2020-2024年五年高考数学真题分类汇编专题04三角函数（解析版）

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题04三角函数考点五年考情（2020-2024）命题趋势考点1三角函数的奇偶性（5年2考）2024天津卷：函数奇偶性的定义与判断判断指数型函数的图象形状识别三角函数的图象(含正、余弦，正切)柜据函数图象选择解析式;2023天津卷：函数奇偶性的定义与判断求含cosx的函数的奇偶性；1.三角函数的奇偶性在高考中主要考查了函数奇偶性的定义，通过定义与三角函数的函数特征判断函数的奇偶性。2.三角函数的周期性与对称性在高考中主要考查周期性与对称性的应用，包括判断函数的周期性与对称性，通过对称性求解含参问题等3.三角函数的平移与伸缩变换在高考中通常用来求解函数的解析式，判断函数的单调性、最值与值域等4.三角恒等变换与解三角形在高考中通常结合在一起进行考察，通过两角和差与二倍角公式求解凑角求值问题，通过正余弦定理求解三角形中的边角问题考点2三角函数的周期性与对称性（5年1考）2023天津卷：求正弦(型)函数的最小正周期求正弦(型)函数的对称轴及对称中心求含cosx的函数的最小正周期求cosx(型)函数的对称轴及对称中心；考点3三角函数的平移与伸缩变换（5年1考）2022天津卷：程求sinx型三角函数的单调性求含sinx(型)函数的值域和最值求正弦(型)函数的最小正周期描述正(余)弦型函数图象的变换过；考点4三角函数的值域与最值（5年2考）2024天津卷：求含sinx(型)函数的值域和最值由正弦(型)函数的周期性求值；2022天津卷：结合三角函数的图象变换求三角函数的性质；考点5三角函恒等变换与解三角形（5年5考）2024天津卷：用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的正弦公式正弦定理解三角形余弦定理解三角形2023天津卷：用和、差角的正弦公式化简、求值正弦定理解三角形余弦定理解三角形2022天津卷：用和、差角的正弦公式化简、求值二倍角的余弦公式正弦定理解三角形余弦定理解三角形2021天津卷：用和、差角的正弦公式化简、求值正弦定理边角互化的应用余弦定理解三角形2020天津卷：正弦定理解三角形余弦定理解三角形考点01三角函数的奇偶性1.（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（

）A．y=ex-x2x【答案】B〖祥解〗根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详析】对A，设fx=ex-x2x2对B，设gx=cos且g-x=cos对C，设hx=ex-x对D，设φx=sinx+4xe|x|，函数定义域为则φ1≠φ-1故选：B.2.（2023·天津·高考真题）已知函数fx的部分图象如下图所示，则f

A．5exC．5ex【答案】D〖祥解〗由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在(0,+∞【详析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(-2)=f(2)<0，由5sin当x>0时5(ex-e-x)故选：D考点02三角函数的周期性与对称性3．（2023·天津·高考真题）已知函数y=fx的图象关于直线x=2对称，且fx的一个周期为4，则A．sinπ2C．sinπ4【答案】B〖祥解〗由题意分别考查函数的最小正周期和函数在x=2处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详析】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中T=2ππ2C选项中T=2ππ4排除选项CD，对于A选项，当x=2时，函数值sinπ2×2对于B选项，当x=2时，函数值cosπ2×2故选：B.考点03三角函数的平移与伸缩变换4．（2022·天津·高考真题）已知f(x)=1①f(x)的最小正周期为2π；②f(x)在[-π③当x∈-π6,π④f(x)的图象可由g(x)=12sin以上四个说法中，正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A〖祥解〗根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．【详析】因为f(x)=12sin2x，所以f(x)的最小正周期为令t=2x∈-π2,π2，而y=12sint在-π2,π2由于g(x)=12sin(2x+π4)=12故选：A．考点04三角函数的值域与最值5．（2024·天津·高考真题）已知函数fx=sin3ωx+π3A．-32 B．-3【答案】A〖祥解〗先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得fx=-sin2x，再整体求出【详析】fx=sin3ωx+即fx=-sin2x，当画出fx由图可知，fx=-sin所以，当x=π6故选：A6.