2024-2025学年新教材高中数学第6章平面向量及其应用6.4.3第2课时正弦定理巩固练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE6.4.3余弦定理、正弦定理第2课时正弦定理课后训练巩固提升一、A组1.在△ABC中,肯定成立的等式是()A.asinA=bsinB B.acosA=bcosBC.asinB=bsinA D.acosB=bcosA解析:由正弦定理可得asin∴asinB=bsinA.答案:C2.在△ABC中,已知AB=2AC,∠B=30°,则∠C=()A.45° B.15°C.45°或135° D.15°或105°解析:∵AB=2AC,由正弦定理得sinC又∠B=30°,∴sinC=22∵AB>AC,∴∠C=45°或∠C=135°.答案:C3.在△ABC中,A=60°,B=75°,b=23+2,则△ABC中最小的边长为()A.2 B.4 C.6+2 D解析:∵C=180°-A-B=45°,由三角形的边角关系可知最小的边长为c,由正弦定理得csin∴c=bsinCsin答案:B4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=5,c=2,cosA=23,则b=(A.2 B.3 C.2 D.3解析:由cosA=23得sinA=5由正弦定理得sinC=csin由a>c得A>C,∴cosC=53∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=1,∴b=3.答案:D5.在△ABC中,AB=6,A=75°,B=45°,则AC=.

解析:由正弦定理可知,ABsin[180°答案:26.已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹的边的长为1,那么这个三角形最小的边长为.

解析:不妨设A=45°,B=60°,则AB=1,C=180°-45°-60°=75°.∵A<B<C,∴BC<AC<AB.由正弦定理ABsinC=BCsinA∴这个三角形最小的边长为3-1.答案:3-17.在△ABC中,若B=2A,a∶b=1∶3,则A=.

解析:∵B=2A,∴sinB=sin2A,∴sinB=2sinAcosA,∴sinA由正弦定理,得ab∴12cosA=13,又0°<A<180°,∴A=30°.答案:30°8.已知△ABC中,三内角的正弦值之比为4∶5∶6,又知周长为152,求三边长解:由asinA=bsinB=csinC及已知条件sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6,得∴设a=4k,b=5k,c=6k(k>0),则有4k+5k+6k=152,∴k=1故三边长分别为2,52,39.在△ABC中,已知a=2,b=2,A=30°,解此三角形.解:由asinAsinB=bsin∵0°<B<180°,∴B=45°或B=135°.当B=45°时,C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°.∵csin∴c=asinCsin当B=135°时,C=180°-(A+B)=180°-(30°+135°)=15°,∴c=asinCsin综上可得,B=45°,C=105°,c=3+1或B=135°,C=15°,c=3-1.二、B组1.在△ABC中,A=60°,a=13,则a+b+cA.833 B.2393 C.26解析:由a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,得a+b+csin答案:B2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满意sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A解析:∵sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,∴sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),又sinB=sin(π-B)=sin(A+C),∴2sinBcosC=sinAcosC.∵△ABC为锐角三角形,∴cosC≠0,∴2sinB=sinA.由正弦定理得2b=a.答案:A3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,假如m=(a2,b2),n=(tanA,tanB),且m∥n,那么△ABC肯定是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形解析:由m∥n得a2tanB=b2tanA,结合正弦定理有sin2Bsi∴sin2A=sin2B.∴2A=2B或2A+2B=π.∴A=B或A+B=π2即△ABC是等腰三角形或直角三角形.故选D.答案:D4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若3bcosA=ccosA+acosC,则tanA的值是()A.-22 B.-2 C.22 D.2解析:由正弦定理,得b=2RsinB,c=2RsinC,a=2RsinA,则3(2RsinB)cosA=2RsinCcosA+2RsinAcosC,则有3sinBcosA=sin(C+A)=sinB.∵sinB≠0,∴cosA=13>∴A为锐角,∴sinA=1-cos2A=1-1答案:C5.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC的三边长分别为a,b,c,则asinA+b解析:由正弦定理,得asinA=2b2sinB=R=1,2csin故asinA+b2sinB+2c答案:76.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=.

解析:∵2bcosB=acosC+ccosA,∴由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,∴2sinBcosB=sin(A+C)=sin(π-B)=sinB.又sinB≠0,∴cosB=12又0<B<π,∴B=π3答案:π7.在△ABC中,B=60°,2b=a+c,试推断△ABC的形态.解:∵2b=a+c,B=60°,∴由正弦定理得2sinB=sinA+sinC.由A+C=120°知C=120°-A.∴3=sinA+sin(120°-A)=sinA+32cosA+12sinA=32sinA+32cosA=3sin(A+∴sin(A+30°)=1.∴A=60°,C=60°.∴△ABC为等边三角形.8.已知△ABC为锐角三角形,角A,B,C分别对应边a,b,c,且a=2bsinA,求cosA+sinC的取值范围.解:设R为△ABC外接圆的半径.∵a=2bsinA,∴2RsinA=4RsinBsinA.∵sinA≠0,∴sinB=12∵B为锐角,∴B=π6令y=cosA+sin