2020-2024年五年高考数学真题分类汇编专题05 三角函数（真题5个考点精准练+模拟练）解析版

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题05三角函数（真题5个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年秋考14题2024年春考17题两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，函数的周期的求法正弦函数的图象和性质2023秋考4、15题二倍角公式的应用、正弦函数的图象与三角函数的最值2022秋考3题2022春考4题三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用两角和的正切公式2021年秋考15题2021年春考12题三角函数的单调性，以及恒成立问题三角函数的最值2020年秋考18题2020年春考3、5、14题三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用正切函数的周期性和求法、三角函数的倍角公式、正弦函数的图象一．三角函数的周期性（共4小题）1．（2020•上海）函数的最小正周期为．〖祥解〗根据函数的周期为，求出函数的最小正周期．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．【点评】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题．2．（2022•上海）函数的周期为．〖祥解〗由三角函数的恒等变换化简函数可得，从而根据周期公式即可求值．【解答】解：，．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属于基础题．3．（2020•上海）已知函数，．（1）的周期是，求，并求的解集；（2）已知，，，，求的值域．〖祥解〗（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．【解答】解：（1）由于的周期是，所以，所以．令，故或，整理得或．故解集为或，．（2）由于，所以．所以．由于，，所以．，故，故．所以函数的值域为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4．（2024•上海）已知，．（1）设，求解：，，的值域；（2），的最小正周期为，若在，上恰有3个零点，求的取值范围．〖祥解〗（1）由题意，根据正弦函数的单调性，求出函数的最值，可得结论．（2）由题意，根据正弦函数的周期性和零点，求出的取值范围．【解答】解：（1）当时，．因为，，所以令，根据在上单调递增，在上单调递减，所以函数的最大值为，最小值为．因此函数的值域为，．（2）由题知，所以，．当时，，即．当时，，所以，即．因此，的取值范围为，．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．二．三角函数的最值（共3小题）5．（2023•上海）已知，记在，的最小值为，在，的最小值为，则下列情况不可能的是A．， B．， C．， D．，〖祥解〗由题意可知，对分别求值，排除，即可得答案．【解答】解：由给定区间可知，．区间，与区间，相邻，且区间长度相同．取，则，，区间，，可知，，故可能；取，则，，，区间，，，可知，，故可能；取，则，，，区间，，，可知，，故可能．结合选项可得，不可能的是，．故选：．【点评】本题考查正弦函数的图象与三角函数的最值，训练了排除法的应用，取特值是关键，是中档题．6．（2021•上海）已知，存在实数，使得对任意，，则的最小值是．〖祥解〗在单位圆中分析可得，由，即，，即可求得的最小值．【解答】解：在单位圆中分析，由题意可得的终边要落在图中阴影部分区域（其中，所以，因为对任意都成立，所以，即，，同时，所以的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．7．（2021•上海）已知，对任意的，，都存在，，使得成立，则下列选项中，可能的值是A． B． C． D．〖祥解〗由题意可知，，，即，，可得，，将存在任意的，，都存在，，使得成立，转化为，，又由，可得，，再将选项中的值，依次代入验证，即可求解．【解答】解：，，，，，，都存在，，使得成立，，，，，，在上单调递减，当时，，，故选项错误，当时，，，，故选项正确，当时，，，故选项错误，当时，，，故选项错误．故选：．【点评】本题考查了三角函数的单调性，以及恒成立问题，需要学生有较综合的知识，属于中档题．三．同角三角函数间的基本关系（共1小题）8．（2020•上海）“”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件〖祥解〗容易看出，由可得出，而反之显然不成立，从而可得出“”是“”的充分不必要条件．【解答】解：（1）若，则，““是““的充分条件；（2）若，则，得不出，“”不是“”的必要条件，“”是“”的充分非必要条件．故选：．【点评】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义，，正弦函数的图象，考查了推理能力，属于基础题．四．两角和与差的三角函数（共2小题）9．（2024•上海）下列函数的最小正周期是的是A． B． C． D．〖祥解〗利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，化简选项表达式，求解函数的周期即可．【解答】解：对于，，则，满足条件，所以正确．对于，，则，不满足条件，所以不正确．对于，，函数是常函数，不存在最小正周期，不满足条件，所以不正确．对于，，则，不满足条件，所以不正确．故选：．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，函数的周期的求法，是基础题．10．（2022•上海）若，则．〖祥解〗由两角和的正切公式直接求解即可．【解答】解：若，则．故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．五．二倍角的三角函数（共2小题）11．（2023•上海）已知，则．〖祥解〗直接利用正切函数的二倍角公式求解．【解答】解：，．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．12．（2020•上海）已知，，则．〖祥解〗根据三角函数的倍角公式，结合反三角公式即可得到结论．【解答】解：，，，，，故．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键．一．选择题（共12小题）1．（2024•静安区二模）函数的最小正周期为A． B． C． D．〖祥解〗先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解．【解答】解：因为，，根据周期公式可得．故选：．【点评】本题主要考查了辅助角公式的应用，属于基础题．2．（2024•宝山区三模）一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是弧度A．2 B．3 C．4 D．5〖祥解〗结合扇形面积公式及弧长公式可求，，然后结合扇形圆心角公式可求．【解答】解：设扇形半径，弧长，则，解得，，所以圆心角为．故选：．【点评】本题主要考查了扇形面积公式及弧长公式，属于基础题．3．（2024•崇明区二模）设函数，若对于任意，在区间，上总存在唯一确定的，使得，则的最小值为A． B． C． D．〖祥解〗由三角函数图象的单调性得：因为，，，所以，所以，，即，，由三角函数的最值得：在区间，上总存在唯一确定的，使得，则在区间，上总存在唯一确定的，使得，，由函数在，为增函数，值域为：，，又，即，故的最小值为：，得解．【解答】解：因为，，，所以，所以，，即，，由在区间，上总存在唯一确定的，使得，则在区间，上总存在唯一确定的，使得，，由函数在，为增函数，值域为：，，又，即，故的最小值为：，故选：．