2020-2024年五年高考数学真题分类汇编专题08 平面向量及其应用（真题5个考点精准练+模拟练）解析版

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题08平面向量及其应用（真题5个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年秋考5、15题向量平行的坐标表示，平面向量基本定理、空间向量基本定理2023秋考2题2023春考2、12题平面向量的数量积运算平面向量的坐标运算，平面向量数量积的性质及其运算、空间向量的坐标运算2022秋考11题2022春考10题平面向量数量积的性质及其运算平面向量数量积的性质及其运算2021年秋考4题2021年春考16题平面向量数量积的性质及其运算平面向量数量积的性质及其运算2020年秋考12题2020年春考9、11题两个平面向量的和或差的模的最值平面向量数量积的性质及其运算、向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法一．两个平面向量的和或差的模的最值（共1小题）1．（2020•上海）已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且，（其中，2，，2，，，则的最大值是6．〖祥解〗设，，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得的最大值．【解答】解：如图，设，，由，且，，分别以，为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的的最大值为6．故答案为：6．【点评】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题．二．平面向量的数量积运算（共1小题）2．（2023•上海）已知向量，，则4．〖祥解〗直接利用平面向量的坐标运算法则求解．【解答】解：向量，，．故答案为：4．【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．三．平面向量数量积的性质及其运算（共6小题）3．（2021•上海）在中，为中点，为中点，则以下结论：①存在，使得；②存在，使得；它们的成立情况是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立〖祥解〗设，，，，，由向量数量的坐标运算即可判断①；为中点，可得，由为中点，可得与的交点即为重心，从而可判断②【解答】解：不妨设，，，，，①，，若，则，即，满足条件的存在，例如，满足上式，所以①成立；②为中点，，与的交点即为重心，因为为的三等分点，为中点，所以与不共线，即②不成立．故选：．【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．4．（2022•上海）若平面向量，且满足，，，则．〖祥解〗利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果．【解答】解：由题意，有，则，设，则得，，由同角三角函数的基本关系得：，则，，则．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．5．（2022•上海）在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为．〖祥解〗建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出，再利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立平面直角坐标系如下，则，，，直线的方程为，即，点在直线上，设，，，，的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．6．（2021•上海）如图正方形的边长为3，求9．〖祥解〗根据，直接求解即可．【解答】解：由数量积的定义，可得，因为，所以．故答案为：9．【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与计算，属于基础题．7．（2020•上海）已知、、、、五个点，满足，2，，，2，，则的最小值为．〖祥解〗可设，从而据题意可得出，，并设，根据是求的最小值，从而可得出，从而可求出，从而根据基本不等式即可求出的最小值．【解答】解：设，则，，设，如图，求的最小值，则：，，，，当且仅当，即时取等号，的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．8．（2020•上海）三角形中，是中点，，，，则．〖祥解〗根据余弦定理即可求出，并得出，然后进行数量积的运算即可．【解答】解：在中，，，，由余弦定理得，，，且是的中点，．故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．四．平面向量的坐标运算（共1小题）9．（2023•上海）已知向量，，则．〖祥解〗根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．【解答】解：因为向量，，所以，，．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．五．平面向量共线（平行）的坐标表示（共1小题）10．（2024•上海）已知，，，则的值为15．〖祥解〗根据向量平行的坐标表示，列方程求解即可．【解答】解：由，，，可得，解得．故答案为：15．【点评】本题考查向量平行的坐标表示，属基础题．一．选择题（共6小题）1．（2024•嘉定区校级模拟）已知为不共线的两个单位向量，，为非零实数，设，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件〖祥解〗由向量的夹角公式，可得若，则有或，又为不共线的两个单位向量，故，从而可得结论．