（2020·天津·高考真题）已知函数f(x)=sin①f(x)的最小正周期为2π；②fπ2是③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3其中所有正确结论的序号是（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B〖祥解〗对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详析】因为f(x)=sin(x+π3)f(π2)=将函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.考点05三角恒等变换与解三角形7．（2024·天津·高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知cosB=(1)求a；(2)求sinA(3)求cosB-2A【答案】(1)4(2)7(3)57〖祥解〗（1）a=2t,c=3t，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sinB，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cosA，则得到（3）法一：根据大边对大角确定A为锐角，则得到cosA【详析】（1）设a=2t,c=3t，t>0，则根据余弦定理得b2即25=4t2+9则a=4,c=6.（2）法一：因为B为三角形内角，所以sinB=再根据正弦定理得asinA=bsin法二：由余弦定理得cosA=因为A∈0,π（3）法一：因为cosB=916>0，且由（2）法一知sinB=因为a<b，则A<B，所以cosA=则sin2A=2sincosB-2A法二：sin2A=2则cos2A=2因为B为三角形内角，所以sinB=所以cos8．（2023·天津·高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c．已知a=39(1)求sinB(2)求c的值；(3)求sinB-C【答案】(1)13(2)5(3)-〖祥解〗（1）根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出sinC，再由平方关系求出cos【详析】（1）由正弦定理可得，asinA=bsin（2）由余弦定理可得，a2=b解得：c=5或c=-7（舍去）．（3）由正弦定理可得，asinA=csinC，即所以B,C都为锐角，因此cosC=1-25sinB-C9．（2022·天津·高考真题）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知a=6(1)求c的值；(2)求sinB(3)求sin(2A-B)【答案】(1)c=1(2)sin(3)sin〖祥解〗（1）根据余弦定理a2=b（2）由（1）可求出b=2，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin2A,【详析】（1）因为a2=b2+c2-2bccos（2）由（1）可求出b=2，而0<A<π，所以sinA=1-cos2（3）因为cosA=-14，所以π2<A<π，故0<B<π2，又sinA=故sin(2A-B)=10．（2021·天津·高考真题）在△ABC，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知sinA:sinB:（I）求a的值；（II）求cosC（III）求sin2C-【答案】（I）22；（II）34〖祥解〗（I）由正弦定理可得a:b:c=2:1:2（II）由余弦定理即可计算；（III）利用二倍角公式求出2C的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详析】（I）因为sinA:sinB:∵b=2，∴a=2（II）由余弦定理可得cosC=（III）∵cosC=3∴sin2C=2sin所以sin2C-π611．（2020·天津·高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a=22（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinA（Ⅲ）求sin2A+【答案】（Ⅰ）C=π4；（Ⅱ）sinA=〖祥解〗（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出sinA,cosA,【详析】（Ⅰ）在△ABC中，由a=22cosC=又因为C∈(0,π)，所以C=π（Ⅱ）在△ABC中，由C=π4，a=22,c=13（Ⅲ）由a<c知角A为锐角，由sinA=21313，可得进而sin2A=2所以sin(2A+π4【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.12．（2024·天津河北·二模）函数fx=tanA． B．C． D．【答案】C〖祥解〗根据奇偶性排除AB；根据特殊值的函数值排除D，即可得解.【详析】函数fx的定义域为x因为f-x所以函数fx又因为fπ故选：C.13．（2024·天津北辰·三模）已知函数fxA．fx的最小正周期为B．fx的图象关于点5C．若fx+t是偶函数，则t=πD．