【点评】本题考查了三角函数图象的单调性，三角函数的最值，属中档题．4．（2024•黄浦区二模）函数是A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数〖祥解〗利用二倍角公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的奇偶性和周期性，得出结论．【解答】解：函数，故该函数的为奇函数，且最小正周期为，故选：．【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，正弦函数的奇偶性和周期性，属于基础题．5．（2024•黄浦区校级模拟）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 B．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度〖祥解〗直接利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求出结果．【解答】解：要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，再向右平行移动个单位长度得到的图象．故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生运算能力，属于基础题．6．（2024•闵行区三模）对于函数，给出下列结论：（1）函数的图像关于点对称；（2）函数在区间上的值域为；（3）将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像；（4）曲线在处的切线的斜率为1．则所有正确的结论是A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）〖祥解〗由三角恒等变化得，对于（1），验证是否成立即可；对于（2），由三角函数的性质，求出函数的值域即可；对于（3），由函数的平移及诱导公式即可判断；对于（4），验证即可．【解答】解：因为，（1）因为，所以函数的图像不关于点对称，故错误；（2）当，时，，，所以，，故正确；（3）将函数的图像向左平移个单位长度得，故错误；（4）因为，所以，所以，即曲线在处的切线的斜率为1，故正确．故说法正确的有（2）、（4）．故选：．【点评】本题考查了三角恒等变化、三角函数的性质及导数的几何意义，属于中档题．7．（2024•闵行区二模）已知，集合，，，，，，，，．关于下列两个命题的判断，说法正确的是命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形命题②：集合表示的平面图形的面积不大于A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题〖祥解〗根据函数的奇偶性、判断命题①，再结合对称性计算阴影部分的面积判断命题②．【解答】解：对于①，，集合，显然该函数为奇函数，所以，都是奇函数，则曲线必关于对称，即集合表示的平面图形是中心对称图形，①正确；对于②，如图：阴影部分是由与围成的正方形的一半，故面积为，②错误．故选：．【点评】本题考查三角函数的奇偶性与对称性，属于中档题．8．（2024•虹口区二模）设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则A．函数是偶函数 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上是严格增函数 D．函数在上的值域为〖祥解〗先确定的解析式，再根据正弦函数的性质逐项判断即可．【解答】解：，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则，是奇函数，项错误；当，即，其图象关于直线对称，项错误；当，即，是减函数，故在为减函数，项错误，时，，函数的值域为，，故选项正确．故选：．【点评】本题考查了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，属于中档题．9．（2024•浦东新区校级四模）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是A． B． C． D．〖祥解〗由题意，利用函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得的最小值．【解答】解：将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，则对应函数为，的图象关于轴对称，，，即，，则令，可得的最小值是，故选：．【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．10．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数，，的部分图像如图所示，且的图像关于点中心对称，则A．4 B．3 C．2 D．0〖祥解〗根据函数图像的最低点及对称中心的位置得到，的值，根据点得出的值，由五点作图法可得，即可得出答案．【解答】解：由图可知，，又因为过点，所以，解得，又因为，且在的一个减区间上，所以，根据五点作图法可知，，解得，，．故选：．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．11．（2024•徐汇区模拟）已知函数，其中，实数，下列选项中正确的是A．若，函数关于直线对称 B．若，函数在，上是增函数 C．若函数在，上最大值为1，则 D．若，则函数的最小正周期是〖祥解〗求出即可判断选项；由正弦函数的单调性即可判断；由正弦函数的性质可得关于的不等式，从而可求出的取值范围，即可判断；判断，即可判断．【解答】解：对于，若，则，，不是最值，所以不关于直线对称，故错误；对于，若，则，当，时，，，因为正弦函数在，上不单调，所以函数在，上不是增函数，故错误；对于，，，则，，因为函数在，上最大值为1，所以，解得，故正确；对于，若，函数，因为，所以函数的最小正周期不是，故错误．故选：．【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．12．（2024•闵行区校级二模）已知实数，，且满足，则下列关系式成立的是A． B． C． D．〖祥解〗根据余弦函数的性质得到，在根据对数函数的性质判断，正弦函数的性质判断，不等式的性质判断，幂函数的性质判断．【解答】解：在上单调递减，又，，，，又，，，对于：因为在定义域上单调递增，所以，故错误；对于：因为在上单调递增，所以，故错误；对于：因为，所以，故正确；对于：因为在定义域上单调递增，所以，故错误；故选：．【点评】本题考查三角函数的性质，对数函数的性质，幂函数的性质，化归转化思想，属中档题．二．填空题（共33小题）13．（2024•闵行区校级三模）函数的最小正周期为．〖祥解〗由已知结合正切函数的周期公式即可求解．【解答】解：根据正切函数的周期公式可知，．故答案为：．【点评】本题主要考查了正切函数周期公式的应用，属于基础题．14．（2024•嘉定区校级模拟）若，则的值是．〖祥解〗由已知直接利用诱导公式求解．【解答】解：由，得，则．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．15．（2024•杨浦区二模）已知，则．〖祥解〗把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于的式子，将的值代入即可求出值．【解答】解：因为，所以．故答案为：．【点评】通常，在高考题中，三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置，是基础分值的题目，学生在解答三角函数问题时，往往会出现，会而不对的状况．所以，在平时练习时，既要熟练掌握相关知识点，又要在解答时考虑更为全面．