2020-2024年五年高考数学真题分类汇编专题13 数列（真题10个考点精准练+模拟练）原卷版

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题13数列（真题10个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年秋考12、18题2024年春考7、12题数列的应用、等比数列的性质；数列与函数的综合等差数列的性质及求和公式；数列、不等式的应用2023秋考3、21题2023春考16题等比数列的前n项和公式；数列与函数的综合应用等差数列和等比数列的性质2022秋考10、21题2022春考16、18题等差数列的n项和公式、通项公式；数列中的递推公式、推理问题、数列的通项公式等知识数列的应用、等比数列性质的应用；等差数列与等比数列的前n项和、数列极限的求法、数列的函数特性及应用。2021年秋考8、12题2021年春考1、9、21题等比数列通项公式和无穷递缩等比数列的求和公式；数列概念的理解和应用、递推公式的应用等差数列的通项公式；无穷等比数列的概念及性质、极限的运算；数列的综合应用、等比数列的判定及求解。2020年秋考2、8、21题2020年春考13题数列极限的求法；等差数列的前n项和与通项公式；数列的综合应用、不等式以及不等关系、二次函数以及函数的相关性质综合应用。数列极限的求法一．等差数列的通项公式（共1小题）1．（2021•上海）已知等差数列的首项为3，公差为2，则．二．等差数列的前n项和（共3小题）2．（2024•上海）数列，，，的取值范围为．3．（2022•上海）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，2，，中不同的数值有个．4．（2020•上海）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则．三．等比数列的性质（共1小题）5．（2021•上海）在无穷等比数列中，，则的取值范围是．四．等比数列的前n项和（共1小题）6．（2023•上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前项和为，则．五．数列的应用（共5小题）7．（2022•上海）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则8．（2024•上海），，，，任意，，，，满足，求有序数列，，，有对．9．（2024•上海）无穷等比数列满足首项，，记，，，，若对任意正整数，集合是闭区间，则的取值范围是．10．（2021•上海）已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项．（1）已知，，，求的所有可能取值；（2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比；（3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值．11．（2020•上海）已知数列为有限数列，满足，则称满足性质．（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质，请说明理由；（2）若，公比为的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围；（3）若是1，2，3，，的一个排列，符合，2，，，、都具有性质，求所有满足条件的数列．六．数列的求和（共1小题）12．（2021•上海）已知为无穷等比数列，，的各项和为9，，则数列的各项和为．七．数列递推式（共2小题）13．（2021•上海）已知，2，，对任意的，或中有且仅有一个成立，，，则的最小值为．14．（2022•上海）数列对任意且，均存在正整数，，满足，，．（1）求可能值；（2）命题：若，，，成等差数列，则，证明为真，同时写出逆命题，并判断命题是真是假，说明理由；（3）若，成立，求数列的通项公式．八．数列与函数的综合（共2小题）15．（2024•上海）已知．（1）若过，求的解集；（2）存在使得、、成等差数列，求的取值范围．16．（2023•上海）已知，在该函数图像上取一点，过点，作函数的切线，该切线与轴的交点记作，若，则过点，作函数的切线，该切线与轴的交点记作，以此类推，，，直至停止，由这些项构成数列．（1）设属于数列，证明：；（2）试比较与的大小关系；（3）若正整数，是否存在使得、、、、依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，请说明理由．九．数列的极限（共3小题）17．（2020•上海）计算：A．3 B． C． D．518．（2020•上海）计算：．19．（2022•上海）已知在数列中，，其前项和为．（1）若是等比数列，，求；（2）若是等差数列，，求其公差的取值范围．一十．等差数列与等比数列的综合（共2小题）20．（2023•上海）已知无穷数列的各项均为实数，为其前项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是A．，，，，，为等差数列，，，，，，为等比数列 B．，，，，，为等比数列，，，，，，为等差数列 C．，，，，为等差数列，，，，，为等比数列 D．，，，，为等比数列，，，，，为等差数列21．（2020•上海）已知各项均为正数的数列，其前项和为，．（1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式；（2）若数列为等比数列，，求满足时的最小值．一．选择题（共14小题）1．（2024•松江区校级模拟）用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时不等式左边A．增加了 B．增加了 C．增加了，但减少了 D．增加了，但减少了2．