2024届高考数学一轮复习讲义之圆锥曲线（教师版）

2024届高考数学一轮复习之圆锥曲线

目录

专题01圆锥曲线中的弦长问题

专题02圆锥曲线中的面积问题

专题03圆锥曲线中的中点弦问题

专题04圆锥曲线中的范围问题

专题05圆锥曲线中的定点问题

专题06圆锥曲线中的定值问题

专题07圆锥曲线中的向量共线问题

专题0圆锥曲线中的弦长问题

一、单选题

1.设椭圆长半轴长为a,短半轴长为伉半焦距为C,则过焦点且垂直于长轴的弦长是()

A.—B.—C.—D.—

aaaa

【答案】。

【分析】

设椭圆焦点在/轴上，椭圆的标准方程为：+且7=1(0>6>0),将力=。或/=一。代入椭圆的标

ab

准方程，求出g,由此可求得结果.

【详解】

、T2y2

设椭圆焦点在力轴上，椭圆的标准方程为；+4=1(a>b>0),

ab

2222

_a2—c2__b2

•IT»(女4，、小句吗包、Z7糕，于，，一

abbaa2a9

解得片±3因此，过焦点且垂直于长轴的弦长是等

故选：D.

2.已知椭圆C：Y+娟=1,直线I过椭圆C的左焦点F且交椭圆于A,B两点，AB的中垂线交立轴于M点、,

则端的取值范围为()

[X与

A.(16，4)C(3)D.心’21

【答案】B

【分析】

当Z:沙=0时，FM=g,设—=my—1W0)与椭圆联立可得：(vr？+z)/—2mg—1=0,然后

\AB\8

求得八3的中垂线方程，令y=0，得八八一一」,0),然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式

\m+21

求得\MF\,\AB\2,建立粤^求解.

\AB\~

【详解】

2

椭圆。：今+才=1的左焦点为F(—1,0),

当，：沙=0时，A(-V2,0),B(V2,0),M(0,0),\FM\=\,\AB\=272,

FM_i

所以画一百,

x=my—1

设/：/=nzg—l(mWO)与椭圆联立《/2_1，可得:

(5+沙=1

(rr^+2)y2—2my—1=0,

•1•

•ooO^Ooo-

2m

yi+y2=

由韦达定理得:-1

"曲=薪而

—2m

取AB中点为。

m2+2'm2+2)'

所以AB的中垂线方程为:

j_1/m\2

IDM：H=------[y-2IC，

m\m2+2>m2+2

令“=。,得M/o）,

所以|叱|=吗3,

m+2

又j（l+表）［（%+纺）J4%•%］=北鲁,

所以端7（裔）=­»

综上所述

故选：8.

【点睛】

思路点睛：i、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,

消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”

解决，往往会更简单.

2、设直线与椭圆的交点坐标为，4（曲，yj,B（x:,y.J,

22

则弦长为\AB\=V（^i-<E2）+（yi-y2）=J（1+。）［（g+a^）?-g］=

+5）［（%+纺）2—4%•纺］（k为直线斜率）.

注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零.

3.过椭圆9/+25婿=225的右焦点且倾斜角为厅的弦长的长为（）

90

A.5B.6C.音D.7

【答案】。

【分析】

求出焦点坐标和直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得答案.

【详解】

由9/+25/=225得，1+舁=1,<?=25,*=9,所以c'=16,右焦点坐标为（4,0）,直线AB的方程

259

y=x—4

为0=/一4,所以"I,_得34/2—20Ckc+175=0,

,25+T=1

设4（电,助）,6（72，劭），所以①1+/2=爷~01工2=您~,

22

|AB|=V（a?i-T2）+（yi-y2）=J（1+肥）［（为+小］一4皿g］

-2•

•ooO^Ooo-

=机+】）[（愣Mx*卡

故选：C.

【点睛】

本题主要考查直线与椭圆的弦长公式=J（1+a2）[（g+g）2—,由韦达定理的应用.

22

4.椭圆。:％+*=l（a>6>0）的左、右焦点分别是E、E,斜率为1的直线/过左焦点后且交。于A,B

ab2

两点，且△ABE的内切圆的周长是2兀,若椭圆。的离心率为eC则线段的长度的取值范围

是（）

【答案】3

【分析】

先利用等面积法可得：yx4Q・丁=1x2c•\yi-y2\,求解出01—仍1的值，然后根据弦长公式\AB\

J1+白幼一例|的取值范围.

