高等数学（第二版）上册课件：函数

函数与极限

§1.5极限存在准则与两个重要极限§1.6无穷小的比较§1.7函数的连续与间断§1.1函数§1.2数列的极限§1.3函数的极限

§1.4极限的运算法则

函数

1.1.1函数的概念1.1.2函数的几种属性1.1.3反函数与复合函数1.1.4初等函数1.1.5建立函数关系式举例1.1.1函数的概念有限区间有如下几种情形：1.区间

开区间闭区间区间分有限区间和无限区间半开半闭区间以上均为有限区间，无限区间有以下几种情形：其中表示的就是全体实数集R，

注意分别读作负无穷大、正无穷大，它们不是数，仅仅是记号.

记作即：这个邻域的中心，δ叫做这一邻域的半径.，记作点的去心的邻域2.邻域设是一个给定的实数，δ是某一正数，称数集：

称为点的邻域，点叫做记作：

以点为中心的任何开区间，称为点的邻域,点

的右邻域：点

的左邻域：3.函数的概念如果按照一定定义1.1

设

和

是两个非空实数集，的对应法则使得对于集合

中的任何一个数

，在集合中都有唯一确定的数

与之对应，那么就称记作为定义在上的一个函数，（1）即定义域和对应法则.因确定函数有两个基本要素，就看它们的定义域和对应法则是否此两个函数是否相同，一样.几点说明：数集D称为函数的定义域，记为

，当D时，称为函数在点处的函数值.函数值全体组成的数集称为函数的值域，记为：即：（2）函数的表示法有公式法（解析法）、列表法、图像法等..我们用得最多的是公式法，即用数学运算式子表示函数.例如，例如，解不等式得

所以函数的定义域为：

有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则，称这种函数为分段函数.解例1.1.1

求函数的定义域.解要使函数有意义，必有且xyO-1112

(1)绝对值函数如图所示下面给出一些今后常用的分段函数。值域为的定义域为(2)符号函数1-1xyo

定义域为值域为如图所示12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo(3)取整函数该函数的定义域值等等，域如图所示

，其中表示不超过的最大整数。如：(4)最大最小值函数yxoyxo1.1.2函数的几种属性函数的性质主要有奇偶性、单调性、有界性和周期性等.1.奇偶性，恒有，则称为奇函数；如果对于任一恒有，则称为偶函数.注意在上既不是奇函数也不是偶函数，这样的函数称为非奇非偶函数.设函数的定义域关于原点对称，如果对于任一在平面直角坐标系中，奇函数的图形关于原点中心对称；偶函数的图形关于轴对称.

例1.1.2讨论函数的奇偶性.解函数的定义域为，关于原点对称，因为所以，

是奇函数.2.单调性都有单调增加区间和单调减少区间统称为单调区间.都有设函数的定义域为，区间

，如果对于区间

内的任意两点，，当时，则称函数在上单调增加，此时，区间称为单调增加区间；

如果对于区间内的任意两点，，当时，则称函数在上单调减少，此时，区间称为单调减少区间。3.有界性M-Myxoy=f(x)XM-MyxoX有界图示无界图示设函数的定义域为，

数集.如果存

在正数，使对任一，有,则称函数在

上是有界的.

如函数在开区间(0

1)上是无界的.使所以函数在(0

1)上无界.如果这样的不存在，则称函数

在上是无界的，即如果对任何正数，总存在则函数在

上是无界的.这是因为，对于任一>1总有4.周期性则称为周期函数，称为的周期.

从定义看周期函数的周期不唯一.通常我们说的周期指的是最小正周期.

使得对于任一，，有注意是最小正周期为如余弦函数的周期函数；正切函数是最小正周期为的周期函数.设函

的定义域为,如果存在一个正数1.反函数1.1.3反函数与复合函数记为：

函数的自变量与因变量的关系往往是相对的.在关系式中，我们不仅要研究随的变化情况，有时也要研究随的变化情况.定义设函数对于值域中的每一个值,

有且仅有一个值,则按此对应法则得到一个定义在我们称此函数为的反函数.上的函数，

反函数定义的直观解释：

直接函数与反函数的图形关于直线

对称.习惯用

表示自变量，

表示函数，反函数可表示为：2.函数的反函数按习惯记法可改为：有反函数意味着是与之间的一

一映射.注意

1.从定义可知，并非任何函数都有反函数.函数如

求

的反函数.由

得所以,的反函数是

定理1.1

(反函数存在定理)单调函数必存在单调的反函数，且具有相同的单调性.例如在单调递增，其反函数在也是单调递增；函数在单调递减，其反函数也是单调递减.

的反函数.其定义域为：

xyO-11-11

值域为：正弦函数与反正弦函数图像如图所示：是正弦函数又例如反正弦函数2.复合函数

设函数的定义域而函数在D上有定义，且则由上式确定的函数记作：它的定义域为D，变量u称为中间变量.设构成的复合函数.我们称之为由函数与函数两个函数的复合也可推广到多个函数复合的情形.例如，可看成由复合而成.在以后的学习中需要把复合函数分解为简单函数，即分到不能再分为止.将下列函数分解为几个简单函数．例1.1.3(1)；(2)解将复合函数层层分解(1)可以分解为(2)可以分解为1.基本初等函数在中学我们已学过以下几类函数：1.1.4初等函数指数函数：对数函数：特别当时

记为三角函数：常数函数：幂函数：(是常数)反三角函数：

我们把以上函数统称为基本初等函数.上述把复合函数分解成为简单函数，即分解为基本初等函数，或常数和基本初等函数经过四则运算后所成的函数.可以分解为例如2.初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等是初等函数.

函数.绝对值函数也可以表示是为了更加明确函数关系而已.例如，对应关系的，有些分段函数也可以不分段而表示出来，

分段只分段函数是按照定义域的不同子集用不同表达式来表示1.1.5建立函数关系式举例解当时，所以函数关系式为：

某火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过30千克时，按基本运费每千克以1元计算，当超过30千克时，超重部分按每千克2元收费。试确定行李费y(元)与重量x(千克)之间的函数关