fx在区间0,π【答案】D〖祥解〗A项，化简函数求出ω，即可得出周期；B项，计算出函数为0时自变量的取值范围，即可得出函数的对称点，即可得出结论；C项，利用偶函数即可求出t的取值范围；D项，计算出x∈0,π4【详析】由题意，在fxfxA项，ω=4,T=2B项，令4x+π6=k当k=1时,x=5所以fx的图象关于点5C项，f(x+t)=sin∴4t+π6=解得：t=πD项,当x∈0,π4所以sin4x+所以fx在区间0,π4故选：D.14．（2024·天津红桥·二模）已知2π3,0A．函数fx的图象可由y=2cos2xB．函数fx在区间-C．直线x=7π6D．函数fx在区间0,【答案】D〖祥解〗先由正弦函数的对称中心解出φ=2【详析】由已知可得2sin2×2因为0<φ<π，所以φ=所以fx对于A：由y=2cos2x向左平移π6对于B：当x∈-π12设u=2x+23π对于C：f7π6=2sin对于D：当x∈0,5π12时，故选：D.15．（2024·天津河北·二模）已知函数fx=sinωx+φω>0,0<φ<π2的最小正周期为T，若fT=32，x=【答案】π3/13π〖祥解〗首先表示出T，根据fT=32求出【详析】函数fx=sin若fT=sinω×2所以fx因为x=π9时函数fx故ωπ9+因为ω>0，则ω的最小值为32故答案为：π3；316．（2024·天津红桥·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=6，cosB=13(1)求c的值；(2)求b的值；(3)求cos2B+【答案】(1)2(2)4(3)-〖祥解〗（1）利用正弦定理将角化边，即可得解；（2）利用余弦定理计算可得；（3）根据平方关系求出sinB，即可求出sin2B、【详析】（1）因为bsinA=3csinB，由正弦定理可得又a=6，所以c=2；（2）由余弦定理b2即b2所以b=42（3）由cosB=13，B∈所以sin2B=2cos2B=2所以cos=-717．（2024·天津·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=4，a=3c，cosA=-(1)求sinC(2)求c的值；(3)求sin(2A+C)【答案】(1)6(2)3(3)-〖祥解〗（1）利用同角三角函数基本关系可求sinA，进而利用正弦定理以及a=3c求得sin（2）由题意利用余弦定理可得3c2-（3）利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，利用同角三角函数基本关系可求【详析】（1）因为A∈(0,π)，所以sinA=所以由正弦定理可得：asinA=c（2）因为b=4，a=3c，cosA=化简可得：3c2-（3）因为sin2A=2sinA因为c<a，C为锐角，可得cosC=所以sin18．（2024·天津·二模）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且cosB(1)求角B的大小；(2)若b=7,a+c=8,a<c，①求a,c的值：②求sin2A+C【答案】(1)B=(2)①a=3c=5；②〖祥解〗（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得cosB=-（2）①结合余弦定理可得ac=15，结合a+c=8,a<c即可求解；②由正弦定理以及平方关系依次求得sinA,cosA，将sin【详析】（1）因为cosBcosB即2cos因为sinB+C=sinA≠0，所以又B∈0,π，可得（2）①由余弦定理及已知可得：cos即(a+c)2-ac=49，又因为a+c=8，所以联立a+c=8ac=15⇒a=3②由正弦定理可知：sinA=因为a<c，则A<C，故A为锐角，cosA=sin2A+C19．（2024·天津·二模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，(1)求c的值；(2)求sinB(3)求sin(2B-C)【答案】(1)5(2)2(3)7〖祥解〗（1）利用三角形面积公式S=12ab（2）根据正弦定理bsin（3）先用二倍角公式求出sin2B,【详析】（1）∵S∴sinC=2∴C=πc2∴c=5（2）由三角形正弦定理得：bsinB=∴sin（3）又∵B∈0,π2∴sincos2B=又∵C=π∴sin专题04三角函数考点五年考情（2020-2024）命题趋势考点1三角函数的奇偶性（5年2考）2024天津卷：函数奇偶性的定义与判断判断指数型函数的图象形状识别三角函数的图象(含正、余弦，正切)柜据函数图象选择解析式;2023天津卷：函数奇偶性的定义与判断求含cosx的函数的奇偶性；1.三角函数的奇偶性在高考中主要考查了函数奇偶性的定义，通过定义与三角函数的函数特征判断函数的奇偶性。2.三角函数的周期性与对称性在高考中主要考查周期性与对称性的应用，包括判断函数的周期性与对称性，通过对称性求解含参问题等3.三角函数的平移与伸缩变换在高考中通常用来求解函数的解析式，判断函数的单调性、最值与值域等4.