【详解】

设内切圆半径为r,由题意得yX4a-rX2c-|y1-y2|

得而—如=/e[,4],L=JiTj\yt-y2\=V5\y1-y2\G[-^-,4V5].

故选：8.

【点睛】

本题考查椭圆焦点三角形问题，考查弦长的取值范围问题，难度一般.解答时，等面积法、弦长公式的

运用是关键.

二、多选题

5.已知抛物线y2=2Px（p>0）的焦点为F,过点F的直线/交抛物线于4、B两点,以线段AB为直径的圆

交“轴于朋\N两点，则（）

A.若抛物线上存在一点E（2工）到焦点F的距离等于3,则抛物线的方程为“=4/

B.若以F|=2|BR|,则直线/的斜率为20

C.若直线/的斜率为四，则|AB|=¥

D.设线段的中点为P,若点F到抛物线准线的距离为2,则in/PMN的最小值为-

【答案】AD

【分析】

由抛物线的定义求得夕的值，可判断4选项的正误;设直线/的方程为x=my-\-设点？1（力1,%）、

6（七,纺），将直线/的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理可求得小的值，可判断8选项的正误;

利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可判断。选项的正误;设直线I的方程为x=my+1,设点

4%%）、石（力2,统），联立直线,与抛物线的方程，求得点广到夕轴的距离和\AB\，可得出sinAPMN

•3・

关于小的表达式，可判断。选项的正误.

【详解】

对于4选项，由抛物线的定义可得出印=2+?=3,解得0=2,

所以，抛物线的标准方程为才=4%A选项正确；

对于B选项，如下图所示：

抛物线的焦点为网多0),设点4处功)、B(72,m)，设直线AB的方程为力=my+y,

联立<xmy+2，消去/并整理得，_2馆「夕—22=0,△=4m2/)2+4p2>0恒成立，

岩2=2px

由韦达定理可得%+纺=2mp,/纺=一

由于|/斤|=2旧同，由图象可得#=2屈，即((■—如一S)=2(g-],夕2),

yi=—2y2j—

yi+y-2=27np,解得m=±管,

{,曲=一/

所以，直线/的斜率为=±2淄，8选项错误；

m

对于「选项，当直线1的斜率为，^时，由B选项可知，7n=〜：，%+。2=言之0,

OO

由抛物线的焦点弦长公式可得|AB|=g+g+p=2^(%+?/2)+2p=x当Jp+2p=~|~p,。选

OOOO

项错误；

对于3选项，抛物线的焦点/到准线的距离为2=2,则该抛物线的方程为y—41.

设直线，的方程为力=rng+1,设点>1（孙功）、8（72,仍），

联立［♦7"+1,消去/可得y2—4nly—4=0,A=16m2+16>0,

I。=4/

2

则Vi+y2=4m,/.x{+x2=m（7/i+y2）+2=4m+2,

\AB\g轴的距离为d==2-2+1,

病

所以，2+1=i_1_J

sinZF7W=22

j\AB\2m+22（m+l）=22

当且仅当m=0时，等号成立，。选项正确.

•4・

故选：AD.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的综合问题，考查了抛物线焦点弦的几何性质以及焦点弦长、焦半径的计算.

本题中将直线方程与抛物线的方程联立,利用韦达定理得出点4、B的纵坐标所满足的关系，并结合

了抛物线的焦点弦长公式进行计算，考查学生的运算求解能力，属于中等题.

三、解答题

6.如图，P是直线恒=2+3上一动点,过点/且与/垂直的直线/'交抛物线。:娟=2于A,B两点，点4在

之间.

(1)若厂过抛物线。的焦点G求\AB\；

⑵求蓝的最小值.

【答案】⑴2;⑵--］：币.

【分析】

⑴先求出直线/'的方程，联立直线与抛物线，将韦达定理和弦长公式相结合即可得结果；

\PA\

(2)设+联立方程组分别求出4,8,P的纵坐标，将表示为关于t的函数式，结合

\PB\

基本不等式即可得结果.