【解答】解：由题意，，，若，则有，即，整理得，即，即，则有或，又为不共线的两个单位向量，故，故“”是“”的充要条件．故选：．【点评】本题考查向量的夹角公式，数量积运算及充要条件的判定，属基础题．2．（2024•浦东新区三模）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是A．和 B．和 C．和 D．和〖祥解〗当两向量不共线时，可作为基底，据此判断即可．【解答】解：对于，可设，可知且，显然不成立，所以这两个向量可作为基底，同理可知，，选项中的两个向量都可构成基底；对于，，所以这两个向量不构成基底．故选：．【点评】本题考查平面向量基本定理与向量共线的判断方法，属于基础题．3．（2024•徐汇区校级模拟）在中，，，．为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：①的最小值为；②的最小值为；③的最大值为；④的最大值为8．其中，正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．4〖祥解〗以为原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，设，然后表示出的坐标，由题意可得，再逐个分析判断即可．【解答】解：如图，以为原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以设，则，，所以，所以，即为任意角），所以（其中，所以的最大值为，最小值为，所以①③错误，因为，所以（其中，因为，所以，所以，所以的最小值为，最大值为14，所以②正确，④错误．故选：．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．4．（2024•闵行区校级三模）已知，，，，．若，，则的最小值为A．0 B． C．1 D．〖祥解〗根据给定条件，画出图形，确定点的位置，再利用向量模的几何意义，借助对称思想求解作答．【解答】解：令，，，依题意，，而，则．因为，，，所以有点在半径为1，所含圆心角为的扇形的弧上，如图，因为，，所以表示直线上的点与直线上的点间距离，，分别是点到点，的距离，因此，表示三点，，两两距离的和，作点关于直线对称点，关于直线对称点，连交，分别于点，，连，，，，则有，，令，则，，于是得：，而，由余弦定理可得：，因此，，对于直线上任意点、直线上任意点，连接，，，，，，则，，，当且仅当点与重合且点与点重合时取“”，从而得，所以的最小值为．故选：．【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．5．（2024•杨浦区二模）平面上的向量、满足：，，．定义该平面上的向量集合．给出如下两个结论：①对任意，存在该平面的向量，满足②对任意，存在该平面向量，满足则下面判断正确的为A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误〖祥解〗首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的数量积运算和点到直线的距离公式求出结果．【解答】解：不妨设，，，如图所示：由于，所以，化简得：，①，由于，得到，②，由①②得：，如图所示：其宽度．故得到命题①②正确．故选：．【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，点到直线的距离公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．6．（2024•嘉定区二模）已知，，且、不共线，则的面积为A． B． C． D．〖祥解〗由已知先求出到的距离，然后结合三角形面积公式即可求解．【解答】解：设到的距离为，因为，，则的一个法向量，，则，，故．故选：．【点评】本题主要考查了向量的坐标表示的应用，属于中档题．二．填空题（共31小题）7．（2024•浦东新区校级四模）已知平面内，，三点不共线，且点满足，则是的垂心．（填“重”或“垂”或“内”或“外”〖祥解〗由条件等式移项后，逆用数量积的分配律将其化简成，即得，同理可得另外两个垂直关系，即得点为其垂心．【解答】解：因为，同理，，故为的垂心．故答案为：垂．【点评】本题主要考查逆用数量积的分配律，属于基础题．8．（2024•闵行区校级模拟）已知点在以为直径的球面上，若，则．〖祥解〗根据平面向量数量积的定义，求解即可．【解答】解：因为点在以为直径的球面上，且，所以．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与应用问题，是基础题．9．（2024•浦东新区校级模拟）已知非零向量，满足，且，则向量与的夹角为．〖祥解〗根据题意，设向量与的夹角为，分析可得，变形可得，由向量夹角公式计算可得的值，结合的范围分析可得答案．【解答】解：根据题意，设向量与的夹角为，又由，则有，变形可得，又由非零向量，满足，即，则，又由，则，故答案为：．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题．10．（2024•宝山区三模）若向量在向量上的投影向量为，则等于．〖祥解〗根据已知条件，结合投影向量的定义，即可求解．【解答】解：向量，向量，则，，故向量在向量上的投影向量为：，故．故答案为：．【点评】本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．11．（2024•浦东新区校级模拟）向量在向量方向上的投影向量是．〖祥解〗根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．【解答】解：，，向量在向量方向上的投影向量是：．故答案为：．【点评】本题考查了向量坐标的数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．12．（2024•黄浦区校级模拟）在平面直角坐标系中，，把向量顺时针旋转定角得到，关于轴的对称点记为，，1，，10，则的坐标为．