三角恒等变换与解三角形在高考中通常结合在一起进行考察，通过两角和差与二倍角公式求解凑角求值问题，通过正余弦定理求解三角形中的边角问题考点2三角函数的周期性与对称性（5年1考）2023天津卷：求正弦(型)函数的最小正周期求正弦(型)函数的对称轴及对称中心求含cosx的函数的最小正周期求cosx(型)函数的对称轴及对称中心；考点3三角函数的平移与伸缩变换（5年1考）2022天津卷：程求sinx型三角函数的单调性求含sinx(型)函数的值域和最值求正弦(型)函数的最小正周期描述正(余)弦型函数图象的变换过；考点4三角函数的值域与最值（5年2考）2024天津卷：求含sinx(型)函数的值域和最值由正弦(型)函数的周期性求值；2022天津卷：结合三角函数的图象变换求三角函数的性质；考点5三角函恒等变换与解三角形（5年5考）2024天津卷：用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的正弦公式正弦定理解三角形余弦定理解三角形2023天津卷：用和、差角的正弦公式化简、求值正弦定理解三角形余弦定理解三角形2022天津卷：用和、差角的正弦公式化简、求值二倍角的余弦公式正弦定理解三角形余弦定理解三角形2021天津卷：用和、差角的正弦公式化简、求值正弦定理边角互化的应用余弦定理解三角形2020天津卷：正弦定理解三角形余弦定理解三角形考点01三角函数的奇偶性1.（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（

）A．y=ex-x2x【答案】B〖祥解〗根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详析】对A，设fx=ex-x2x2对B，设gx=cos且g-x=cos对C，设hx=ex-x对D，设φx=sinx+4xe|x|，函数定义域为则φ1≠φ-1故选：B.2.（2023·天津·高考真题）已知函数fx的部分图象如下图所示，则f

A．5exC．5ex【答案】D〖祥解〗由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在(0,+∞【详析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(-2)=f(2)<0，由5sin当x>0时5(ex-e-x)故选：D考点02三角函数的周期性与对称性3．（2023·天津·高考真题）已知函数y=fx的图象关于直线x=2对称，且fx的一个周期为4，则A．sinπ2C．sinπ4【答案】B〖祥解〗由题意分别考查函数的最小正周期和函数在x=2处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详析】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中T=2ππ2C选项中T=2ππ4排除选项CD，对于A选项，当x=2时，函数值sinπ2×2对于B选项，当x=2时，函数值cosπ2×2故选：B.考点03三角函数的平移与伸缩变换4．（2022·天津·高考真题）已知f(x)=1①f(x)的最小正周期为2π；②f(x)在[-π③当x∈-π6,π④f(x)的图象可由g(x)=12sin以上四个说法中，正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A〖祥解〗根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．【详析】因为f(x)=12sin2x，所以f(x)的最小正周期为令t=2x∈-π2,π2，而y=12sint在-π2,π2由于g(x)=12sin(2x+π4)=12故选：A．考点04三角函数的值域与最值5．（2024·天津·高考真题）已知函数fx=sin3ωx+π3A．-32 B．-3【答案】A〖祥解〗先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得fx=-sin2x，再整体求出【详析】fx=sin3ωx+即fx=-sin2x，当画出fx由图可知，fx=-sin所以，当x=π6故选：A6.（2020·天津·高考真题）已知函数f(x)=sin①f(x)的最小正周期为2π；②fπ2是③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3其中所有正确结论的序号是（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B〖祥解〗对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详析】因为f(x)=sin(x+π3)f(π2)=将函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.考点05三角恒等变换与解三角形7．（2024·天津·高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知cosB=(1)求a；(2)求sinA(3)求cosB-2A【答案】(1)4(2)7(3)57〖祥解〗（1）a=2t,c=3t，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sinB，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cosA，则得到（3）法一：根据大边对大角确定A为锐角，则得到cosA【详析】（1）设a=2t,c=3t，t>0，则根据余弦定理得b2即25=4t2+9则a=4,c=6.