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文档简介

微分一、微分的概念二、微分的几何意义三、微分的运算法则四、微分在近似计算中的应用

例1

设有一个边长为的正方形金属片，受热后它的边长伸长了，问其面积增加了多少？

正方形金属片的面积与边长的函数关系为由图可以看出，解一、微分的概念

受热后，当边长由伸长到时，面积相应的增量为从上式可以看出,可分成两部分:（1）（2)

（2）——是时，与高阶的无穷小；

的线性函数

,是时，与同阶的无穷小；(1)——

这表明，当很小时，(2)的绝对值要比(1)的绝对值小得多，可以忽略不计，即可用（2)作为的近似值：

定义1

设函数在点的某邻域内有定义，如果函数在点处的增量可以表示为，其中是与无关的常数，是当时比高阶的无穷小，则称函数在点处可微，称为在点处的微分，记作或于是由此引进函数微分的概念：

导数——一种比值的极限，即函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限.

微分——函数增量的近似值，即自变量取得微小增量时函数值增量的近似值.

那么，导数与微分之间存在什么样的联系呢？可以证明，函数在点处可微

函数在点处可导；并且有于是

自变量的微分：通常把自变量的增量记为，称为自变量的微分.于是

可微函数：如果函数在区间内每一点都可微，则称该函数在内可微，或称函数是在内的可微函数．此时，

函数在内任意一点处的微分记为，即由此有，

因此，通常把函数的导数与微分的运算统称为微分法．在高等数学中，把研究导数和微分的有关内容称为微分学．

因此，微分与导数紧密相关，求出了导数立即可得微分，求出了微分亦可得导数，

例2

求函数当，时的微分

解函数在任意点的微分

于是

例3

半径为的圆的面积为当半径增大时，求圆面积的增量与微分．面积的微分为面积的增量解

当自变量有增量时，切线的纵坐标相应地有增量二、微分的几何意义

过曲线上一点作切线，设的倾角为，则

当有增量时，曲线在对应点处的切线的纵坐标的增量．因此，微分几何上表示:

用近似代替,就是用曲线在点处的切线纵坐标的增量近似代替曲线的纵坐标的增量.三、微分的运算法则1．基本初等函数的微分公式2．函数的和、差、积、商的微分运算法则设函数，均可微，则（为常数）3．复合函数的微分法则

而于是

设函数都是可导函数，则复合函数的微分为

设，求与

例4解

求由方程所确定的隐函数的导数与微分

.例5对方程两边求导数，得

解导数为微分为四、微分在近似计算中的应用

这些公式都可用来求函数的近似值.

由微分的定义可知，当很小时,

(1)或(2)若则(3)当时，有(4)

应用可以推得一

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