〖祥解〗根据题意求出的前几个值，发现以2为周期出现，即可求出．【解答】解：进行实际操作，则，，，，注意到，重合，因此所有操作以2为周期，故．故答案为：．【点评】本题考查向量的坐标表示，属于基础题．13．（2024•闵行区校级模拟）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则．〖祥解〗根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．【解答】解：由题意可知，，，，则，解得．故答案为：．【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．14．（2024•青浦区二模）已知向量，，则．〖祥解〗根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解．【解答】解：向量，，则，，，故，故．故答案为：．【点评】本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．15．（2024•金山区二模）已知向量，，若，则实数的值为3．〖祥解〗根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：，，，则，解得．故答案为：3．【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．16．（2024•黄浦区校级三模）已知向量，且，则．〖祥解〗根据题意，有，根据向量平行的充要条件，构造方程，解方程即可得到答案．【解答】解：，即故答案为：【点评】本题考查的知识点是向量平行的坐标运算：，则17．（2024•浦东新区校级模拟）已知向量，的夹角为，，，则．〖祥解〗由平面向量的数量积运算计算即可求得．【解答】解：因为向量，的夹角为，，，所以，所以．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．18．（2024•黄浦区校级三模）中，，，为上一点，，则．〖祥解〗由数量积的定义计算即可．【解答】解：作交于，如图，则，又，则，因此，故．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积的计算，属基础题．19．（2024•闵行区三模）已知，若向量在向量方向上的数量投影为，则实数的值为3．〖祥解〗利用向量投影的计算公式求解．【解答】解：，，，向量在向量方向上的数量投影为，解得．故答案为：3．【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，考查了向量投影的概念，属于基础题．20．（2024•宝山区校级四模）如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为（用表示）．〖祥解〗根据平行线的性质证出，由此得到，结合，化简整理可得，从而可得答案．【解答】解：矩形中，由，得，所以，即，整理得，结合，，可得．故答案为：．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、平面向量基本定理等知识，属于基础题．21．（2024•虹口区模拟）已知向量满足，，，则等于．〖祥解〗由平面向量数量积的运算，结合平面向量模的运算求解即可．【解答】解：由，则，即，即，则，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．22．（2024•浦东新区校级模拟）已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为．〖祥解〗根据条件对两边平方，进行数量积的运算即可求出的值，然后即可求出和的值，从而根据向量夹角的余弦公式即可得解．【解答】解：均为单位向量，，，，，，．故答案为：．【点评】本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，是基础题．23．（2024•浦东新区校级四模）向量，且，则．〖祥解〗根据题意，用，表示，利用模长公式求出，，再计算，的数量积和夹角余弦值．【解答】解：因为向量，，且，所以，所以，所以，，所以，，所以，又，，所以，所以，所以，．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．24．（2024•浦东新区校级模拟）在所在的平面上有一点，满足，则．〖祥解〗由可得，则．即可求解．【解答】解：由可得，则．，则．故答案为：．【点评】本题考查了向量的数量积运算，向量的线性运算，属于中档题．25．（2024•黄浦区校级三模）已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为．〖祥解〗以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设，，，利用向量的坐标运算，结合三角函数的恒等变形与性质求解即可．【解答】解：如图，以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设，，，由题意：，，，，则，由，可得，，，，即，解得，所以，因为，，则，所以当时，取得最大值1，则的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的坐标运算及三角恒等变换，属中档题．26．（2024•嘉定区校级模拟）平面内互不重合的点、、、、、、，若，其中，2，3，4，则的取值范围为，．〖祥解〗根据三角形重心的性质，推导出，其中为△的重心，可知点在以点为圆心，为半径的圆上，然后根据向量加减法的几何意义与三角形的性质，算出的最大值与最小值，进而可得所求取值范围．【解答】解：设为△的重心，则，因为，所以，即在以点为圆心，为半径的圆上，不妨设点与坐标原点重合，作出半径分别为，，1，的同心圆，如图所示，则，当且仅当，，都在线段上，等号成立，而，当且仅当，，在线段上，且在线段上，在线段上时，等号成立．