关系,对应的最值类型不同,要精确推断针对的是最大值还是最小值,确定好最值类型后利用导数求最值解题.2.关于证明问题首先分析要证明的命题是否与函数的最值、单调性等性质有关,假如有关则转化为相应的问题证明;其次是针对要证明的命题构造函数,再通过构造的函数性质证明.函数的证明问题往往都比较困难,须要综合应用函数、导数等学问进行构造、转化等方式证明.【习练·破】1.(2024·秦州高二检测)已知函数f(x)=QUOTE-mx(e为自然对数的底数),若f(x)<0在(0,+∞)上有解,则实数m的取值范围是 ()A.(e,+∞) B.(-∞,e)C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由f(x)=QUOTE-mx<0在(0,+∞)上有解,可得,m>QUOTE在(0,+∞)上有解,令g(x)=QUOTE,x>0,则m>g(x)min,g′(x)=QUOTE,则当0<x<2时,g′(x)<0,函数单调递减,当x>2时,g′(x)>0,函数单调递增,故当x=2时,函数g(x)取得最小值,g(2)=QUOTE.故m>QUOTE.2.已知函数f(x)=alnx+bx,g(x)=QUOTEx2-QUOTE,曲线y=fQUOTE在点QUOTE处的切线方程为x-2y-2=0.(1)求a,b的值;(2)证明:f(x)≤g(x).【解析】(1)f′(x)=QUOTE+b,则a+b=QUOTE,f(1)=b=-QUOTE,解得a=1,b=-QUOTE.(2)令h(x)=lnx-QUOTEx-QUOTEx2+QUOTE,则h′(x)=QUOTE-QUOTE-QUOTEx=QUOTE,又x>0,则h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以h(x)≤h(1)=0,f(x)≤g(x)成立.课堂检测·素养达标1.有一长为16m的篱笆,要围成一个矩形场地,A.4m2 B.8m2 【解析】选D.设矩形一边长为xm(0<x<8),则另一边长为(8-x)m.S=x(8-x),易知当x=4时,S有最大值162.一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2·QUOTE(0<x<60),则当箱子的容积最大时,x的值为 ()A.30 B.40 C.50 【解析】选B.V(x)=-QUOTEx3+30x2,V′(x)=-QUOTEx2+60x,令V′(x)=0,得x=40(x=0舍去),且当0<x<40时,V′(x)>0,当40<x<60时,V′(x)<0,故V(x)在x=40时取得最大值.3.函数f(x)=x3-QUOTEx2-2x+5,若对于随意x∈[-1,2],都有f(x)<m,则实数m的取值范围是________.

【解析】f′(x)=3x2-x-2,令f′(x)=0,得x=-QUOTE或x=1.可求得f(x)max=f(2)=7.所以对于随意x∈[-1,2],f(x)<m恒成立时,m>7.答案:m>74.已知函数f(x)=ex(lnx-1),使得f(m)≥-e成立的实数m的取值范围为________.

【解析】f′(x)=exQUOTE,令g(x)=lnx+QUOTE-1,则g′(x)=QUOTE-QUOTE=QUOTE,当0<x<1时,g′(x)<0,函数单调递减,当x>1时,g′(x)>0,函数单调递增,故g(x)≥g(1)=0,即f′(x)≥0恒成立,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=-e,故m≥1.答案:[1,+∞)【新情境·新思维】随着人们生活水平的提高,汽车的拥有量越来越