这样才能熟练驾驭三角函数题．16．（2024•虹口区二模）若，则．〖祥解〗根据二倍角公式求解即可．【解答】解：因为，所以．故选：．【点评】本题考查了二倍角公式应用问题，是基础题．17．（2024•奉贤区三模）函数的最小正周期为．〖祥解〗先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解．【解答】解：，其中，根据正弦函数的性质可知，函数的最小正周期为．故答案为：．【点评】本题主要考查了辅助角公式及正弦函数的性质的应用，属于基础题．18．（2024•闵行区二模）始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则．〖祥解〗结合三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解．【解答】解：始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则，故．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，属于基础题．19．（2024•宝山区二模）已知，则．〖祥解〗由已知结合两角差的正切公式进行化简即可求解．【解答】解：因为，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础题．20．（2024•松江区二模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为，．〖祥解〗由题意可求，，利用任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：因为点的坐标为，即，所以，可得，，所以点的坐标为，．故答案为：，．【点评】本题考查诱导公式的应用，考查三角函数的定义，比较基础．21．（2024•闵行区校级二模）已知，且，则．〖祥解〗根据诱导公式结合正弦函数性质分析求解．【解答】解：因为，且，可知，又因为，且，结合在内单调递减，可得．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．22．（2024•虹口区模拟）若，则．〖祥解〗由题意利用二倍角的正切公式即可求解．【解答】解：因为，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．23．（2024•杨浦区校级三模）已知，则．〖祥解〗根据两角和的正切公式可求出结果．【解答】解：因为，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查了两角和的正切公式的应用，属于基础题．24．（2024•浦东新区校级模拟）若，则．〖祥解〗由已知利用二倍角公式化简所求即可计算得解．【解答】解：，．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．25．（2024•普陀区校级三模）函数，，设为的最小正周期，若，则．〖祥解〗由，代入函数解析式中，结合，可得的值．【解答】解：函数，，最小正周期，由，，又，可得．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦函数周期性的应用，属于基础题．26．（2024•青浦区校级模拟）函数的最小正周期为．〖祥解〗利用正弦型函数的周期公式以及绝对值函数的性质可求得函数的最小正周期．【解答】解：因为的最小正周期为，所以的最小正周期为．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数图象的变换及周期的求解，属于基础题．27．（2024•浦东新区校级四模）已知，，则．〖祥解〗由已知结合半角公式进行化简即可求解．【解答】解：因为，，所以，，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了半角公式的应用，属于基础题．28．（2024•黄浦区校级三模）函数的部分图象如图，下列结论正确的序号是②③．①的最小正周期为6；②；③的图象的对称中心为；④的一个单调递减区间为．〖祥解〗首先根据图象信息，找出周期，从而得出，进而求出，再根据三角函数的图象和性质进行判断即可．【解答】解：由图可得，所以①错误；因为，所以．因为点在的图象上，所以即．因为，所以，所以，所以②正确；令得，所以的图象的对称中心为，所以③正确；令得，令得，令得，所以，，所以④错误．综上，正确的序号是②③．故答案为：②③．【点评】本题以三角函数为背景，考查正弦型函数的图象与性质，属基础题．29．（2024•松江区校级模拟）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为，．〖祥解〗结合三角函数的定义可先求出经过点的角的三角函数值，然后结合两角和的正弦及余弦公式及三角函数定义可求．【解答】解；设点的坐标，则，设为终边上的一点，则，，则，，即，，故点的坐标为，．故答案为：，．【点评】本题主要考查了三角函数的定义及两角和的正弦及余弦公式，属于基础题．30．（2024•黄浦区校级三模）若，，则．〖祥解〗利用同角三角函数关系得，再结合诱导公式即可得到答案．【解答】解：，，，．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．31．（2024•黄浦区校级三模）函数，的零点是．〖祥解〗直接利用余弦函数的图象和性质求出结果．【解答】解：由于，当时，，故函数的零点为．故答案为：．【点评】本题考查的知识点：余弦函数的性质，函数的零点和方程的根的关系，主要考查学生的运算能力，属于基础题．32．（2024•普陀区模拟）若，则〖祥解〗由题意利用诱导公式，求得所给式子的值．【解答】解：，则，故答案为：．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．33．（2024•虹口区二模）已知集合，，则．〖祥解〗先确定集合，再根据集合运算的定义即可得．【解答】解：，，，，，，则．故答案为：．【点评】本题考查集合的运算，考查三角函数的性质，属于基础题．34．（2024•浦东新区校级模拟）已知，则．〖祥解〗由已知结合同角基本关系即可求解．【解答】解：因为，所以，则．故答案为：【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．35．（2024•杨浦区校级三模）函数的最小正周期是．〖祥解〗把函数化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．【解答】解：函数，它的最小正周期是：．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题．36．（2024•普陀区校级模拟）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将其图象上的所有点向左平移个单位，得到函数的图象关于轴对称，则的值可以为（答案不唯一）．（写出一个符合要求的答案即可）〖祥解〗由正弦型函数的平移与伸缩变换可得变换后的函数为，再利用正弦型函数的对称性求的值即可．【解答】解：将正弦函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到，再将其图象上的所有点向左平移个单位得到函数的图象，又函数的图象关于轴对称，则，，即，，故的值可以为（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查三角函数的图象变化的应用，属于中档题．37．（2024•黄浦区二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段，与分别以，为直径的半圆弧组成）表示一条步道．其中的点，是线段上的动点，点为线段，的中点，点，在以为直径的半圆弧上，且，均为直角．若百米，则此步道的最大长度为百米．