综上所述，的最大值为5，最小值为1，可知，．故答案为：，．【点评】本题主要考查三角形重心的性质、向量的加法则、向量的模及其性质，考查了图形的理解能力，属于中档题．27．（2024•虹口区二模）已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为．〖祥解〗作出图形，设，，设，根据题意易得，在以为圆心，1为半径的圆上，从而可得，取得最大值，从而得解．【解答】解：如图，设，，设，则，，，，，又向量满足，，即，在以为圆心，1为半径的圆上，又，当，，三点共线，且在之间时，取得最大值．故答案为：．【点评】本题考查向量模的最值的求解，解三角形问题，数形结合思想，属中档题．28．（2024•松江区校级模拟）已知、、，点是圆上的动点，则的取值范围是，．〖祥解〗设点坐标，将用函数表示，用正弦函数取值范围求解．【解答】解：设，，，，，，，因为，，所以的取值范围是，，故答案为：，．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．29．（2024•闵行区校级三模）空间中，、两点间的距离为8，设△的面积为，令，若，则的取值范围为．〖祥解〗根据公式对向量进行处理，再结合不等式得出，即可推出点，，在以为球心4为半径的球面上，从可求得答案．【解答】解：由题意可知，设，中点为，则，，所以，由，得，则，当且仅当时等号成立，则，即，即，则，即，．即点，，在以为球心4为半径的球面上，先说明圆的内接三角形为正三角形时，面积最大；设为半径为的圆的内接三角形，则，当且仅当时等号成立，即为正三角形时，其面积取到最大值．由于点，，在以为球心4为半径的球面上，故△的面积可以无限小，，即的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积运算以及性质，属于偏难题．30．（2024•普陀区模拟）若向量在向量上的投影为，且，则，．〖祥解〗由平面向量的模的运算，结合平面向量数量积及夹角的运算求解．【解答】解：若向量在向量上的投影为，则，即，又，则，即，则．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的模的运算，重点考查了平面向量数量积及夹角的运算，属中档题．31．（2024•浦东新区校级三模）已知向量，函数，若函数在内有且只有一个零点，则实数的取值范围为．〖祥解〗由题意，函数在内有且只有一个零点，等价于对应的方程在给定区间内只有一个根，进而转化为两个函数在给定区间内只有一个交点的问题，数形结合，即可求出参数的值．【解答】解：由题意，函数，因为函数在内有且只有一个零点，所以在内有且只有一个实根，则有，即，故函数在上的图象与直线只有一个交点，因为，所以，结合函数图象可知，当函数在区间上的图象与直线只有一个交点时，所以，即的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数的化简及函数零点与方程的根的关系，属中档题．32．（2024•浦东新区校级模拟）已知，是平面内两个定点，且，点集．若，，则向量、夹角的余弦值的取值范围是．〖祥解〗先求出的轨迹方程，再利用向量的夹角公式即可．【解答】解：以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，由得，，，，解得，因为，所以，代入，得，设，，，，与的夹角，则，，，当或时，取最小值为，当时，取最大值为1．故向量、夹角的余弦值的取值范围是是．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积和夹角，属与中档题．33．（2024•宝山区二模）空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是．〖祥解〗由不等式有解，结合数量积运算，求得，又且，可得，从而根据锥体体积公式求得结论．【解答】解：由已知得，所以，所以存在实数，使得不等式有解，则有，解得，又因为且，设，所以，则，故由构成的空间几何体的体积为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查不等式能成立问题及锥体体积公式，属中档题．34．（2024•崇明区二模）已知、、是半径为1的圆上的三个不同的点，且，则的最小值是．〖祥解〗根据正弦定理，分类讨论构建三角函数模型，再通过三角函数的性质，即可求解．【解答】解：根据正弦定理可，，，或，或，①当时，，，，，当，即时，取得最小值；②当时，，，，，，无最值，综合①②可得的最小值是．故答案为：．【点评】本题考查向量数量积的最值的求解，函数思想，正弦定理的应用，属中档题．35．（2024•浦东新区校级模拟）平面直角坐标系中，、两点到直线和的距离之和均为．当最大时，的最小值为．〖祥解〗利用点到直线的距离公式可得：，通过分类讨论可知：点，的运动轨迹是如图所示的正方形的4条边．结合向量运算即可得到最小值．【解答】解：设动点，由题意得，，即，如图所示：按区域①④去绝对值讨论：①区域中，，化为，；②区域中，且，化为，；③区域中，，化为，；④区域中，且，化为，；所以点的轨迹为一个正方形，即点，的运动轨迹为如图正方形的四条边．当最大时，有，所以为中点），所以的最小值的等价于最小时，显然当正方形①或④中的边时，，所以．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算问题，也考查了数形结合思想，是难题．36．（2024•黄浦区校级三模）已知平面向量两两都不共线．若，，2，3，4，，则的最大值是．〖祥解〗的最大值就是在上的投影之和最大值，依题意可得相邻两向量夹角为，以相邻两向量的模为边长的第三边长度为1，结合图象即可得解．【解答】解：由于，于是的最大值就是在上的投影之和最大值，由，，2，3，4，知，相邻两向量夹角为，以相邻两向量的模为边长的第三边长度为1，取，作出图象如下图所示，则，由图可知，当时，所有向量在上的投影之和最大，．