（2024•长宁区二模）设数列的前项和为，若存在非零常数，使得对任意正整数，都有，则称数列具有性质①存在等差数列具有性质；②不存在等比数列具有性质；对于以上两个命题，下列判断正确的是A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假3．（2024•青浦区二模）设为是首项为，公比为的等比数列的前项和，且，则A． B． C． D．4．（2024•浦东新区校级四模）已知数列不是常数列，前项和为，且．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：①存在等差数列是“可控数列”；②存在等比数列是“可控数列”．则下列判断正确的是A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题5．（2024•黄浦区二模）设数列的前项和为，若对任意的，都是数列中的项，则称数列为“数列”．对于命题：①存在“数列”，使得数列为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数，都存在实数，使得以为首项、为公差的等差数列为“数列”．下列判断正确的是A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题6．（2024•普陀区校级三模）设为无穷数列．若存在正整数，使得对任意正整数，均成立，则称为“低调数列”．有以下两个命题：①，是低调数列当且仅当；②若存在，使得，，，，为低调数列，则．那么A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题7．（2024•宝山区二模）数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”．现有如下两个命题：①等比数列为“某数列”；②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得．则下列选项中正确的是A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题8．（2024•普陀区模拟）设是数列的前项和，若数列满足：对任意的，存在大于1的整数，使得成立，则称数列是“数列”．现给出如下两个结论：①存在等差数列是“数列”；②任意等比数列都不是“数列”．则A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立9．（2024•浦东新区校级模拟）已知数列满足，．给出下列四个结论：①数列每一项都满足；②数列的前项和；③数列每一项都满足成立；④数列每一项都满足．其中，所有正确结论的序号是A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②④10．（2024•浦东新区二模）设，，，记，2，，，令有穷数列为零点的个数，2，，，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列．那么A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误11．（2024•奉贤区三模）若数列的前项和为，关于正整数的方程记为，命题：对于任意的，存在等差数列使得有解；命题：对于任意的，存在等比数列使得有解；则下列说法中正确的是A．命题为真命题，命题为假命题 B．命题为假命题，命题为真命题 C．命题为假命题，命题为假命题 D．命题为真命题，命题为真命题12．（2024•松江区校级模拟）数列的前项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”．给出下列两个命题：①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个；②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个．A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题13．（2024•黄浦区校级三模）已知数列是1为首项，2为公差的等差数列，是1位首项，2为公比的等比数列，设，，，则当时，的最大值为A．9 B．10 C．11 D．2414．（2024•浦东新区校级四模）已知数列满足为正整数），，设集合．有以下两个猜想：①不论取何值，总有；②若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，则的可能取值有6个．其中A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误二．填空题（共35小题）15．（2024•闵行区校级三模）设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正切值为．16．（2024•普陀区模拟）设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是．17．（2024•黄浦区校级三模）数列满足为正整数），且与的等差中项是5，则首项．18．（2024•松江区校级模拟）已知等差数列的前项和为，若，，则．19．（2024•虹口区模拟）已知数列的前项和，则．20．（2024•浦东新区二模）已知等差数列满足，，则．21．（2024•松江区二模）已知等差数列的公差为2，前项和为，若，则使得成立的的最大值为．22．（2024•普陀区校级模拟）已知为等比数列，公比，，且，，成等差数列，则通项公式．23．（2024•浦东新区校级模拟）已知为无穷等比数列，，，则的公比为．24．（2024•杨浦区二模）各项为正的等比数列满足：，，则通项公式为．25．（2024•闵行区校级三模）设是等比数列的前项和，若，，则．26．（2024•金山区二模）设公比为2的等比数列的前项和为，若，则．27．（2024•杨浦区校级三模）无穷等比数列满足：，，则的各项和为．28．（2024•浦东新区校级模拟）已知首项为2的等比数列的公比为，则．29．