高等数学（经济类-上册第2版）课件：函数的导数-2

导数、微分1函数的导数（2）三、高阶导数四、隐函数的导数五、参数方程所确定的函数的导数2一、初等函数的导数六、小结导函数的导数二、分段函数的导数三、高阶导数3定义1导函数的导数速度即加速度即引例变速直线运动的运动方程则若函数的导数在点可导,即的二阶导数,记作在则称在点二阶可导，且称在的导数为34若函数在区间内每一点都二阶可导，则称它在内二阶可导，并称为在内的二阶导函数，或简称二阶导数.类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为

阶导数,或依次类推,分别记作二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数，相对于高阶导数来说，也称为一阶导数.5例1已知，求.解:归纳总结，可得特别地，当时例2求和的阶导数.解:归纳总结，类似可证:6例3求的阶导数.解:归纳总结，例4求（为任意实数）的阶导数.解:归纳总结，特别地，当时，而7都有

阶导数,则(为常数)莱布尼茨(Leibniz)公式及设函数规律高阶导数的运算法则8用数学归纳法可证规律其中返回9例5已知，求.解:设则代入莱布尼茨公式,得10四、隐函数的导数定义隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边关于求导.由方程所确定的函数称为隐函数.若方程确定了隐函数函数，则例6求方程所确定的隐函数的导数.解:方程两边同时对求导，整理得，于是有例7求方程所确定的隐函数解:方程两边同时对求导，于是有在点的导数.12由方程知，当时，因此，*本题中的隐函数可以显化，对显化后得函数求导，再代入可以得到相同结果.例8求过双曲线上的点的切线方程.解:于是有方程两边同时对求导，13在点处的切线斜率因此，从而，切线方程为即总结隐函数求导的步骤1方程两边对求导，注意作为的可导函数进行处理；2含的项合并到等式的一边；3提出因子；4解出.14解:将方程两边取对数，得上式两边同时对求导，例9求的导数.于是，先在方程两边取对数,对数求导法再利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围幂指函数求导表达式中含有连乘连除的函数求导15解:将方程两边取对数，得例10求的导数.上式两边同时对求导，于是，16五、参数方程所确定的函数的导数研究物体运动轨迹时常用到参数方程，例如表示上半椭圆.显然，与存在函数关系，且与是一一对应的，从而，与也呈函数关系.定义参数方程所确定的函数是指，自变量与因变量的函数关系是通过第三个变量间接给出，由方程组所确定的函数变量称作参变量.问题:参数方程所确定的函数不易消参或不能消参，如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得在方程组中，设函数具有单调连续的反函数，再设函数，都可导，且则即解:例11求参数方程所确定的函数的导数.注在参数方程所确定的函数求导过程中，既有对参变量的导数又有对自变量的导数，为体现对哪个变量求导，求导符号用“”而不是“’”例12已知椭圆的参数方程为求它在相应点处的切线方程.解:椭圆上，对应于的点的坐标为曲线在点的切线斜率为则切线方程为即如果参数方程所确定的函数是二阶可导函数，那么可以对导函数继续求导，具体地注意到，参数方程所确定的函数的导数仍由参变量表示，例13求摆线的参变量函数的二阶导数.解:21例13求摆线的参变量函数的二阶导数.解:22六、小结1.高阶导数逐阶求导，归纳总结莱布尼茨公式2.隐函数的导数隐函数求导四步骤3.参数方程确定的函数的导数高阶导数运算法则对数求导法本质是复合函数求导法则和反函数求导法则