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查转化思想及数形结合思想，属于难题．37．（2024•徐汇区模拟）如图所示，已知满足，，为所在平面内一点．定义点集，．若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为3．〖祥解〗延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，由向量共线定理得，，三点共线，从而表示的边上的高，利用正弦定理求得的面积的最大值，从而可得结论．【解答】解：延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，如图，，所以，，三点共线，又存在点，使得对任意，满足恒成立，则的长表示到直线的距离，即的边上的高，设，由得，，公用，因此，所以，中，设，由正弦定理得，记为角，所以，所以，若不是钝角，则，又，所以，即，所以，设，则，它是减函数，所以时，，若是钝角，则，设，则，，令，则，令，得，所以时，，递减，时，递增，所以时，，，此时．故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的应用，考查了正弦定理的应用，考查了函数思想，属于难题．三．解答题（共2小题）38．（2024•松江区校级模拟）△中，角、、的对边分别为、、，已知，．（1）求；（2）已知△的面积为，点满足，求的值．〖祥解〗（1）根据正弦定理化简已知等式，算出且，然后在△中，根据余弦定理列式算出的值；（2）利用同角三角函数的基本关系算出，根据三角形的面积公式求出，可得，．然后在△中利用余弦定理算出长，根据正弦定理求出，结合△是等腰三角形，求出的值．【解答】解：（1）在△中，，，由正弦定理得且，所以，根据余弦定理得．（2）根据，可得（舍负）．所以△中的面积，解得，，．由题意得，在△中，由余弦定理得，根据正弦定理得，即，解得．因为，所以，可得．【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换公式、三角形的面积公式及其应用，属于中档题．39．（2024•崇明区二模）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，为在方向上的投影向量，且满足．（1）求的值；（2）若，，求的周长．〖祥解〗（1）由题意可知，，代入得，再利用正弦定理求解即可；（2）由余弦定理可得，再结合可求出的值，进而求出的值，得到的周长．【解答】解：（1）为在方向上的投影向量，，又，，，又，，，，，，，又，，解得；（2），，，，，，，，，解得，，的周长为．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．专题08平面向量及其应用（真题5个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年秋考5、15题向量平行的坐标表示，平面向量基本定理、空间向量基本定理2023秋考2题2023春考2、12题平面向量的数量积运算平面向量的坐标运算，平面向量数量积的性质及其运算、空间向量的坐标运算2022秋考11题2022春考10题平面向量数量积的性质及其运算平面向量数量积的性质及其运算2021年秋考4题2021年春考16题平面向量数量积的性质及其运算平面向量数量积的性质及其运算2020年秋考12题2020年春考9、11题两个平面向量的和或差的模的最值平面向量数量积的性质及其运算、向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法一．两个平面向量的和或差的模的最值（共1小题）1．（2020•上海）已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且，（其中，2，，2，，，则的最大值是6．〖祥解〗设，，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得的最大值．【解答】解：如图，设，，由，且，，分别以，为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的的最大值为6．故答案为：6．【点评】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题．二．平面向量的数量积运算（共1小题）2．（2023•上海）已知向量，，则4．〖祥解〗直接利用平面向量的坐标运算法则求解．【解答】解：向量，，．故答案为：4．【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．三．平面向量数量积的性质及其运算（共6小题）3．（2021•上海）在中，为中点，为中点，则以下结论：①存在，使得；②存在，使得；它们的成立情况是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立〖祥解〗设，，，，，由向量数量的坐标运算即可判断①；为中点，可得，由为中点，可得与的交点即为重心，从而可判断②【解答】解：不妨设，，，，，①，，若，则，即，满足条件的存在，例如，满足上式，所以①成立；②为中点，，与的交点即为重心，因为为的三等分点，为中点，所以与不共线，即②不成立．故选：．【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．4．（2022•上海）若平面向量，且满足，，，则．〖祥解〗利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果．【解答】解：由题意，有，则，设，则得，，由同角三角函数的基本关系得：，则，，则．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．5．（2022•上海）在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为．