〖祥解〗因为步道的长度是两个半圆周长两条线段长，设半圆直径为，求出两条线段的长，即可计算步道的长，再求最大值即可．【解答】解：根据题意知，步道的长度为两个半圆周长两条线段长，设半圆直径为，，连接，因为，所以，所以步道长为，．设，，则，所以，，因为，，所以当时，取得最大值．故答案为：．【点评】本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．38．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为．〖祥解〗令，对应正弦函数的零点问题即可得．【解答】解：令，，，，在上恰有两个零点，故，，即实数的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．39．（2024•嘉定区二模）已知，则函数的最小值为．〖祥解〗，可求的范围，然后结合同角基本关系对已知函数进行化简，然后结合函数的单调性即可求解．【解答】解：因为，令，因为，所以，所以，故，由可得，，则，原函数可化为，因为在，上单调递增，故时，取得最大值，此时取得最小值．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角基本关系，辅助角公式的应用，还考查了函数单调性在函数最值求解中的应用，属于中档题．40．（2024•浦东新区校级模拟）若对于任意自然数，函数在每个闭区间，上均有两个零点，则正实数的最小值是．〖祥解〗作出函数图象，利用余弦函数的性质算出函数与原点距离最近的交点坐标，结合题意算出正实数满足的条件，从而得出答案．【解答】解：作出函数的图象，观察可得：函数在正数范围内的最小零点满足，解得，函数在负数范围内的最大零点满足，解得，因为在每个闭区间，上均有两个零点，所以且，解得，可知正实数的最小值是．故答案为：．【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质、函数的零点及其应用等知识，属于中档题．41．（2024•嘉定区校级模拟）将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则．〖祥解〗结合正弦型函数图象的对称性与割补法，可知阴影部分是一个长为2，宽为的矩形，从而可得，根据求得的值，再代入点，，即可得解．【解答】解：根据正弦型函数图象的对称性可知，阴影部分是一个长为2，宽为的矩形，所以，即，所以，即，所以，，将点，代入的解析中，有，则，，所以，，因为，所以．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的图形与性质，熟练掌握正弦函数的对称性，理解，的几何意义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．42．（2024•长宁区校级三模）若函数的一个零点是，则函数的最大值为2．〖祥解〗由两角和与差的三角函数，结合三角函数的性质求解．【解答】解：函数的一个零点是，则，即，即，则，，则函数的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，重点考查了三角函数的性质，属中档题．43．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数．则函数的值域为，．〖祥解〗首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值域．【解答】解：因为，所以，所以，所以，函数的值域为，．故答案为：，．【点评】本题考查的知识点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．44．（2024•浦东新区校级模拟）已知，若函数的最大值为2，则．〖祥解〗由辅助角公式得函数最大值，进而列方程即可求解．【解答】解：由题意，其中，所以，因为，所以．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．45．（2024•浦东新区校级模拟）记函数在上的最大值为，最小值为，则当时，的最小值为．〖祥解〗求出函数的最小正周期，得到为最小正周期的，数形结合得到当关于的某条对称轴对称时取得最小值，不妨令，得到，，，得到答案．【解答】解：的最小正周期，由于，为最小正周期的，要想取得最小值，则在上不单调，由对称性可知，当关于的某条对称轴对称时，取得最小值，其对称轴为，所以当时，取得最值，不妨令，则，解得，，故，故的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属中档题．三．解答题（共9小题）46．（2024•浦东新区校级四模）已知函数．（1）求函数的在，上单调递减区间；（2）若函数在区间，上有且只有两个零点，求的取值范围．〖祥解〗（1）结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；（2）由已知结合函数零点存在条件即可求解．【解答】解：（1），令，，则，，故函数的在，上单调递减区间为；（2）令，，则，，若函数在区间，上有且只有两个零点，则，故的范围为．【点评】本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数的单调性及零点存在条件的应用，属于基础题．47．（2024•长宁区二模）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：0△01△0（1）请在答题卷上将上表△处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）设，求函数的值域．〖祥解〗（1）先求出，，即可得函数解析式，再由五点作图法可将表格补充完整；（2）求出解析式，再由正弦函数的性质可得函数值域．【解答】解：（1）根据表中的数据，得，，又，，函数的解析式为，令，解得，可得，数据补全如下表：00100（2）若，，则，，，，，，，，，．【点评】本题主要考查五点作图法，三角函数的图像和性质，考查运算求解能力，属于中档题．48．（2024•浦东新区三模）已知，其中，．（1）若，函数的最小正周期为，求函数的单调减区间；（2）设函数的部分图像如图所示，其中，，求函数的最小正周期，并求的解析式．〖祥解〗（1）由周期公式求出，可得解析式，再由正弦函数的单调性求解即可；（2）由题意可得，结合已知条件求出周期，从而求出，将代入解析式中，结合的取值范围可得的值，从而可得的解析式．【解答】解：（1）若，函数的最小正周期为，则，解得，故．令，解得，解得单调减区间为．（2）由题可得，，，，则，，因此，又，得．由，得．再将代入，即．由，解得．因此的解析式为．【点评】本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．49．（2024•青浦区二模）对于函数，其中，．（1）求函数的单调增区间；（2）在锐角三角形中，若（A），，求的面积．〖祥解〗（1）先对恒等变换，再结合正弦函数的性质，即可求解；（2）根据已知条件，先求出，再结合平面向量的数量积运算，以及三角形的面积公式，即可求解．【解答】解：（1），由，得，故函数的单调增区间是．（2），则，在锐角三角形中，则，故，即，所以，又，所以，，故的面积．【点评】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．50．（2024•浦东新区校级四模）已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）已知的内角，，的对边分别为，，，且，求角的大小．〖祥解〗（1）利用二倍角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；（2）由已知先求出，然后结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解．