高等数学（经济类-上册第2版）课件：定积分的应用

定积分的应用定积分的元素法一、元素法二、小结

比如求曲边梯形面积A时，将区间分成n个小区间，对应得到n个小曲边梯形，在每个小区间上作近似，然后再对这个近似值求和取极限，便得到定积分，

在研究曲边梯形的面积计算、变速直线运动的路程和价格变化时的收益问题时，我们都采用：分割、近似、求和、取极限的方法解决.回顾：

它就是曲边梯形的面积.一、元素法

可以看出，实际问题中所求量(面积A)与区间[a,b]有关.当把区间[a,b]分成若干小区间后，在[a,b]上的所求量(面积A)等于各个子区间上所对应的部分量

之和.此时，称所求量(面积A)对区间[a,b]具有可加性.近似代替部分量四步中关键的一步是“近似”：在每一个小区间上用常量代替变量，以对它求和再取极限，即得到一个定积分.在实际应用中，为了讨论简便，对上述步骤简化.省略下标i,任一小区间[x,x+dx]上小曲边梯形的面积记为则取小区间[x,x+dx]中左端点x处函数值f(x)为高，以dx为底的的矩形的面积f(x)dx作为的近似值，记为dA，即称为面积元素（微元），于是因此这种方法称为元素法(微元法).把A在[x,x+dx]上相应的dA称为A的元素或微元.利用元素法将所求量Q表示为定积分，具体的步骤如下：(1)确定所求量Q可看作是哪个变量的函数，如记为x,确定x的取值区间[a,b]，即为定积分的积分区间；(3)以所求量Q的元素dQ作为被积表达式，在区间[a,b]上作定积分，即为所求量Q的定积分表达式.(2)在区间[a,b]上任取一点x，在区间上求出相应于这个区间的部分量

的近似值，作为所求量Q的元素，记为得到二、小结理解元素法的提出、思想、步骤和本质.定积分的应用定积分的几何应用一、平面图形的面积二、平行截面面积已知的立体的体积三、旋转体的体积四、小结一、平面图形的面积若f(x)是区间[a,b]上连续的非负函数，则曲线f(x)，x=a,x=b及x轴所围图形的面积为1、直角坐标情形若连续函数f(x)在区间[a,b]上有正有负，则所围面积为若f(x)和g(x)是区间[a,b]上连续函数，且曲线f(x),

g(x)x=a,x=b及x轴所围图形的面积可由元素法计算.则

任取小区间[x,x+dx]，小区间所对应的长条面积近似等于高为f(x)-g(x)，宽为dx的小矩形的面积，即为面积元素选取x为变量，变化区间为[a,b].把面积表示为定积分可写为

在实际计算中，如果不能准确判定出f(x)和g(x)的大小，面积可表示为特点：上减下.若选择y为积分变量，计算方法与公式与上述类似.设平面区域是由连续曲线

所围.x=c,x=d及y轴则其面积元素为小矩形的面积，即把面积表示为定积分为特点：右减左.例1求由抛物线所围成平面图形的面积.解：先求两条抛物线的交点，解方程组得交点：选取x为积分变量，变化区间为[-1,1],面积元素为则所围图形面积为例2求由直线抛物线所围图形的面积.解：直线和抛物线的交点为选取y为积分变量，变化区间为[-2,1],面积元素为则所围图形面积为例2求由直线抛物线所围图形的面积.解：若选取x为积分变量，变化区间为[-1,3],需要用直线x=0将图形分成两部分.在区间[-1,0]和[0,3]上的面积元素分别为则所围图形面积为在计算中要选择合适的变量，避免复杂！例3求摆线的一摆与轴所围图形的面积.解：由面积计算公式，显然有所围图形的面积为应用定积分的换元法，令则并且当x=0时，当x=时，所以2、极坐标系下面积的计算极坐标系下的连续曲线与两条射线所围成的图形称为曲边扇形，求曲边扇形的面积.取极角为积分变量，变化区间为任取小区间极角为的小曲边扇形的面积近似等于半径为中心角为的扇形的面积，从而得曲边扇形的面积元素为曲边扇形的面积表示为定积分为例4计算心形线所围图形的面积.解：图形关于极轴对称,我们只需在

上考虑.的变化区间为任取一小区间面积元素为从而面积为二、平行截面面积已知的立体的体积

设有一立体过点x=a,x=b且垂直于x轴的两个平面之间，A(x)为区间[a,b]上任意一点x所做的垂直于x轴的平面截立体所得截面的面积，求该立体的体积.选取x为变量，变化区间为[a,b],任取小区间对应小薄片的体积近似等于底面积为A(x)，高为dx的小圆柱体的体积，即体积元素为因此立体体积为例5一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交

成角

，计算这平面截圆柱体所得的体积.解：建立坐标系如图所示.底圆方程为选取x为变量，变化区间为[-R,R],任取小区间[x,x+dx]，过x点处做x轴的垂面，与立体的截面为直角三角形.直角三角形两直角边的长分别为y和因而截面面积为立体体积则为三、旋转体的体积

旋转体是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．

常见的圆锥体、圆台、圆柱体、球、椭球等都可以看成是由平面图形绕直线旋转而得.