〖祥解〗建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出，再利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立平面直角坐标系如下，则，，，直线的方程为，即，点在直线上，设，，，，的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．6．（2021•上海）如图正方形的边长为3，求9．〖祥解〗根据，直接求解即可．【解答】解：由数量积的定义，可得，因为，所以．故答案为：9．【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与计算，属于基础题．7．（2020•上海）已知、、、、五个点，满足，2，，，2，，则的最小值为．〖祥解〗可设，从而据题意可得出，，并设，根据是求的最小值，从而可得出，从而可求出，从而根据基本不等式即可求出的最小值．【解答】解：设，则，，设，如图，求的最小值，则：，，，，当且仅当，即时取等号，的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．8．（2020•上海）三角形中，是中点，，，，则．〖祥解〗根据余弦定理即可求出，并得出，然后进行数量积的运算即可．【解答】解：在中，，，，由余弦定理得，，，且是的中点，．故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．四．平面向量的坐标运算（共1小题）9．（2023•上海）已知向量，，则．〖祥解〗根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．【解答】解：因为向量，，所以，，．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．五．平面向量共线（平行）的坐标表示（共1小题）10．（2024•上海）已知，，，则的值为15．〖祥解〗根据向量平行的坐标表示，列方程求解即可．【解答】解：由，，，可得，解得．故答案为：15．【点评】本题考查向量平行的坐标表示，属基础题．一．选择题（共6小题）1．（2024•嘉定区校级模拟）已知为不共线的两个单位向量，，为非零实数，设，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件〖祥解〗由向量的夹角公式，可得若，则有或，又为不共线的两个单位向量，故，从而可得结论．【解答】解：由题意，，，若，则有，即，整理得，即，即，则有或，又为不共线的两个单位向量，故，故“”是“”的充要条件．故选：．【点评】本题考查向量的夹角公式，数量积运算及充要条件的判定，属基础题．2．（2024•浦东新区三模）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是A．和 B．和 C．和 D．和〖祥解〗当两向量不共线时，可作为基底，据此判断即可．【解答】解：对于，可设，可知且，显然不成立，所以这两个向量可作为基底，同理可知，，选项中的两个向量都可构成基底；对于，，所以这两个向量不构成基底．故选：．【点评】本题考查平面向量基本定理与向量共线的判断方法，属于基础题．3．（2024•徐汇区校级模拟）在中，，，．为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：①的最小值为；②的最小值为；③的最大值为；④的最大值为8．其中，正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．4〖祥解〗以为原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，设，然后表示出的坐标，由题意可得，再逐个分析判断即可．【解答】解：如图，以为原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以设，则，，所以，所以，即为任意角），所以（其中，所以的最大值为，最小值为，所以①③错误，因为，所以（其中，因为，所以，所以，所以的最小值为，最大值为14，所以②正确，④错误．故选：．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．4．（2024•闵行区校级三模）已知，，，，．若，，则的最小值为A．0 B． C．1 D．〖祥解〗根据给定条件，画出图形，确定点的位置，再利用向量模的几何意义，借助对称思想求解作答．【解答】解：令，，，依题意，，而，则．因为，，，所以有点在半径为1，所含圆心角为的扇形的弧上，如图，因为，，所以表示直线上的点与直线上的点间距离，，分别是点到点，的距离，因此，表示三点，，两两距离的和，作点关于直线对称点，关于直线对称点，连交，分别于点，，连，，，，则有，，令，则，，于是得：，而，由余弦定理可得：，因此，，对于直线上任意点、直线上任意点，连接，，，，，，则，，，当且仅当点与重合且点与点重合时取“”，从而得，所以的最小值为．故选：．【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．5．（2024•杨浦区二模）平面上的向量、满足：，，．定义该平面上的向量集合．给出如下两个结论：①对任意，存在该平面的向量，满足②对任意，存在该平面向量，满足则下面判断正确的为A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误〖祥解〗首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的数量积运算和点到直线的距离公式求出结果．【解答】解：不妨设，，，如图所示：由于，所以，化简得：，①，由于，得到，②，由①②得：，如图所示：其宽度．故得到命题①②正确．故选：．【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，点到直线的距离公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．