【解答】解：（1）由题意得，，令，得，所以的单调递增区间为；（2）由（1）知，又，所以，所以，由正弦定理及，得，则，整理得，又，所以．【点评】本题主要考查了二倍角公式，和差角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．51．（2024•松江区二模）设，函数图像的两条相邻对称轴之间的距离为．（1）求函数的解析式；（2）在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角．〖祥解〗（1）先对函数化简，然后由函数图像相邻两条对称轴之间的距离为，可求周期，进而可求，即可求解函数解析式；（2）先由已知求出，结合正弦定理求出，然后结合三角形内角和即可求解．【解答】解：，因为函数的图像相邻两条对称轴之间的距离为，所以，所以，得，所以；（2）由，得，所以，因为，则，所以，解得，因为，，由正弦定理得，得，因为，所以，所以，．【点评】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．52．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数．（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）在中，，，为角，，的对边，且满足，且，求角的值，进而再求（B）的取值范围．〖祥解〗（Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．（Ⅱ）首先利用正弦定理求出相应的角，进一步利用三角函数的关系式求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由题知，，由，解得，所以单调递增区间为．（Ⅱ）由正弦定理得，因为在三角形中，所以，所以，即，所以，当时，；当时，．由于，所以．则．则．又，所以．由，则（B）的取值范围是．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理的应用．53．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数．（1）当，时，求的增区间；（2）在中，角所对边，角所对边，若（A），求的面积．〖祥解〗（1）利用二倍角公式得到，利用换元法求出单增区间；（2）先求出，利用余弦定理求出，即可求出三角形的面积．【解答】解：（1），令，则由，，可得，，因为在，单调递增，所以在上单调递增，即的单调递增区间为；（2）由（A），可得，因为，所以，故或，当时，，因为，则，所以，即，不符合三角形内角和定理，舍去，所以在中，，即，由余弦定理及可得：，即，解得或，当时，，当时，，所以的面积为或．【点评】本题考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质，考查解三角形，属中档题．54．（2024•浦东新区校级模拟）设函数，其中，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在，上的最小值．〖祥解〗（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数为正弦型函数，根据求出的值；（Ⅱ）写出解析式，利用平移法则写出的解析式，求出，时的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数，又，，，解得，又，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到的图象，函数；当，时，，，，，当时，取得最小值是．【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．专题05三角函数（真题5个考点精准练+精选模拟练）5年考情考题示例考点分析2024年秋考14题2024年春考17题两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，函数的周期的求法正弦函数的图象和性质2023秋考4、15题二倍角公式的应用、正弦函数的图象与三角函数的最值2022秋考3题2022春考4题三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用两角和的正切公式2021年秋考15题2021年春考12题三角函数的单调性，以及恒成立问题三角函数的最值2020年秋考18题2020年春考3、5、14题三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用正切函数的周期性和求法、三角函数的倍角公式、正弦函数的图象一．三角函数的周期性（共4小题）1．（2020•上海）函数的最小正周期为．〖祥解〗根据函数的周期为，求出函数的最小正周期．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．【点评】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题．2．（2022•上海）函数的周期为．〖祥解〗由三角函数的恒等变换化简函数可得，从而根据周期公式即可求值．【解答】解：，．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属于基础题．3．（2020•上海）已知函数，．（1）的周期是，求，并求的解集；（2）已知，，，，求的值域．〖祥解〗（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．【解答】解：（1）由于的周期是，所以，所以．令，故或，整理得或．故解集为或，．（2）由于，所以．所以．由于，，所以．，故，故．所以函数的值域为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4．（2024•上海）已知，．（1）设，求解：，，的值域；（2），的最小正周期为，若在，上恰有3个零点，求的取值范围．〖祥解〗（1）由题意，根据正弦函数的单调性，求出函数的最值，可得结论．（2）由题意，根据正弦函数的周期性和零点，求出的取值范围．【解答】解：（1）当时，．因为，，所以令，根据在上单调递增，在上单调递减，所以函数的最大值为，最小值为．因此函数的值域为，．（2）由题知，所以，．当时，，即．当时，，所以，即．因此，的取值范围为，．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．二．三角函数的最值（共3小题）5．（2023•上海）已知，记在，的最小值为，在，的最小值为，则下列情况不可能的是A．， B．， C．， D．，〖祥解〗由题意可知，对分别求值，排除，即可得答案．【解答】解：由给定区间可知，．区间，与区间，相邻，且区间长度相同．取，则，，区间，，可知，，故可能；取，则，，，区间，，，可知，，故可能；取，则，，，区间，，，可知，，故可能．结合选项可得，不可能的是，．故选：．【点评】本题考查正弦函数的图象与三角函数的最值，训练了排除法的应用，取特值是关键，是中档题．6．（2021•上海）已知，存在实数，使得对任意，，则的最小值是．〖祥解〗在单位圆中分析可得，由，即，，即可求得的最小值．【解答】解：在单位圆中分析，由题意可得的终边要落在图中阴影部分区域（其中，所以，因为对任意都成立，所以，即，，同时，所以的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．7．（2021•上海）已知，对任意的，，都存在，，使得成立，则下列选项中，可能的值是A． B． C． D．〖祥解〗由题意可知，，，即，，可得，，将存在任意的，，都存在，，使得成立，转化为，，又由，可得，，再将选项中的值，依次代入验证，即可求解．【解答】解：，，，，，，都存在，，使得成立，，，，，，在上单调递减，当时，，，故选项错误，当时，，，，故选项正确，当时，，，故选项错误，当时，，，故选项错误．