【详解】

解：⑴由已知得尸«,0),所以，:沙=—/+，

联立得［彳="土］，消去/，可得y+y—；=°，

［y2=x4

设点4(如协)，B(x2,y2),

%+例=一1

由根与系数的关系得

yiy=-j

所以|AB|=721^-y21=72XJ(%+纺)2—4切的=2.

(2)AB:y=-x+力，由=0,

有两个不同的交点，.•.△=1+41＞0=＞土＞—

的省.——1+Vl+4t-1-VTT4t

解付.VA~2，爪

2

•5・

ooO^Ooo-

由｛。丁，得"

由于点>1在点/，，点B之间，

川VP~VAt+4—V1+4t12，1+41

Bh-以

\PB\yp~VB力+4+A/1+4力力+4+A/1+4t

设V1+4t=u(u>0),

庐川i8u8419-4V15

所以

\PB\“2+15+4U15V15+211

u+u+4

当且仅当〃=A/IK时，即i：=」时取等号.

,,」尸川以b一+工19-4V15

故的瑕小值为

【点睛】

关键点点睛：

⑴直线弦长公式的应用；

（2）将所求量表示为关于力的函数，利用基本不等式求最值.

7.已知椭圆「+Z=l（a>b>0）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为」，

ab

直线I过点4（一。,0）,且与椭圆相交于另一点B.

（1）求椭圆的方程；

（2）若线段长为:"，求直线/的倾斜角.

5

【答案】⑴?+靖=1;⑵］或弩.

【分析】

由题设列出基本量方程组，解得基本量，从而得方程.

（2）设直线I方程,代入椭圆方程得关于力的一元二次方程，韦达定理整体思想及弦长公式得关于斜

率的方程,解得斜率得直线方程.

【详解】

2X2b=2a

（1）由题意可知［x2axfox2=4,a=2,6=1,c=V3o

a2=62+c2

2

椭圆方程为：:+/=l

（2）由题可知直线，斜率存在，设直线I方程为%=k（x+2）代入椭圆方程得：

（4用2+1）］2+16"2%+16k2—4=0,△=16,

==。，解得k=±i,

4炉+15

直线，的倾斜角为或.

【点睛】

本题是椭圆与直线相交弦长问题,是高考解析几何中的常见题型.

注意点点睛：

,6•

ooO^Ooo-

①在设直线时要注意直线斜率是否存在，做必要的交代；

②代入消元后要交代△的符号，确定交点是否存在及存在时的个数；

③所得解回代检验合理性，以确保答案的正确性.

8.已知直线I经过抛物线/=6工的焦点且与抛物线交于4、B两点.

（1）若直线/的倾斜角为60°,求线段的长；

⑵若[4川=2,求出同的长.

【答案】（1）8;（2）6.

【分析】

⑴设点%）、网g,纺），求出直线/的方程，与抛物线方程联立，求出s+g的值,再利用抛物线

的焦点弦长公式可求得线段的长；

（2）设直线，的方程为丁=?710+三,设点>1（如夕1）、6（/2，比），将直线，的方程与抛物线的方程联立，

可得出y1y2=-9,由'.F\=2求得◎的值，利用韦达定理以及抛物线的方程求得心的值，利用抛物线

的定义可求得旧同的长.

【详解】

⑴设点40,%）、83,g2）,抛物线才=6%;的焦点为尸管,0）,

由于直线Z过点，且该直线的倾斜角为60°,则直线，的方程为y=—

联立<"2）,消去沙并整理得/2—5/+?=0,△=25—9=16>0,

[y2=6x4

由韦达定理可得11+及=5,由抛物线的焦点弦长公式可得\AB\=力1+电+3=5+3=8;

⑵设点4如.）、6（狈班）,

由题意可知，直线Z不可能与2轴重合，设直线，的方程为x=my+y,

联立<Xmn+2，消去力并整理得，一—9=0,A=36（m2+l）>0,

岩=6/

由韦达定理可得yi+y2=6m,仅改=一9,

1Api|=Ci+1~=2,可得力1=[,.・.4=6名尸3,“以二一九则信空二27,

N幺V\

2

X2=7^=4，因此，阳户|=0+1=6.

622

【点睛】

有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公

式\AB\=/i+z?+p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式.