6．（2024•嘉定区二模）已知，，且、不共线，则的面积为A． B． C． D．〖祥解〗由已知先求出到的距离，然后结合三角形面积公式即可求解．【解答】解：设到的距离为，因为，，则的一个法向量，，则，，故．故选：．【点评】本题主要考查了向量的坐标表示的应用，属于中档题．二．填空题（共31小题）7．（2024•浦东新区校级四模）已知平面内，，三点不共线，且点满足，则是的垂心．（填“重”或“垂”或“内”或“外”〖祥解〗由条件等式移项后，逆用数量积的分配律将其化简成，即得，同理可得另外两个垂直关系，即得点为其垂心．【解答】解：因为，同理，，故为的垂心．故答案为：垂．【点评】本题主要考查逆用数量积的分配律，属于基础题．8．（2024•闵行区校级模拟）已知点在以为直径的球面上，若，则．〖祥解〗根据平面向量数量积的定义，求解即可．【解答】解：因为点在以为直径的球面上，且，所以．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与应用问题，是基础题．9．（2024•浦东新区校级模拟）已知非零向量，满足，且，则向量与的夹角为．〖祥解〗根据题意，设向量与的夹角为，分析可得，变形可得，由向量夹角公式计算可得的值，结合的范围分析可得答案．【解答】解：根据题意，设向量与的夹角为，又由，则有，变形可得，又由非零向量，满足，即，则，又由，则，故答案为：．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题．10．（2024•宝山区三模）若向量在向量上的投影向量为，则等于．〖祥解〗根据已知条件，结合投影向量的定义，即可求解．【解答】解：向量，向量，则，，故向量在向量上的投影向量为：，故．故答案为：．【点评】本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．11．（2024•浦东新区校级模拟）向量在向量方向上的投影向量是．〖祥解〗根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．【解答】解：，，向量在向量方向上的投影向量是：．故答案为：．【点评】本题考查了向量坐标的数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．12．（2024•黄浦区校级模拟）在平面直角坐标系中，，把向量顺时针旋转定角得到，关于轴的对称点记为，，1，，10，则的坐标为．〖祥解〗根据题意求出的前几个值，发现以2为周期出现，即可求出．【解答】解：进行实际操作，则，，，，注意到，重合，因此所有操作以2为周期，故．故答案为：．【点评】本题考查向量的坐标表示，属于基础题．13．（2024•闵行区校级模拟）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则．〖祥解〗根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．【解答】解：由题意可知，，，，则，解得．故答案为：．【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．14．（2024•青浦区二模）已知向量，，则．〖祥解〗根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解．【解答】解：向量，，则，，，故，故．故答案为：．【点评】本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．15．（2024•金山区二模）已知向量，，若，则实数的值为3．〖祥解〗根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：，，，则，解得．故答案为：3．【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．16．（2024•黄浦区校级三模）已知向量，且，则．〖祥解〗根据题意，有，根据向量平行的充要条件，构造方程，解方程即可得到答案．【解答】解：，即故答案为：【点评】本题考查的知识点是向量平行的坐标运算：，则17．（2024•浦东新区校级模拟）已知向量，的夹角为，，，则．〖祥解〗由平面向量的数量积运算计算即可求得．【解答】解：因为向量，的夹角为，，，所以，所以．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．18．（2024•黄浦区校级三模）中，，，为上一点，，则．〖祥解〗由数量积的定义计算即可．【解答】解：作交于，如图，则，又，则，因此，故．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积的计算，属基础题．19．（2024•闵行区三模）已知，若向量在向量方向上的数量投影为，则实数的值为3．〖祥解〗利用向量投影的计算公式求解．【解答】解：，，，向量在向量方向上的数量投影为，解得．故答案为：3．【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，考查了向量投影的概念，属于基础题．20．（2024•宝山区校级四模）如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为（用表示）．〖祥解〗根据平行线的性质证出，由此得到，结合，化简整理可得，从而可得答案．【解答】解：矩形中，由，得，所以，即，整理得，结合，，可得．故答案为：．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、平面向量基本定理等知识，属于基础题．21．（2024•虹口区模拟）已知向量满足，，，则等于．〖祥解〗由平面向量数量积的运算，结合平面向量模的运算求解即可．【解答】解：由，则，即，即，则，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．