故选：．【点评】本题考查了三角函数的单调性，以及恒成立问题，需要学生有较综合的知识，属于中档题．三．同角三角函数间的基本关系（共1小题）8．（2020•上海）“”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件〖祥解〗容易看出，由可得出，而反之显然不成立，从而可得出“”是“”的充分不必要条件．【解答】解：（1）若，则，““是““的充分条件；（2）若，则，得不出，“”不是“”的必要条件，“”是“”的充分非必要条件．故选：．【点评】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义，，正弦函数的图象，考查了推理能力，属于基础题．四．两角和与差的三角函数（共2小题）9．（2024•上海）下列函数的最小正周期是的是A． B． C． D．〖祥解〗利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，化简选项表达式，求解函数的周期即可．【解答】解：对于，，则，满足条件，所以正确．对于，，则，不满足条件，所以不正确．对于，，函数是常函数，不存在最小正周期，不满足条件，所以不正确．对于，，则，不满足条件，所以不正确．故选：．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，函数的周期的求法，是基础题．10．（2022•上海）若，则．〖祥解〗由两角和的正切公式直接求解即可．【解答】解：若，则．故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．五．二倍角的三角函数（共2小题）11．（2023•上海）已知，则．〖祥解〗直接利用正切函数的二倍角公式求解．【解答】解：，．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．12．（2020•上海）已知，，则．〖祥解〗根据三角函数的倍角公式，结合反三角公式即可得到结论．【解答】解：，，，，，故．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键．一．选择题（共12小题）1．（2024•静安区二模）函数的最小正周期为A． B． C． D．〖祥解〗先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解．【解答】解：因为，，根据周期公式可得．故选：．【点评】本题主要考查了辅助角公式的应用，属于基础题．2．（2024•宝山区三模）一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是弧度A．2 B．3 C．4 D．5〖祥解〗结合扇形面积公式及弧长公式可求，，然后结合扇形圆心角公式可求．【解答】解：设扇形半径，弧长，则，解得，，所以圆心角为．故选：．【点评】本题主要考查了扇形面积公式及弧长公式，属于基础题．3．（2024•崇明区二模）设函数，若对于任意，在区间，上总存在唯一确定的，使得，则的最小值为A． B． C． D．〖祥解〗由三角函数图象的单调性得：因为，，，所以，所以，，即，，由三角函数的最值得：在区间，上总存在唯一确定的，使得，则在区间，上总存在唯一确定的，使得，，由函数在，为增函数，值域为：，，又，即，故的最小值为：，得解．【解答】解：因为，，，所以，所以，，即，，由在区间，上总存在唯一确定的，使得，则在区间，上总存在唯一确定的，使得，，由函数在，为增函数，值域为：，，又，即，故的最小值为：，故选：．【点评】本题考查了三角函数图象的单调性，三角函数的最值，属中档题．4．（2024•黄浦区二模）函数是A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数〖祥解〗利用二倍角公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的奇偶性和周期性，得出结论．【解答】解：函数，故该函数的为奇函数，且最小正周期为，故选：．【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，正弦函数的奇偶性和周期性，属于基础题．5．（2024•黄浦区校级模拟）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 B．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度〖祥解〗直接利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求出结果．【解答】解：要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，再向右平行移动个单位长度得到的图象．故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生运算能力，属于基础题．6．（2024•闵行区三模）对于函数，给出下列结论：（1）函数的图像关于点对称；（2）函数在区间上的值域为；（3）将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像；（4）曲线在处的切线的斜率为1．则所有正确的结论是A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）〖祥解〗由三角恒等变化得，对于（1），验证是否成立即可；对于（2），由三角函数的性质，求出函数的值域即可；对于（3），由函数的平移及诱导公式即可判断；对于（4），验证即可．【解答】解：因为，（1）因为，所以函数的图像不关于点对称，故错误；（2）当，时，，，所以，，故正确；（3）将函数的图像向左平移个单位长度得，故错误；（4）因为，所以，所以，即曲线在处的切线的斜率为1，故正确．故说法正确的有（2）、（4）．故选：．【点评】本题考查了三角恒等变化、三角函数的性质及导数的几何意义，属于中档题．7．（2024•闵行区二模）已知，集合，，，，，，，，．关于下列两个命题的判断，说法正确的是命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形命题②：集合表示的平面图形的面积不大于A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题〖祥解〗根据函数的奇偶性、判断命题①，再结合对称性计算阴影部分的面积判断命题②．【解答】解：对于①，，集合，显然该函数为奇函数，所以，都是奇函数，则曲线必关于对称，即集合表示的平面图形是中心对称图形，①正确；对于②，如图：阴影部分是由与围成的正方形的一半，故面积为，②错误．故选：．【点评】本题考查三角函数的奇偶性与对称性，属于中档题．8．（2024•虹口区二模）设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则A．函数是偶函数 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上是严格增函数 D．函数在上的值域为〖祥解〗先确定的解析式，再根据正弦函数的性质逐项判断即可．【解答】解：，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则，是奇函数，项错误；当，即，其图象关于直线对称，项错误；当，即，是减函数，故在为减函数，项错误，时，，函数的值域为，，故选项正确．故选：．【点评】本题考查了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，属于中档题．9．（2024•浦东新区校级四模）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是A． B． C． D．