（2）法一：因为B为三角形内角，所以sinB=再根据正弦定理得asinA=bsin法二：由余弦定理得cosA=因为A∈0,π（3）法一：因为cosB=916>0，且由（2）法一知sinB=因为a<b，则A<B，所以cosA=则sin2A=2sincosB-2A法二：sin2A=2则cos2A=2因为B为三角形内角，所以sinB=所以cos8．（2023·天津·高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c．已知a=39(1)求sinB(2)求c的值；(3)求sinB-C【答案】(1)13(2)5(3)-〖祥解〗（1）根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出sinC，再由平方关系求出cos【详析】（1）由正弦定理可得，asinA=bsin（2）由余弦定理可得，a2=b解得：c=5或c=-7（舍去）．（3）由正弦定理可得，asinA=csinC，即所以B,C都为锐角，因此cosC=1-25sinB-C9．（2022·天津·高考真题）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知a=6(1)求c的值；(2)求sinB(3)求sin(2A-B)【答案】(1)c=1(2)sin(3)sin〖祥解〗（1）根据余弦定理a2=b（2）由（1）可求出b=2，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin2A,【详析】（1）因为a2=b2+c2-2bccos（2）由（1）可求出b=2，而0<A<π，所以sinA=1-cos2（3）因为cosA=-14，所以π2<A<π，故0<B<π2，又sinA=故sin(2A-B)=10．（2021·天津·高考真题）在△ABC，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知sinA:sinB:（I）求a的值；（II）求cosC（III）求sin2C-【答案】（I）22；（II）34〖祥解〗（I）由正弦定理可得a:b:c=2:1:2（II）由余弦定理即可计算；（III）利用二倍角公式求出2C的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详析】（I）因为sinA:sinB:∵b=2，∴a=2（II）由余弦定理可得cosC=（III）∵cosC=3∴sin2C=2sin所以sin2C-π611．（2020·天津·高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a=22（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinA（Ⅲ）求sin2A+【答案】（Ⅰ）C=π4；（Ⅱ）sinA=〖祥解〗（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出sinA,cosA,【详析】（Ⅰ）在△ABC中，由a=22cosC=又因为C∈(0,π)，所以C=π（Ⅱ）在△ABC中，由C=π4，a=22,c=13（Ⅲ）由a<c知角A为锐角，由sinA=21313，可得进而sin2A=2所以sin(2A+π4【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.12．（2024·天津河北·二模）函数fx=tanA． B．C． D．【答案】C〖祥解〗根据奇偶性排除AB；根据特殊值的函数值排除D，即可得解.【详析】函数fx的定义域为x因为f-x所以函数fx又因为fπ故选：C.13．（2024·天津北辰·三模）已知函数fxA．fx的最小正周期为B．fx的图象关于点5C．若fx+t是偶函数，则t=πD．fx在区间0,π【答案】D〖祥解〗A项，化简函数求出ω，即可得出周期；B项，计算出函数为0时自变量的取值范围，即可得出函数的对称点，即可得出结论；C项，利用偶函数即可求出t的取值范围；D项，计算出x∈0,π4【详析】由题意，在fxfxA项，ω=4,T=2B项，令4x+π6=k当k=1时,x=5所以fx的图象关于点5C项，f(x+t)=sin∴4t+π6=解得：t=πD项,当x∈0,π4所以sin4x+所以fx在区间0,π4故选：D.14．（2024·天津红桥·二模）已知2π3,0A．函数fx的图象可由y=2cos2xB．函数fx在区间-C．直线x=7π6D．函数fx在区间0,【答案】D〖祥解〗先由正弦函数的对称中心解出φ=2【详析】由已知可得2sin2×2因为0<φ<π，所以φ=所以fx对于A：由y=2cos2x向左平移π6对于B：当x∈-π12设u=2x+23π对于C：f7π6=2sin对于D：当x∈0,5π12时，故选：D.15．（2024·天津河北·二模）已知函数fx=sinωx+φω>0,0<φ<π2的最小正周期为T，若fT=32，x=【答案】π3/13π〖祥解〗首先表示出T，根据fT=32求出【详析】函数fx=sin若fT=sinω×2所以fx因为x=π9时函数fx故ωπ9+因为ω>0，则ω的最小值为32故答案为：π3；316．（2024·天津红桥·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边