高等数学（经济类-上册第2版）课件：反常积分与τ函数

定积分反常积分与函数一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分（瑕积分）三、函数四、小结一、无穷限的反常积分定义1(1)设函数

f(x)在区间上连续，任取b>a，存在，则称此极限值为函数f(x)在区间上的反常积分，记作即若极限此时也称反常积分收敛，如果极限则称反常积分发散.不存在，(2)设函数

f(x)在区间上连续，若极限类似地，可定义存在，则称此极限值为函数f(x)在区间上的反常积分，即记作此时也称反常积分收敛，如果极限则称反常积分发散.不存在，(3)设函数f(x)在区间上连续，若极限同时收敛，则称反常积分收敛.即上述2个反常积分之和为函数f(x)在区间上的反常积分，否则称反常积分发散.上述定义的反常积分统称为无穷限的反常积分.设函数

F(x)为f(x)在区间上的原函数，如果记当不存在时，反常积分发散.其他情形类似.无穷限的广义积分的计算则当存在时，此时，反常积分收敛.例1计算反常积分解：下方，几何意义:表示位于函数x轴上方图形的面积.能应用对称区间上奇偶函数的定积分的结论吗？例2判断反常积分的敛散性，若收敛求其值.解：的原函数为由于不存在，故反常积分发散.例3计算反常积分解：例4计算反常积分解：解：例5证明反常积分当p>1时收敛，当时发散.当p=1时,当

时,收敛发散发散所以，反常积分当p>1时收敛，当时发散.二、无界函数的反常积分（瑕积分）如果函数f(x)在点a的任意邻域内都无界，则a称为f(x)的瑕点.例如点x=2是函数的瑕点；点x=0是函数的瑕点.定义2(1)设函数f(x)在区间(a,b]上连续，a为其瑕点.若对任意t:a<t<b，极限存在，则称此极限值为函数f(x)

在区间(a,b]上的反常积分，又称为瑕积分，记作即此时，称瑕积分收敛，如果极限不存在，就称瑕积分发散.类似地，可定义

(2)设函数f(x)在区间[a,b)上连续，b为其瑕点.若对任意t:a<t<b，极限存在，则称此极限值为函数f(x)

在区间[a,b)上的反常积分，记作即此时，称瑕积分收敛，如果极限不存在，则称瑕积分发散.

(3)设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a<c<b)外皆连续，c为其瑕点，则瑕积分定义为它当且仅当右边两个瑕积分都收敛时才收敛，并且其值为两个瑕积分值的和.若右端两个瑕积分有一个发散，则瑕积分发散.设函数

F(x)为f(x)在区间上的原函数，a为f(x)的瑕点，其中类似地，b为瑕点时，有无界函数的广义积分的计算记例6计算瑕积分解：由于知x=1是瑕点，于是几何意义:表示位于曲线上方，直线x=0,x=1之间图形面积为下方，x轴有限值例7讨论瑕积分的敛散性.解：显然x=0是函数的瑕点，由于所以瑕积分发散，从而有瑕积分发散.注：如果我们疏忽了瑕点x=0，就会犯这样的错误：需要注意的是积分是瑕积分，不是定积分.若瑕点在区间内部，就把区间分成2段，分别讨论这两个区间上的瑕积分，只要有一个发散，原瑕积分就发散.例8证明反常积分当q<1时收敛，当时发散.解：当q=1时,发散当

时,收敛发散故，反常积分当q<1时收敛，当时发散.三、函数定义3含参变量s(s>0)的无穷限反常积分称为函数.

函数是收敛的，具有下列性质：(1)(2)

特别地，当s=n为正整数时，有(3)(4)证明：(1)(2)由定积分的分部积分公式，有

特别地，当s=n为正整数时，有证明：(3)因为所以(4)在中，令则再令得这里利用了