9.已知圆上/+/=4上任取一点P,过点P作沙轴的垂线段PQ,垂足为Q,当P在圆上运动时，线段PQ中

点为加;

（1）求点2W的轨迹方程；

（2）若直线I的方程为g=2—1,与点7W的轨迹交于A,B两点，求弦MB的长.

2

【答案】（1）1+==1；（2）|-V2.

45

【分析】

•7・

ooO^Ooo-

(1)设M、尸，利用相关点法即可求解.

(2)将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解.

【详解】

⑴设破施势,P(羯伙))aBQ(0,%),

点Af是线段PQ中点，,g=2c,%=y,

又P(±o，Uo)在圆x2+y2=上，(2/)2+才=」，

2

即点N的轨迹方程为x2+=1.

(y=x—l

(2)联立"+』=j,消去"可得，51—2/—3=0,

A=(-2)2+60>0,

设4(如幼)，B(g,"2),

,23

则nlx+x=--,gg=F，

1255

|AB|=A/12+12|^I—^1—(g+/2)2—4g22

=AM)­(/)=竽.

【点睛】

方法点睛：本题考查了轨迹问题、求弦长，求轨迹的常用方法如下：

(1)定义法：利用圆锥曲线的定义求解.

(2)相关点法：由已知点的轨迹进行求解.

直接法:根据题意，列出方程即可求解.

10.已知椭圆C：£+—=l(a>b>0)的右焦点为左、右顶点为乂、口，|F川=3,=

ab

(1)求椭圆。的标准方程；

(2)求直线2/=/+1被椭圆。截得的弦长.

【答案】(1)。+(=1；(2)与2.

【分析】

(1)设椭圆的半焦距为c,由题意可得a+c=3,a—c=l,解得a,c,求得b,可得椭圆的方程;

(2)联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值.

【详解】

(1)设椭圆的半焦距为c,由=3,\FB\=1,

可得a+c=3,a—c=l,解得a=2,c=1,

则b=Va2—c2=V4—1=V3,

22

即有椭圆的方程为g+：=1；

(2)联立直线沙=6+；和椭圆3/+4#=12,

可得7/+4%—11=0,

设被椭圆。截得的弦的端点的横坐标分别为为，力2,

•8・

ooO^Ooo-

m।411

则为+电=一7，/便2=--丁，

可得弦长为Vl+A;2,J(g+/2)2—4g72=V1+1,J(―-4x(-

【点睛】

思路点睛：

求解椭圆中的弦长问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式，即可求出

结果;有时也可由直线与椭圆方程联立求出交点坐标，根据两点间距离公式求出弦长.

11.已知直线%:4N—3g—8=0与圆Al：(%+1)2+(?/—1)2=772相交.

(1)求m的取值范围；

⑵若/与何相交所得弦长为8，求直线1：x+0—4=0与“相交所得弦长.

【答案】⑴(9,+8);⑵26y.

【分析】

(1)由圆Al：(6+1)2+(?/—1)2=772求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离小于半径即可求解；

(2)由/与711相交所得弦长为8,利用弦长的一半、弦心距、圆的半径满足勾股定理可求出圆的半径，

再次利用勾股定理即可求解.

【详解】

(1)圆八/的圆心为(—1,1),半径为Vm.

因为直线l'Ax—3g—8=0与圆711:(/+l)'+(g—iy=m相交，

I—1引

所以圆心(一1,1)到/的距离d=---=3<Vm

O

解得：m>9,

即m的取值范围是(9,+8).

(2)因为/与M相交所得弦长为8,

所以772=(]y+32=25,

、I-4|L

因为圆心(一1,1)到【：岔+g—4=0的距离(『=—2A/2,

72

所以直线V.x+g—4=0与相交所得弦长为Nm—d?=2V17.

【点睛】

方法点睛：有关圆的弦长的两种求法

(1)几何法：直线被圆截得的半弦长为，弦心距d和圆的半径7•构成直角三角形，即「+/=/;

(2)代数法:联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于的一元二次方程，由根与系数的关系可求

222

得弦长\AB\=V1+fc|rr1-T2|=V1+ky/(rr1+T2)-4a;13；2或\AB\=/l+-^-|y]-y2|=

n2

12.已知双曲线。的标准方程为=1,4"分别为双曲线。的左、右焦点.

