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可降阶的二阶微分方程

.9.5.1型微分方程

9.5.2型微分方程9.5.3型微分方程

9.5.1型微分方程

形如微分方程

的特点是方程右端仅含有自变量x．即两端连续积分两次，便得到方程的通解.两端积分一次方程解法：方程可以看成的一阶微分方程两端再积分一次注：这种逐次积分的方法，也可以求解更高阶的微分方程，两端同时积分n次，即可得方程的通解.例9.5.1求方程的通解.解：对所给微分方程连续积分两次,得上式即为所求通解.例9.5.2求方程的通解及满足条件的特解.解：对所给微分方程连续积分三次得:将代入后可得出于是所求特解为

9.5.2型微分方程

形如微分方程方程特点是方程右端不显含y，是自变量x和未知函数的函数．将原方程化为关于p的一阶方程

，求出该方程通解为根据关系式，得到一个一阶微分方程对它积分一次即可得出原方程的通解：方程解法：令，则例9.5.3求方程的通解.解：令，则.原方程化为一阶方程分离变量得两边积分得:再积分一次即得原方程的通解为注:在解题过程中曾以作为除数，而由得到的解（任意常数）已包含在通解中（）.例9.5.4求解微分方程的初值问题.

解：将可得出于是所求初值问题的解为令代入方程并分离变量后有两端积分得即两端再积分得方程的通解：

9.5.3型微分方程

形如微分方程方程特点是方程右端不显含x，是未知函数y和未知函数的函数．这样就将原方程化为关于的一阶方程求出该方程的通解为这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解方程解法：把暂时看作自变量，并作变换，于是，由复合函数的求导法则有，则例9.5.5求方程的通解.解：令，则.原方程化为分离变量得.两边积分得：再由，解得．

在分离变量时以除方程两边．若，或，得，它显然是原方程的解，已包含在通解中（如果能取）.还要说明一点的是，上面用到的常数能取中的任何值，所以是任意常数．综上所述，所求的通解为(为任意常数）.例9.5.6求解微分方程满足初始条件的特解.

解：令，则代入方程并化简得上式为可分离变量的一阶微分方程，解得再分离变量,得由初始条件得出从而得再两边积分,得或由得出从而所求特解为*例9.5.7求方程的通解.

解：令，则代入方程并化简得即或若，即，方程的通解为．对于，变形为这是一个非齐次线性微分

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