高等数学（第三版）课件：曲面与空间曲线

曲面与空间曲线一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、几种常见的二次曲面四、空间曲线

一、曲面方程的概念

定义:如果曲面上每一点的坐标都满足方程而不在曲面上的点的坐标都不满足这个方程,则称方程为曲面的方程,而称曲面为此方程的图形.图9.23图9.24例1

建立球心在点,半径为的球面方程.解设是球面上的任一点,则而所以

这就是球心在点,半径为的球面方程.

当时,得球心在原点,半径为的球面方程为

柱面:直线沿定曲线平行移动所形成的曲面称为柱面.定曲线称为柱面的准线,动直线称为柱面的母线.例2

建立母线平行于轴的柱面方程.图9.26解设准线是面上的一条曲线,

是柱面上的任意一点.过点的母线与面的交点一定在准线上,点的坐标为,不论点的竖坐标取何值,它的横坐标和纵坐标都满足方程

,因此所求柱面方程为

在空间直角坐标系中,方程表示以面上的曲线为准线,母线平行于轴的柱面.

类似地,方程表示以面上的曲线为准线,母线平行于轴的柱面.

方程表示以面上的曲线为准线,母线平行于轴的柱面.

用面和面去截曲面,其截痕为

它们都是双曲线.

也表示单叶双曲面,中心轴分别是轴、轴.

二、旋转曲面

旋转曲面:平面曲线绕同一平面上定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面.定直线称为旋转轴.图9.31例3

建立面上一条曲线绕轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程.因为所以又因为在曲线上,所以解设为旋转曲面上任一点,过点作平面垂直于轴,交轴于点交曲线于点则所以旋转曲面方程为

同理,曲线绕轴旋转的旋转曲面方程为

面上的曲线绕轴旋转的旋转曲面方程为绕轴旋转的旋转曲面方程为

面上的曲线绕轴旋转的旋转曲面方程为绕轴旋转的旋转曲面方程为例4

将坐标面上的直线绕轴旋转一周,试求所得旋转曲面方程.解将保持不变,换成得即所求旋转曲面方程为图9.32

由上时表示的曲面称为圆锥面.点称为圆锥的顶点.

三、几种常见的曲面

二次曲面:在空间直角坐标系中,若是二次方程,则它的图形称为二次曲面.

截痕法:用一系列平行于坐标面的平面去截曲面,求得一系列的交线,对这些交线进行分析从而把握曲面的轮廓特征,这种方法称为截痕法.1.椭球面

用三个坐标面分别去截椭球面,交线为:图9.33这些交线都是椭圆.

用平行于面的平面截椭球面,交线为是平面上的椭圆.

用平行其它两个坐标面的平面去截椭球面,分析的结果类似.

2.单叶双曲面

用三个坐标面截曲面,所得截线分别为

图9.343.双叶双曲面

图9.35用和面截曲面,所得截线分别为它们都是以轴为实轴,虚轴分别为轴和轴的双曲线.

用平行于面的平面截曲面,得当时,其截痕是一椭圆;

当时,其截痕缩为一点和;当时,没有图形.也表示双叶双曲面.4.椭圆抛物面图9.36

用和面截曲面,所得截线分别为它们都是开口向上的抛物线.

用平面截曲面,得当时,没有图形;当时,相交于一点;当时,所得截线为

5.双曲抛物面

用三个坐标面截曲面,所得截线分别为

它们分别表示两条相交直线、开口向上的抛物线和开口向下的抛物线.图9.37

用平行于和面的平面和截曲面,所得截线分别为

用平行于面的平面截曲面,所得截线为

四、空间曲线1.空间曲线的一般方程例5

下列方程组表示什么曲线？(1)(2)解

(1)是球心在原点,半径为5的球面.是平行于面的平面,它们的交线是在平面上的圆(2)方程表示球心在坐标原点,半径为的上半球面;方程表示母线平行于轴的圆柱面,方程组表示上半球面与圆柱面的交线.

图9.392.空间曲线的参数方程

(为参数)例6

设空间一动点在圆柱面上以角速度绕轴旋转,同时又以线速度沿平行于轴的正方向上升(其中都是常数),则动点的轨迹叫做螺旋线,试求其参数方程.则动点的运动方程即螺旋线的参数方程为:图9.40如果令,以为参数,则螺旋线的参数方程为其中．

解取时间为参数,设时,动点在处,经过时间,动点由运动到3.空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线的一般方程为消去,得

称为曲线关于面的投影柱面.

它与面的交线就是空间曲线在面上