〖祥解〗由题意，利用函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得的最小值．【解答】解：将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，则对应函数为，的图象关于轴对称，，，即，，则令，可得的最小值是，故选：．【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．10．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数，，的部分图像如图所示，且的图像关于点中心对称，则A．4 B．3 C．2 D．0〖祥解〗根据函数图像的最低点及对称中心的位置得到，的值，根据点得出的值，由五点作图法可得，即可得出答案．【解答】解：由图可知，，又因为过点，所以，解得，又因为，且在的一个减区间上，所以，根据五点作图法可知，，解得，，．故选：．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．11．（2024•徐汇区模拟）已知函数，其中，实数，下列选项中正确的是A．若，函数关于直线对称 B．若，函数在，上是增函数 C．若函数在，上最大值为1，则 D．若，则函数的最小正周期是〖祥解〗求出即可判断选项；由正弦函数的单调性即可判断；由正弦函数的性质可得关于的不等式，从而可求出的取值范围，即可判断；判断，即可判断．【解答】解：对于，若，则，，不是最值，所以不关于直线对称，故错误；对于，若，则，当，时，，，因为正弦函数在，上不单调，所以函数在，上不是增函数，故错误；对于，，，则，，因为函数在，上最大值为1，所以，解得，故正确；对于，若，函数，因为，所以函数的最小正周期不是，故错误．故选：．【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．12．（2024•闵行区校级二模）已知实数，，且满足，则下列关系式成立的是A． B． C． D．〖祥解〗根据余弦函数的性质得到，在根据对数函数的性质判断，正弦函数的性质判断，不等式的性质判断，幂函数的性质判断．【解答】解：在上单调递减，又，，，，又，，，对于：因为在定义域上单调递增，所以，故错误；对于：因为在上单调递增，所以，故错误；对于：因为，所以，故正确；对于：因为在定义域上单调递增，所以，故错误；故选：．【点评】本题考查三角函数的性质，对数函数的性质，幂函数的性质，化归转化思想，属中档题．二．填空题（共33小题）13．（2024•闵行区校级三模）函数的最小正周期为．〖祥解〗由已知结合正切函数的周期公式即可求解．【解答】解：根据正切函数的周期公式可知，．故答案为：．【点评】本题主要考查了正切函数周期公式的应用，属于基础题．14．（2024•嘉定区校级模拟）若，则的值是．〖祥解〗由已知直接利用诱导公式求解．【解答】解：由，得，则．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．15．（2024•杨浦区二模）已知，则．〖祥解〗把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于的式子，将的值代入即可求出值．【解答】解：因为，所以．故答案为：．【点评】通常，在高考题中，三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置，是基础分值的题目，学生在解答三角函数问题时，往往会出现，会而不对的状况．所以，在平时练习时，既要熟练掌握相关知识点，又要在解答时考虑更为全面．这样才能熟练驾驭三角函数题．16．（2024•虹口区二模）若，则．〖祥解〗根据二倍角公式求解即可．【解答】解：因为，所以．故选：．【点评】本题考查了二倍角公式应用问题，是基础题．17．（2024•奉贤区三模）函数的最小正周期为．〖祥解〗先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解．【解答】解：，其中，根据正弦函数的性质可知，函数的最小正周期为．故答案为：．【点评】本题主要考查了辅助角公式及正弦函数的性质的应用，属于基础题．18．（2024•闵行区二模）始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则．〖祥解〗结合三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解．【解答】解：始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则，故．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，属于基础题．19．（2024•宝山区二模）已知，则．〖祥解〗由已知结合两角差的正切公式进行化简即可求解．【解答】解：因为，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础题．20．（2024•松江区二模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为，．〖祥解〗由题意可求，，利用任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：因为点的坐标为，即，所以，可得，，所以点的坐标为，．故答案为：，．【点评】本题考查诱导公式的应用，考查三角函数的定义，比较基础．21．（2024•闵行区校级二模）已知，且，则．〖祥解〗根据诱导公式结合正弦函数性质分析求解．【解答】解：因为，且，可知，又因为，且，结合在内单调递减，可得．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．22．（2024•虹口区模拟）若，则．〖祥解〗由题意利用二倍角的正切公式即可求解．【解答】解：因为，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．23．（2024•杨浦区校级三模）已知，则．〖祥解〗根据两角和的正切公式可求出结果．【解答】解：因为，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查了两角和的正切公式的应用，属于基础题．24．（2024•浦东新区校级模拟）若，则．〖祥解〗由已知利用二倍角公式化简所求即可计算得解．【解答】解：，．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．25．（2024•普陀区校级三模）函数，，设为的最小正周期，若，则．〖祥解〗由，代入函数解析式中，结合，可得的值．【解答】解：函数，，最小正周期，由，，又，可得．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦函数周期性的应用，属于基础题．26．（2024•青浦区校级模拟）函数的最小正周期为．〖祥解〗利用正弦型函数的周期公式以及绝对值函数的性质可求得函数的最小正周期．【解答】解：因为的最小正周期为，所以的最小正周期为．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数图象的变换及周期的求解，属于基础题．27．（2024•浦东新区校级四模）已知，，则．〖祥解〗由已知结合半角公式进行化简即可求解．【解答】解：因为，，所以，，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了半角公式的应用，属于基础题．28．（2024•黄浦区校级三模）函数的部分图象如图，下列结论正确的序号是②③．①的最小正周期为6；②；③的图象的对称中心为；④的一个单调递减区间为．〖祥解〗首先根据图象信息，找出周期，从而得出，进而求出，再根据三角函数的图象和性质进行判断即可．【解答】解：由图可得，所以①错误；因为，所以．因为点在的图象上，所以即．因为，所以，所以，所以②正确；令得，所以的图象的对称中心为，所以③正确；令得，令得，令得，所以，，所以④错误．