设有一旋转体是由曲线直线x=a,x=b

及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周而成，求旋转体的体积.选取x为变量，变化区间为[a,b],任取小区间[x,x+dx]，过x点作垂直于x轴的平面截旋转体，截面是一个以x为中心，x点处函数值f(x)(f(x)>0)为半径的一个圆，截面面积为体积元素为旋转体的体积为若有一旋转体是由曲线绕y轴旋转一周而成，求旋转体的体积.选取y为变量，变化区间为[c,d],与绕x轴时类似，旋转体体积为与前面类似，我们也可以得到下面两种情况下旋转体的体积.y=f(x)和y=g(x)及x=a,x=b绕x轴旋转而成的旋转体的体积

x=a,x=b绕y轴旋转而成的旋转体的体积及x轴所围的三角形绕x轴旋转一周例6求直线构成的圆锥体的体积.解：选取x为变量，变化区间为[0,h],任取小区间[x,x+dx]，对应的小薄片的体积近似等于小圆柱体的体积，体积元素为则圆锥体体积为例7求由曲线直线所围图形绕(1)x轴；(2)y轴旋转一周而成的旋转体的体积.解：(1)直接利用体积公式，有例7求由曲线直线所围图形绕(1)x轴；(2)y轴旋转一周而成的旋转体的体积.解：利用旋转体体积计算公式，有(2)将曲线分成两段:当当例7求由曲线直线所围图形绕(1)x轴；(2)y轴旋转一周而成的旋转体的体积.解：利用旋转体体积计算公式，有当当其中故有(2)将曲线分成两段:例8计算由椭圆所围成图形绕(1)x轴；(2)y轴旋转一周而成的旋转体的体积.解：(1)上半椭圆方程为由旋转体的体积公式，有例8计算由椭圆所围成图形绕(1)x轴；(2)y轴旋转一周而成的旋转体的体积.解：(2)右半椭圆方程为由旋转体的体积公式，有例9设直线与直线x=0,x=1及y=0所围梯形面积等于S，试求a,b使得此梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解：由面积计算公式有

故有

得由旋转体计算公式有令得a=0,则b=S.又点，故当a=0,则b=S时，旋转体体积V取最小值.因此a=0为极小值例10证明：由平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为证明：将旋转体分成很多很薄的柱壳，利用定积分将这些柱壳累加起来，即可得到旋转体的体积.选x为变量，变化区间[a,b]任取小区间[x,x+dx]，对应的窄曲边梯形绕y轴旋转所得的旋转体为一层柱壳，体积为即为体积元素故有旋转体体积公式，有忽略了高阶无穷小.注：(1)平面图形是绕y轴旋转，但体积公式是以x为积分变量，这样做有时会给计算带来极大的便利；(2)在计算中，将旋转体的体积看成是柱壳体积的累加，体积元素为任一层柱壳的体积，此方法称为柱壳法.若利用柱壳法计算很方便：如例7中求由曲线直线所围图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积.四、小结1.平面图形的面积2.平行截面面积已知的立体的体积3.旋转体的体积定积分的应用定积分的经济应用一、由边际函数求经济函数二、资金流的现值和将来值问题三、小结一、由边际函数求经济函数以上经济函数可由边际函数的积分表示，有成本函数C(Q)收益函数R(Q)利润函数函数L(Q)=R(Q)-C(Q)边际成本函数边际收益函数边际利润函数Q为产量或销量.收益函数:利润函数:成本函数:为固定成本例1设生产某产品的固定成本为200，当产量为Q时的边际成本为求总成本函数.解：总成本函数为例2已知边际收益为求收益函数R(x).解：例3已知某商品的固定成本为10，边际成本函数和边际收益函数本别为试确定销量为多少时利润最大，最大利润是多少？解：利用定积分计算可得利润函数为例3已知某商品的固定成本为10，边际成本函数和边际收益函数本别为试确定销量为多少时利润最大，最大利润是多少？解：所以当Q=10时取得最大利润，最大利润为令即得当时，利润函数取极大值，而二、资金流的现值和将来值问题资金流：就是资金的流进流出不断地发生，是关于时间t的函数.现值：是指资金的现在价值，即将来某一时点的一定资金折合成现在的价值。将来值：是指资金未来的价值，即一定量的资金在将来某一时点的价值，表现为本利和.资金流的现值和将来值等概念，都是经济学中重要的内容.在前面，我们已经学习了复利和连续复利.若以连续复利r计息，单笔P元人民币从现在起存入银行，t年末的价值(将来值)为反过来，若t年末得到B元人民币，则现在需要存入银行的金额(现值)为在实际中，资金流是变化的.我们将资金流看作是连续的.假设在t时刻资金流的变化率为f(t).显然，资金流不能直接用变化率乘以时间.解决思路：利用分割、近似、求和、取极限(元素法)，任取小时间区间，把小区间里的资金流变化率近似看成定值.资金流近似等于f(t)dt，这一金额是从现在(t=0)到t年后所得，在时间段[0,T]上，任取一小区间[t,t+dt]，在此小区间上的当利率为r时，资金流的现值为所以在时间段[0,T]上，资金流总和的现值为