高等数学（第三版）课件：正项级数及其收敛性

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正项级数及其敛散性一、正项级数及其收敛的充要条件二、正项级数收敛的比较判别法三、正项级数收敛的比值判别法

一、正项级数及其审敛法定义

设级数的每一项都是非负数,则称此级数是

显然,正项级数的部分和{sn}数列是单调增加的，即正项级数.定理1

正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{sn}有界.证明:这是一个正项级数，其部分和为:故{sn}有界，所以原级数收敛.定理2(比较审敛法)设和都是正项级数，且若级数收敛，则级数收敛；反之，若级数发散，则级数也发散.

二、正项级数收敛的比较判别法则有：若发散，则也发散;且当时，有成立，则有：若收敛，则也收敛.推论设级数和是两个正项级数，且存在自然数N，使当时，有（k>0)成立，例2

判定p-级数的敛散性.常数p>0.由此可得结论，p级数当时发散，p>1时收敛.由比较判别法可知，所给级数也发散.而级数是发散的；定理４(达朗贝尔比值判别法)设为正项级数，如果(1)当时，级数收敛；(3)当时，级数可能收敛，可能发散.(2)当()时，级数发散.

三、正项级数收敛的比值判别法例7

判别级数解:由比

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