（2024•奉贤区三模）若数列满足对任意整数有成立，则在该数列中小于100的项一共有项．30．（2024•宝山区校级四模）数列的最小项的值为．31．（2024•虹口区二模）已知等比数列是严格减数列，其前项和为，，若，，成等差数列，则．32．（2024•浦东新区校级四模）记为等比数列的前项和．若，则的公比为．33．（2024•闵行区校级三模）数列满足，若，，则数列的前20项的和为．34．（2024•嘉定区校级模拟）已知数列是等比数列，且．设，数列的前项和为，则．35．（2024•黄浦区校级模拟）若项数为的数列，满足：，2，3，，，我们称其为项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中，，，是公差为的等差数列，数列的最小项等于，记数列的前项和为，若，则的值为．36．（2024•宝山区二模）在数列中，，且，则．37．（2024•闵行区校级模拟）已知有穷数列的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足，，则符合上述要求的不同数列的个数为．38．（2024•长宁区校级三模）已知数列的通项公式为，数列满足，则．39．（2024•黄浦区二模）已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，，，取得最大值，则的值为．40．（2024•浦东新区校级模拟）已知无穷数列的前项和为，不等式对任意不等于2的正整数恒成立，且，那么这样的数列有个．41．（2024•嘉定区校级模拟）已知数列满足，，则此数列的通项．42．（2024•徐汇区校级模拟）已知数列，是公差相等的等差数列，且，若为正整数，设，则数列的通项公式为．43．（2024•闵行区校级三模）已知数列满足，点在双曲线上，则．44．（2024•宝山区二模）某区域的地形大致如图1，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描．假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地；假设2：视探照灯为点，且距离地面20米；假设3：探照灯照射在地面上的光斑是椭圆．当探照灯以某一俯角从侧扫描到侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环，2，3，．由此，通过调整的俯角，逐次扫描形成扇环、、．第一次扫描时，光斑的长轴为，米，此时在探照灯处测得点的俯角为（如图．记，经测量知米，且是公差约为0.1米的等差数列，则至少需要经过次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕．45．（2024•普陀区模拟）设，，是正整数，是数列的前项和，，，若，且，，记，则．46．（2024•浦东新区校级模拟）已知数列满足：对任意，都有，，设数列的前项和为，若，则的最大值为．47．（2024•长宁区校级三模）已知数列共有5项，且满足：①，；②；③，、2、3、4．则满足条件的数列共有个．48．（2024•杨浦区校级三模）设关于的方程的从小到大的第个非负解为，2，3，，若数列是无穷等差数列，且在区间中的项恰好比在区间，中的项少2项，则的取值集合为．49．（2024•普陀区校级三模）等差数列满足，则的最大值为．三．解答题（共11小题）50．（2024•闵行区校级三模）如图，已知正方体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点处，记点移动次后仍在底面上的概率为．（1）求；（2）证明：数列是等比数列；若，求的最大值．51．（2024•闵行区校级模拟）某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长．每年年底，工厂向集团上缴万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第年的初始资金为万元．（1）判断是否为等比数列？并说明理由；（2）若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设，则该工厂在第几年转型升级？52．（2024•青浦区二模）若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列．（1）若（其中正整数为常数，，，判断数列是否为周期数列，并说明理由；（2）若，判断数列是否为周期数列，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”．53．（2024•嘉定区校级模拟）已知，集合，，其中，，，．（1）求中最小的元素；（2）设，，且，求的值；（3）记，，若集合中的元素个数为，求．54．（2024•宝山区校级四模）已知，数列的前项和为，点，均在函数的图像上．（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前2024项和．55．（2024•徐汇区模拟）已知各项均不为0的数列满足是正整数），，定义函数，是自然对数的底数．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记函数，其中；证明：对任意，；数列满足，设为数列的前项和．数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限．试根据以上定义求出数列的极限．56．（2024•闵行区二模）已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列．（1）求函数在区间上的值域；（2）求证：函数在区间，，上有且仅有一个零点；（3）求证：．57．（2024•普陀区校级三模）对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数，若对在定义域内的给定常数，存在数列满足在的定义域内且，且对，，在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于，（a）和，的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”．