36

(1)若点P在双曲线的右支上，且△月PE的面积为3,求点P的坐标；

(2)若斜率为且经过右焦点区的直线/与双曲线交于M,N两点,求线段的长度.

【答案】⑴(孚J)或(乎，T)；(2)873.

•9・

•ooO^Ooo-

【分析】

(1)由双曲线方程可得㈤网=6,进而可得点P的纵坐标，代入即可得解；

(2)联立方程组，由韦达定理、弦长公式运算即可得解.

【详解】

(1)由题意，双曲线的焦距网药=2存飞=6,

设点尸(山,八),"1>0,则■㈤耳卜同=3,=3,解得八=±1,

代入双曲线方程可得力=W』，

所以点尸的坐标为工」)或1)；

(2)由题意，区(3,0),则直线7W：u=2：—3,

设M■⑶,.),N(g，U2),

U-^=1,

由36，化简可得力2+6力-15=0,

V=力一3

贝|Jii+g=—6,g%2=—15,

所以\MN\—V1+A;2•J⑶+〃2)2—4「i力2=V2xV36+60=8A/3.

13.设抛物线。：/=4以尸为。的焦点，过F的直线，与。交于4B两点.

(1)设/的斜率为2,求|48|的值；

(2)求证：瓦？•瓦为定值.

【答案】(1)5;(2)证明见解析.

【分析】

(1)求出直线方程为g=2(%—1)，联立直线与抛物线，由\AB\—\AF\+\BF\=xr+x2+p即可求解;

⑵设直线方程为2=饨+1,由韦达定理表示出04OB=1便2+%仍，即可得出定值.

【详解】

(1)依题意得F(l,0),

所以直线/的方程为y=2(/—1).

设直线/与抛物线的交点为力(为，幼)，B(g,纺)，

由卜2=?"一。得，/—3C+1=0,

所以Xi+x2=3,XiX2—1.

所以\AB\=\AF\+\BF\=Xi+x2+p=3+2=5.

(2)证明：设直线Z的方程为x=ky+l,

A(a;i,7/1),

直线/与抛物线的交点为B(X2,纺),

由丁誉+1得，户飒—4=0,

所以%+%=4A：,“四2=—4.

因为。4•QB=(电，%)•(g,i/2)=x}x2+yxy2=(fcyj+1)(fcy2+l)+y[y2

=/伊必+必幼+缈)+1+W2=-4fe2+4A;2+l-4=-3.

所以。X•瓦为定值.

【点睛】

-10•

•ooO^Ooo-

方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

(1)得出直线方程，设交点为4(g,yj,B(a;2,%)；

(2)联立直线与曲线方程，得到关于对或g)的一元二次方程;

(3)写出韦达定理；

(4)将所求问题或题中关系转化为小+z-形式；

(5)代入韦达定理求解.

22

14.已知椭圆A/：二+j=l(a>0)的一个焦点为口(―L0),左右顶点分别为经过点少的直线，与椭

a3

圆Al交于两点.

(I)求椭圆Af方程；

(II)当直线/的倾斜角为45°时,求线段CD的长；

(III)记△AB1与△ABC的面积分别为Si和&，求IS—S』的最大值.

【答案】(1耳+:S2I的最大值为一.

【分析】

(I)根据椭圆的几何性质求出可得结果;

(II)联立直线与椭圆，根据弦长公式可求得结果;

III设直线/:%=如一1(1W0),。(如/)，。(力2,仍)，联立直线I与椭圆的方程，利用韦达定理求出

%+伊，Is—S,|=1型1，变形后利用基本不等式可求得最大值.

3r+4

【详解】

(I)因为椭圆的焦点为F(—1,0)，所以。=1且匕2=3,所以。2=方2+(?=3+1=4,

所以椭圆方程为—1.

II,1因为直线/的倾斜角为45°,所以斜率为1,直线，的方程为y=x+l,

y=x+l

联立二，消去。并整理得7k+8力—8=0,

设。(孙幼)，。(电,统)，

则x1+x2=--,gg=一亍，

所以ICD|=VT+Tx小子百*1=，.