综上，正确的序号是②③．故答案为：②③．【点评】本题以三角函数为背景，考查正弦型函数的图象与性质，属基础题．29．（2024•松江区校级模拟）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为，．〖祥解〗结合三角函数的定义可先求出经过点的角的三角函数值，然后结合两角和的正弦及余弦公式及三角函数定义可求．【解答】解；设点的坐标，则，设为终边上的一点，则，，则，，即，，故点的坐标为，．故答案为：，．【点评】本题主要考查了三角函数的定义及两角和的正弦及余弦公式，属于基础题．30．（2024•黄浦区校级三模）若，，则．〖祥解〗利用同角三角函数关系得，再结合诱导公式即可得到答案．【解答】解：，，，．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．31．（2024•黄浦区校级三模）函数，的零点是．〖祥解〗直接利用余弦函数的图象和性质求出结果．【解答】解：由于，当时，，故函数的零点为．故答案为：．【点评】本题考查的知识点：余弦函数的性质，函数的零点和方程的根的关系，主要考查学生的运算能力，属于基础题．32．（2024•普陀区模拟）若，则〖祥解〗由题意利用诱导公式，求得所给式子的值．【解答】解：，则，故答案为：．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．33．（2024•虹口区二模）已知集合，，则．〖祥解〗先确定集合，再根据集合运算的定义即可得．【解答】解：，，，，，，则．故答案为：．【点评】本题考查集合的运算，考查三角函数的性质，属于基础题．34．（2024•浦东新区校级模拟）已知，则．〖祥解〗由已知结合同角基本关系即可求解．【解答】解：因为，所以，则．故答案为：【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．35．（2024•杨浦区校级三模）函数的最小正周期是．〖祥解〗把函数化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．【解答】解：函数，它的最小正周期是：．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题．36．（2024•普陀区校级模拟）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将其图象上的所有点向左平移个单位，得到函数的图象关于轴对称，则的值可以为（答案不唯一）．（写出一个符合要求的答案即可）〖祥解〗由正弦型函数的平移与伸缩变换可得变换后的函数为，再利用正弦型函数的对称性求的值即可．【解答】解：将正弦函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到，再将其图象上的所有点向左平移个单位得到函数的图象，又函数的图象关于轴对称，则，，即，，故的值可以为（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查三角函数的图象变化的应用，属于中档题．37．（2024•黄浦区二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段，与分别以，为直径的半圆弧组成）表示一条步道．其中的点，是线段上的动点，点为线段，的中点，点，在以为直径的半圆弧上，且，均为直角．若百米，则此步道的最大长度为百米．〖祥解〗因为步道的长度是两个半圆周长两条线段长，设半圆直径为，求出两条线段的长，即可计算步道的长，再求最大值即可．【解答】解：根据题意知，步道的长度为两个半圆周长两条线段长，设半圆直径为，，连接，因为，所以，所以步道长为，．设，，则，所以，，因为，，所以当时，取得最大值．故答案为：．【点评】本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．38．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为．〖祥解〗令，对应正弦函数的零点问题即可得．【解答】解：令，，，，在上恰有两个零点，故，，即实数的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．39．（2024•嘉定区二模）已知，则函数的最小值为．〖祥解〗，可求的范围，然后结合同角基本关系对已知函数进行化简，然后结合函数的单调性即可求解．【解答】解：因为，令，因为，所以，所以，故，由可得，，则，原函数可化为，因为在，上单调递增，故时，取得最大值，此时取得最小值．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角基本关系，辅助角公式的应用，还考查了函数单调性在函数最值求解中的应用，属于中档题．40．（2024•浦东新区校级模拟）若对于任意自然数，函数在每个闭区间，上均有两个零点，则正实数的最小值是．〖祥解〗作出函数图象，利用余弦函数的性质算出函数与原点距离最近的交点坐标，结合题意算出正实数满足的条件，从而得出答案．【解答】解：作出函数的图象，观察可得：函数在正数范围内的最小零点满足，解得，函数在负数范围内的最大零点满足，解得，因为在每个闭区间，上均有两个零点，所以且，解得，可知正实数的最小值是．故答案为：．【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质、函数的零点及其应用等知识，属于中档题．41．（2024•嘉定区校级模拟）将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则．〖祥解〗结合正弦型函数图象的对称性与割补法，可知阴影部分是一个长为2，宽为的矩形，从而可得，根据求得的值，再代入点，，即可得解．【解答】解：根据正弦型函数图象的对称性可知，阴影部分是一个长为2，宽为的矩形，所以，即，所以，即，所以，，将点，代入的解析中，有，则，，所以，，因为，所以．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的图形与性质，熟练掌握正弦函数的对称性，理解，的几何意义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．42．（2024•长宁区校级三模）若函数的一个零点是，则函数的最大值为2．〖祥解〗由两角和与差的三角函数，结合三角函数的性质求解．【解答】解：函数的一个零点是，则，即，即，则，，则函数的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，重点考查了三角函数的性质，属中档题．43．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数．则函数的值域为，．〖祥解〗首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值域．【解答】解：因为，所以，所以，所以，函数的值域为，．故答案为：，．【点评】本题考查的知识点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．44．（2024•浦东新区校级模拟）已知，若函数的最大值为2，则．〖祥解〗由辅助角公式得函数最大值，进而列方程即可求解．【解答】解：由题意，其中，所以，因为，所以．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．45．（2024•浦东新区校级模拟）记函数在上的最大值为，最小值为，则当时，的最小值为．〖祥解〗求出函数的最小正周期，得到为最小正周期的，数形结合得到当关于的某条对称轴对称时取得最小值，不妨令，得到，，，得到答案．【解答】解：的最小正周期，由于，为最小正周期的，要想取得最小值，则在上不单调，由对称性可知，当关于的某条对称轴对称时，取得最小值，其