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无穷小的比较定义1.11设是同一极限过程中的两个无穷小量：(1)如果高阶的无穷小,,则称是比(3)如果为同阶无穷小.(2)如果,则称是比低阶的无穷小.,则称与记作.所以因为例如，因为特别地，当常数时，称与为等价无穷小，记作所以例1.6.1当时，将与进行比较．所以，

是和同阶的无穷小量.解

等价无穷小在极限计算中有重要作用，可以简化某些极限的计算，有下面的定理.存在，所以,又因为证明因为，，定理1.14设

若存在，则，

上述定理表明，

在求极限的乘除运算中，无穷小量因子可用其等价无穷小量替换.例1.6.2

证明当时(1)；(2)当,有(3)

；(4)所以

,当时,

(1)

令，则证明同理可证

(2)所以，当时,(3)，所以，当时，同时，从上述步骤里可得,变换字母，也有(4)==所以，当时，常用的等价无穷小量有下列几种：当时，（α∈R）．例1.6.4解解当时例1.6.3求.求.

解故

当时,解当时，例1.6.6求

例1.6.5求例1.6.7解时，,所以

=原式小

结1.高阶无穷小,低阶无穷小，等价无穷小的定义3.

等价无穷

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