(m)由(I)知4—2,0),8⑵o),

设直线z：x=ty-l(t^o),C(0,%),£)(a:2,y2),

x=ty-l

联立%,娟_］，消去/并整理得(31+4)靖一6%一9=0,

IT+T=1

卅Q

则yi+y-2=2,yiy2=-3<0,所以“，仇异号,

所以=<电』］=2||小威］——

12<12焉=右当且仅当阳=竽时，等号成立.

-3阳+俞、2尸彳

•11•

ooO^Ooo-

所以\s-s2\的最大值为，

【点睛】

关键点点睛：第(明问中将三角形面积用(两点的纵坐标表示，并利用韦达定理和基本不等式解

决是解题关键.

15.已知椭圆。：工+£=l(a>b>0)的离心率为:，点在椭圆。上，直线。过椭圆。的右焦点

与上顶点，动直线打夕=fcc与椭圆。交于M,N两点，交I于P点.

(1)求椭圆。的方程；

(2)已知。为坐标原点，若点P满足|QP|=：|AW],求此时的长度.

【答案】(1)。+(=1；(2)4或生等.

【分析】

(1)根据e=£==，以及.7+—：即可求解.

。2ab

221

⑵将直线。与%+号=1联立，求出交点监再由QR=可得点P为。Ai的中点，根据

“在直线li:V3x+y—V3=0上求出点7W即可求解.

【详解】

(1)由题意得㊀=—=士~\?一=1,结合Q2=b2+c2,

a2优b

解得Q2=4,尸=3,c2=1,

故所求椭圆的方程为—-F=1.

4O

；,)易知定直线，1的方程为V3^c+y--\/3—0.

y=kx

联立二人十

I4十3

不妨令M■点的坐标为12

3+4配

V\OP\=^\MN\,由对称性可知,

12

点P为OAf的中点，故P3+4后

又在直线。：+0一0上，

2fc2

l7s+4fc73+4fc厂

故GXV3；或+Y3；或_^3=0；

解得自=0,自=竽，

故。点的坐标为(2,0)或(1,将),

所以QM=2或区誓，所以|AW|的长度为4或生红.

55

【点睛】

•12•

关键点点睛：解题的关键是求出Af点,根据对称性可知,确定点P为OM的中点，考查了计算求解能

力.

22

16.已知椭圆£；：—+—=l(a>fe>0),O为坐标原点，P为椭圆上任意一点，回，£分别为椭圆的左、右焦

ab

点，且b?=a,其离心率为J：,过点”(0,1)的动直线2与椭圆相交于4B两点.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)当/⑹=手时,求直线/的方程

【答案】(1)亍+^-=1；⑵y=±x+1或g=±］力+L

【分析】

b2=a,

(1)首先根据题意得到=v?,，再解方程组即可得到答案.

a2=b2+c2,

(2)首先设出直线方程“三卜工+1,与椭圆联立，利用根系关系和弦长公式即可得到方程4k：l-5k'+l

=0,再解方程即可得到答案.

【详解】

b2=a,

(1)由题意知卓，

a2=b2+c2,

解得。2=4,*=2.

/y2

所以椭圆的标准方程为1十万=L

(2)当直线/的斜率不存在时"48|=20,不符合题意.

当直线/的斜率存在时,设直线/的方程为g三kx+1,

叱%之=1

联立彳4十2一,得(2r+l)/+4N—2=0,

岩=hr+1

其判别式△=(4fc)2+8(2fc2+l)=8(4fc2+l)>0.

Ak9

设点力，B坐标分别为(力1，%)，(二2,纺)，贝IX+X=—.XX=-.

222k+1?X22k+1

所以=V1+fc2J(6I+.2)2—4力］22=V1+fc2•,

整理得4fc4-5fc2+l=0,解得/=1或必=：,

所以k=±l或k=士1.

综上，直线/的方程为y=±x+1或。=±；%+1.

【点睛】

关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的弦长问题，本题中将直线方程代入椭圆的标准方程，再利根

系关系和弦长公式得到所求的等量关系为解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题.

•13•

22

17.如图，椭圆C：—+々=l(a>b>0)的离心率为-,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.

ab~2

当直线48的斜率为0时，|AB|=4.

(I)求椭圆的方程；

(II)求使\AB\+\CD\取最小值时直线AB的方程.

22

【答案】(I+卷=1;(II)/一g—1=0或%+g—1=0.