（1）若函数，证明，都存在“关联切线伴随数列”；（2）若函数，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式；（3）若函数，数列为函数的“关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当，时，．58．（2024•宝山区二模）函数的表达式为．（1）若，直线与曲线相切于点，求直线的方程；（2）函数的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为，，，，，证明：数列是严格减数列；（3）已知定义在上的奇函数满足，对任意，，当时，都有（a）且（a）．记，．当时，是否存在、，使得成立？若存在，求出符合题意的、；若不存在，请说明理由．59．（2024•浦东新区三模）已知函数，其中，．若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”．现有函数图像上的点列，，，，，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”．（1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由；（2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标；（3）若的坐标为，记点到直线的距离为．问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、、、严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由．60．（2024•浦东新区二模）已知函数及其导函数的定义域均为．设，曲线在点，处的切线交轴于点，．当时，设曲线在点，处的切线交轴于点，．依此类推，称得到的数列为函数关于，的“数列”．（1）若，是函数关于的“数列”，求的值；（2）若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比；（3）若，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由．专题13数列（真题10个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年秋考12、18题2024年春考7、12题数列的应用、等比数列的性质；数列与函数的综合等差数列的性质及求和公式；数列、不等式的应用2023秋考3、21题2023春考16题等比数列的前n项和公式；数列与函数的综合应用等差数列和等比数列的性质2022秋考10、21题2022春考16、18题等差数列的n项和公式、通项公式；数列中的递推公式、推理问题、数列的通项公式等知识数列的应用、等比数列性质的应用；等差数列与等比数列的前n项和、数列极限的求法、数列的函数特性及应用。2021年秋考8、12题2021年春考1、9、21题等比数列通项公式和无穷递缩等比数列的求和公式；数列概念的理解和应用、递推公式的应用等差数列的通项公式；无穷等比数列的概念及性质、极限的运算；数列的综合应用、等比数列的判定及求解。2020年秋考2、8、21题2020年春考13题数列极限的求法；等差数列的前n项和与通项公式；数列的综合应用、不等式以及不等关系、二次函数以及函数的相关性质综合应用。数列极限的求法一．等差数列的通项公式（共1小题）1．（2021•上海）已知等差数列的首项为3，公差为2，则．二．等差数列的前n项和（共3小题）2．（2024•上海）数列，，，的取值范围为．3．（2022•上海）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，2，，中不同的数值有个．4．（2020•上海）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则．三．等比数列的性质（共1小题）5．（2021•上海）在无穷等比数列中，，则的取值范围是．四．等比数列的前n项和（共1小题）6．（2023•上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前项和为，则．五．数列的应用（共5小题）7．（2022•上海）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则8．（2024•上海），，，，任意，，，，满足，求有序数列，，，有对．9．（2024•上海）无穷等比数列满足首项，，记，，，，若对任意正整数，集合是闭区间，则的取值范围是．10．（2021•上海）已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项．（1）已知，，，求的所有可能取值；（2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比；（3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值．11．（2020•上海）已知数列为有限数列，满足，则称满足性质．（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质，请说明理由；（2）若，公比为的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围；（3）若是1，2，3，，的一个排列，符合，2，，，、都具有性质，求所有满足条件的数列．六．数列的求和（共1小题）12．（2021•上海）已知为无穷等比数列，，的各项和为9，，则数列的各项和为．七．数列递推式（共2小题）13．（2021•上海）已知，2，，对任意的，或中有且仅有一个成立，，，则的最小值为．