22．（2024•浦东新区校级模拟）已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为．〖祥解〗根据条件对两边平方，进行数量积的运算即可求出的值，然后即可求出和的值，从而根据向量夹角的余弦公式即可得解．【解答】解：均为单位向量，，，，，，．故答案为：．【点评】本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，是基础题．23．（2024•浦东新区校级四模）向量，且，则．〖祥解〗根据题意，用，表示，利用模长公式求出，，再计算，的数量积和夹角余弦值．【解答】解：因为向量，，且，所以，所以，所以，，所以，，所以，又，，所以，所以，所以，．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．24．（2024•浦东新区校级模拟）在所在的平面上有一点，满足，则．〖祥解〗由可得，则．即可求解．【解答】解：由可得，则．，则．故答案为：．【点评】本题考查了向量的数量积运算，向量的线性运算，属于中档题．25．（2024•黄浦区校级三模）已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为．〖祥解〗以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设，，，利用向量的坐标运算，结合三角函数的恒等变形与性质求解即可．【解答】解：如图，以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设，，，由题意：，，，，则，由，可得，，，，即，解得，所以，因为，，则，所以当时，取得最大值1，则的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的坐标运算及三角恒等变换，属中档题．26．（2024•嘉定区校级模拟）平面内互不重合的点、、、、、、，若，其中，2，3，4，则的取值范围为，．〖祥解〗根据三角形重心的性质，推导出，其中为△的重心，可知点在以点为圆心，为半径的圆上，然后根据向量加减法的几何意义与三角形的性质，算出的最大值与最小值，进而可得所求取值范围．【解答】解：设为△的重心，则，因为，所以，即在以点为圆心，为半径的圆上，不妨设点与坐标原点重合，作出半径分别为，，1，的同心圆，如图所示，则，当且仅当，，都在线段上，等号成立，而，当且仅当，，在线段上，且在线段上，在线段上时，等号成立．综上所述，的最大值为5，最小值为1，可知，．故答案为：，．【点评】本题主要考查三角形重心的性质、向量的加法则、向量的模及其性质，考查了图形的理解能力，属于中档题．27．（2024•虹口区二模）已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为．〖祥解〗作出图形，设，，设，根据题意易得，在以为圆心，1为半径的圆上，从而可得，取得最大值，从而得解．【解答】解：如图，设，，设，则，，，，，又向量满足，，即，在以为圆心，1为半径的圆上，又，当，，三点共线，且在之间时，取得最大值．故答案为：．【点评】本题考查向量模的最值的求解，解三角形问题，数形结合思想，属中档题．28．（2024•松江区校级模拟）已知、、，点是圆上的动点，则的取值范围是，．〖祥解〗设点坐标，将用函数表示，用正弦函数取值范围求解．【解答】解：设，，，，，，，因为，，所以的取值范围是，，故答案为：，．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．29．（2024•闵行区校级三模）空间中，、两点间的距离为8，设△的面积为，令，若，则的取值范围为．〖祥解〗根据公式对向量进行处理，再结合不等式得出，即可推出点，，在以为球心4为半径的球面上，从可求得答案．【解答】解：由题意可知，设，中点为，则，，所以，由，得，则，当且仅当时等号成立，则，即，即，则，即，．即点，，在以为球心4为半径的球面上，先说明圆的内接三角形为正三角形时，面积最大；设为半径为的圆的内接三角形，则，当且仅当时等号成立，即为正三角形时，其面积取到最大值．由于点，，在以为球心4为半径的球面上，故△的面积可以无限小，，即的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积运算以及性质，属于偏难题．30．（2024•普陀区模拟）若向量在向量上的投影为，且，则，．〖祥解〗由平面向量的模的运算，结合平面向量数量积及夹角的运算求解．【解答】解：若向量在向量上的投影为，则，即，又，则，即，则．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的模的运算，重点考查了平面向量数量积及夹角的运算，属中档题．31．（2024•浦东新区校级三模）已知向量，函数，若函数在内有且只有一个零点，则实数的取值范围为．〖祥解〗由题意，函数在内有且只有一个零点，等价于对应的方程在给定区间内只有一个根，进而转化为两个函数在给定区间内只有一个交点的问题，数形结合，即可求出参数的值．【解答】解：由题意，函数，因为函数在内有且只有一个零点，所以在内有且只有一个实根，则有，即，故函数在上的图象与直线只有一个交点，因为，所以，结合函数图象可知，当函数在区间上的图象与直线只有一个交点时，所以，即的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数的化简及函数零点与方程的根的关系，属中档题．32．（2024•浦东新区校级模拟）已知，是平面内两个定点，且，点集．若，，则向量、夹角的余弦值的取值范围是．〖祥解〗先求出的轨迹方程，再利用向量的夹角公式即可．【解答】解：以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，由得，，，，解得，因为，所以，代入，得，设，，，，与的夹角，则，，，当或时，取最小值为，当时，取最大值为1．故向量、夹角的余弦值的取值范围是是．故答案为：．