4O

【分析】

I由离心率及6=川+乙可得出。=2,b=V3,进而写出椭圆的方程；

(II)进行分类讨论，①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为。时,另一条弦所在直线的斜率不存在，

不满足题意;②当两弦所在直线的斜率均存在且不为。时,设直线AB的方程为"=—则直线

(/)的方程为y——^-(6—1),分别将直线八「3与。/】的方程与椭圆方程联立，由韦达定理得出力]+力2

和的电的表达式，然后利用弦长公式求出\AB\+\CD\的表达式，然后利用基本不等式求出AB\+

\CD\取得最小值时k的值，最后写出直线的方程即可.

【详解】

22

I由题意知e=1~~,2Q=4,又a/=62+C2,解得a=2,b—V3,所以椭圆方程为=1;

(n)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为o时，另一条弦所在直线的斜率不存在时，由题意知

|AB|+|CD|=7,不满足条件；

②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设直线4B的方程为y=k(x—1),

则直线CD的方程为y=一~—1),设4如幼)，石(力2,纺)，

8k2

将直线的方程代入椭圆方程中并整理得(3+4君/—8//+4炉—12=0，则为+的-7,

3+4fc2

4fc2-12

x-

23+4/'

22

所以=y/k+l\xl—x2\=Vfe+1,J（力i+g）2—=12（-+：）,

3+4k

12（表+1）_12耐+1）

同理，|。。|二

3+/3fc2+4'

12（fc2+l）[12（fc2+l）84（fc2+l）284（肥+1）248

所以|AB|+|CE）|=〉

3+4fc23肥+4（3+4肥）（3昭+4）3+4fe2+3fc2+4\27，

2

当且仅当3+4fc2=3k2+4即k=±1时，上式取等号，所以直线AB的方程为*一0一1=0或c+0—

1=0.

【点睛】

•14•

易错点点睛:本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查基本不等式的应用，

对于第二问，应该对斜率存在与否进行分类讨论，注意别漏掉斜率不存在的情形，考查逻辑思维能力

和的分析计算能力，属于中档题.

2

18.已知抛物线ay=2Px@>0)的焦点F到准线的距离为2,且过点F的直线I被抛物线。所截得的弦长

MN为8.

(1)求直线/的方程；

(2)当直线/的斜率大于零时,求过点且与抛物线。的准线相切的圆的方程.

【答案】(1)夕=土—1或g=—x+1;(2)(x-3)2+(y—2)2=16或(宓-11)2+(y+6)2=144.

【分析】

⑴由题意得〃=2,网1,0),丁=4%当直线，的斜率不存在时，不合题意；当直线，的斜率存在时，设方

程为夕=k(x—1)(卜¥。)，与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线的定义求出弦长，结合已知弦

长可求得结果；

(2)设所求圆的圆心坐标为5),%),根据几何方法求出圆的半径，根据直线与圆相切列式解得圆心坐

标和半径,可得圆的方程.

【详解】

(1)由题意得P=2,网1,0),/=4x

当直线/的斜率不存在时，其方程为久=1,此时=2p=4W8,不满足，舍去；

当直线/的斜率存在时，设方程为y=k(x—1)(卜¥0)

由‘得堵x2—(2fe2+4)rr+k2=0

[y=4x

设^^如小工/^的纺工则△=161+16>0,且①]+g=2kJ4

Ki

由抛物线定义得+|7VF*|=(g+1)+(g+l)—西+力2+2———+2———-^-―

kk

即「士工=8,解得k=±i

k

因此，的方程为y=x—l或y=-x+1.

(2)由(1)取k=l,直线，的方程为沙=力一1,所以线段7VW的中点坐标为(3,2),

所以MN的垂直平分线方程为y—2=—(力一3),即9=

设所求圆的圆心坐标为(g,/))，该圆的圆心到直线，的距离为d,则d=小，则该圆的半径为

V2

2001)

)=7^16=^-2-+16,

y0=-xG+5

因为该圆与准线力=-1相切，所以<(&+1)2=厮『)2+16，

0=3p0=11

解得,

yo=2ly0=-6

当圆心为(3,2)时,半径为[，当圆心为(11,-6)时,半径为12,

因此所求圆的方程为Q-3)2+(y-2)2=16或Q—11)