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文档简介

定积分定积分的基本积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法三、小结一、定积分的换元法满足定理1设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函（1）（2）函数在以为端点的区间上有连续的导数，且其值域为[a,b].则有定积分的换元公式证明：由题意知f(x)和都可积，且原函数都存在，设是的一个原函数，由牛-莱公式，有由于故是的一个原函数，由牛-莱公式，有故有注：（1）用换元法计算定积分时，应注意同时改变积分限，

即：换元要换限，不换元则不换限.积分限要对应；（2）当找到新变量的原函数后不必代回原变量，直接

用牛顿-莱布尼兹公式即可；（3）求定积分时，代换的选取原则与用换元法求相应的不定积分的方法完全相同；（4）定积分的换元法也可以反过来使用，即例1计算定积分解：令则当x=0时，t=0；当x=2时，于是还能用什么方法计算？例2计算定积分解：令则当x=0时，t=0；当时，t=1，于是也可以不写换元过程，直接积分，有可以直接凑微分牢记：换元则必换限，不换元则不换限！例3计算定积分解：令则当x=1时，t=0；当时，于是定积分的根式

换元法.例4设函数解：令则当x=0时，

t=1;当x=2时，t=1；求定积分分段函数求定积分，要先换元，再利用区间可加性计算.于是例5计算定积分解：由于故有例6(奇偶函数的积分)设函数f(x)在区间[-a,a]上连续，证明证明：(2)

当f(x)为区间[-a,a]上的奇函数时，(1)

当f(x)为区间[-a,a]上的偶函数时，由区间可加性，有对于右端第一个积分，令x=-t,则dx=-dt，x=-a时，t=a;x=0时，t=0,由此得于是有例6(奇偶函数的积分)设函数f(x)在区间[-a,a]上连续，证明证明：(2)

当f(x)为区间[-a,a]上的奇函数时，(1)

当f(x)为区间[-a,a]上的偶函数时，(1)

当f(x)为偶函数时，则有(2)

当f(x)为偶函数时，则有注：例7计算定积分(1)奇函数在对称区间上的积分等于0；解：故由例6的结论有函数在对称区间[-1,1]上是连续的奇函数，(2)偶函数在对称区间上的积分等于在y轴一侧区域

上积分的2倍.例8若函数f(x)在区间[0,1]上连续，证明并由此计算证明：令则当x=0时，t=;当x=时，t=0；于是有故移项整理得利用这一结论，我们来计算显然故有上式可作为公式使用，例如可直接写出二、定积分的分部积分法定理2

设函数，在上有连续的导函数，则有证明：因为故是在区间[a,b]上的一个原函数，由牛-莱公式，得移项，即得可简记为定积分的分部积分

公式.例9计算定积分解：由分部积分公式，得例10计算定积分解：令则当x=0时，t=0；当x=1时，t=1.于是证明：例11证明其中n为正整数.并求令则当x=0时，当时，t=0故例11证明其中n为正整数.并求证明：移项并整理可得递推公式：易得当n为正奇数时，当n为正偶数时，综上，我们有

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