14．（2022•上海）数列对任意且，均存在正整数，，满足，，．（1）求可能值；（2）命题：若，，，成等差数列，则，证明为真，同时写出逆命题，并判断命题是真是假，说明理由；（3）若，成立，求数列的通项公式．八．数列与函数的综合（共2小题）15．（2024•上海）已知．（1）若过，求的解集；（2）存在使得、、成等差数列，求的取值范围．16．（2023•上海）已知，在该函数图像上取一点，过点，作函数的切线，该切线与轴的交点记作，若，则过点，作函数的切线，该切线与轴的交点记作，以此类推，，，直至停止，由这些项构成数列．（1）设属于数列，证明：；（2）试比较与的大小关系；（3）若正整数，是否存在使得、、、、依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，请说明理由．九．数列的极限（共3小题）17．（2020•上海）计算：A．3 B． C． D．518．（2020•上海）计算：．19．（2022•上海）已知在数列中，，其前项和为．（1）若是等比数列，，求；（2）若是等差数列，，求其公差的取值范围．一十．等差数列与等比数列的综合（共2小题）20．（2023•上海）已知无穷数列的各项均为实数，为其前项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是A．，，，，，为等差数列，，，，，，为等比数列 B．，，，，，为等比数列，，，，，，为等差数列 C．，，，，为等差数列，，，，，为等比数列 D．，，，，为等比数列，，，，，为等差数列21．（2020•上海）已知各项均为正数的数列，其前项和为，．（1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式；（2）若数列为等比数列，，求满足时的最小值．一．选择题（共14小题）1．（2024•松江区校级模拟）用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时不等式左边A．增加了 B．增加了 C．增加了，但减少了 D．增加了，但减少了2．（2024•长宁区二模）设数列的前项和为，若存在非零常数，使得对任意正整数，都有，则称数列具有性质①存在等差数列具有性质；②不存在等比数列具有性质；对于以上两个命题，下列判断正确的是A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假3．（2024•青浦区二模）设为是首项为，公比为的等比数列的前项和，且，则A． B． C． D．4．（2024•浦东新区校级四模）已知数列不是常数列，前项和为，且．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：①存在等差数列是“可控数列”；②存在等比数列是“可控数列”．则下列判断正确的是A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题5．（2024•黄浦区二模）设数列的前项和为，若对任意的，都是数列中的项，则称数列为“数列”．对于命题：①存在“数列”，使得数列为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数，都存在实数，使得以为首项、为公差的等差数列为“数列”．下列判断正确的是A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题6．（2024•普陀区校级三模）设为无穷数列．若存在正整数，使得对任意正整数，均成立，则称为“低调数列”．有以下两个命题：①，是低调数列当且仅当；②若存在，使得，，，，为低调数列，则．那么A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题7．（2024•宝山区二模）数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”．现有如下两个命题：①等比数列为“某数列”；②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得．则下列选项中正确的是A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题8．（2024•普陀区模拟）设是数列的前项和，若数列满足：对任意的，存在大于1的整数，使得成立，则称数列是“数列”．现给出如下两个结论：①存在等差数列是“数列”；②任意等比数列都不是“数列”．则A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立9．（2024•浦东新区校级模拟）已知数列满足，．给出下列四个结论：①数列每一项都满足；②数列的前项和；③数列每一项都满足成立；④数列每一项都满足．其中，所有正确结论的序号是A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②④10．（2024•浦东新区二模）设，，，记，2，，，令有穷数列为零点的个数，2，，，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列．那么A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误11．（2024•奉贤区三模）若数列的前项和为，关于正整数的方程记为，命题：对于任意的，存在等差数列使得有解；命题：对于任意的，存在等比数列使得有解；则下列说法中正确的是A．命题为真命题，命题为假命题 B．命题为假命题，命题为真命题 C．命题为假命题，命题为假命题 D．命题为真命题，命题为真命题12．（2024•松江区校级模拟）数列的前项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”．给出下列两个命题：①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个；②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个．A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题13．（2024•黄浦区校级三模）已知数列是1为首项，2为公差的等差数列，是1位首项，2为公比的等比数列，设，，，则当时，的最大值为A．9 B．10 C．11 D．2414．（2024•浦东新区校级四模）已知数列满足为正整数），，设集合．有以下两个猜想：①不论取何值，总有；②若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，则的可能取值有6个．其中A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误二．填空题（共35小题）15．（2024•闵行区校级三模）设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正切值为．16．（2024•普陀区模拟）设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是．17．（2024•黄浦区校级三模）数列满足为正整数），且与的等差中项是5，则首项．18．（2024•松江区校级模拟）已知等差数列的前项和为，若，，则．19．（2024•虹口区模拟）已知数列的前项和，则．20．（2024•浦东新区二模）已知等差数列满足，，则．21．（2024•松江区二模）已知等差数列的公差为2，前项和为，若，则使得成立的的最大值为．22．（2024•普陀区校级模拟）已知为等比数列，公比，，且，，成等差数列，则通项公式．23．（2024•浦东新区校级模拟）已知为无穷等比数列，，，则的公比为．24．（2024•杨浦区二模）各项为正的等比数列满足：，，则通项公式为．25．（2024•闵行区校级三模）设是等比数列的前项和，若，，则．26．（2024•金山区二模）设公比为2的等比数列的前项和为，若，则．27．（2024•杨浦区校级三模）无穷等比数列满足：，，则的各项和为．28．（2024•浦东新区校级模拟）已知首项为2的等比数列的公比为，则．29．（2024•奉贤区三模）若数列满足对任意整数有成立，则在该数列中小于100的项一共有项．30．（2024•宝山区校级四模）数列的最小项的值为．31．（2024•虹口区二模）已知等比数列是严格减数列，其前项和为，，若，，成等差数列，则．32．（2024•浦东新区校级四模）记为等比数列的前项和．若，则的公比为．33．（2024•闵行区校级三模）数列满足，若，，则数列的前20项的和为．34．（2024•嘉定区校级模拟）已知数列是等比数列，且．设，数列的前项和为，则．35．（2024•黄浦区校级模拟）若项数为的数列，满足：，2，3，，，我们称其为项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中，，，是公差为的等差数列，数列的最小项等于，记数列的前项和为，若，则的值为．36．（2024•宝山区二模）在数列中，，且，则．37．（2024•闵行区校级模拟）已知有穷数列的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足，，则符合上述要求的不同数列的个数为．38．（2024•长宁区校级三模）已知数列的通项公式为，数列满足，则．39．（2024•黄浦区二模）已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，，，取得最大值，则的值为．40．（2024•浦东新区校级模拟）已知无穷数列的前项和为，不等式对任意不等于2的正整数恒成立，且，那么这样的数列有个．41．（2024•嘉定区校级模拟）已知数列满足，，则此数列的通项．42．（2024•徐汇区校级模拟）已知数列，是公差相等的等差数列，且，若为正整数，设，则数列的通项公式为．43．（2024•闵行区校级三模）已知数列满足，点在双曲线上，则．44．（2024•宝山区二模）某区域的地形大致如图1，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描．假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地；假设2：视探照灯为点，且距离地面20米；假设3：探照灯照射在地面上的光斑是椭圆．当探照灯以某一俯角从侧扫描到侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环，2，3，．由此，通过调整的俯角，逐次扫描形成扇环、、．第一次扫描时，光斑的长轴为，米，此时在探照灯处测得点的俯角为（如图．记，经测量知米，且是公差约为0.1米的等差数列，则至少需要经过次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕．45．（2024•普陀区模拟）设，，是正整数，是数列的前项和，，，若，且，，记，则．46．（2024•浦东新区校级模拟）已知数列满足：对任意，都有，，设数列的前项和为，若，则的最大值为．47．（2024•长宁区校级三模）已知数列共有5项，且满足：①，；②；③，、2、3、4．则满足条件的数列共有个．48．（2024•杨浦区校级三模）设关于的方程的从小到大的第个非负解为，2，3，，若数列是无穷等差数列，且在区间中的项恰好比在区间，中的项少2项，则的取值集合为．49．（2024•普陀区校级三模）等差数列满足，则的最大值为．三．解答题（共11小题）50．（2024•闵行区校级三模）如图，已知正方体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点处，记点移动次后仍在底面上的概率为．（1）求；（2）证明：数列是等比数列；若，求的最大值．51．（2024•闵行区校级模拟）某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长．每年年