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文档简介

二重积分的应用7.3.1空间曲面的面积7.3.3转动惯量7.3.2质心预备知识：微元法的思想和步骤；二重积分计算方法定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：1.所要计算的某个量对于闭区域具有可加性(即:当闭区域分成许多小闭区域时,所求量相应地分成许多部分量,且2.在内任取一个直径充分小的小闭区域时,相应的部分量可近似地表示为,其中,称为所求量的元素,并记作3.所求量可表示成积分形式7.3.1空间曲面的面积图7-17设曲面S由方程给出，

为曲面S在

面上的投影区域，函数.在

上具有连续偏导数

和,计算曲面的面积A.图7-17如图7-17，在闭区域上任取一直径很小的闭区域(它的面积也记作)，在内取一点，对应着曲面S上一点，曲面S在点M处的切平面设为T，以小区域的边界为准线作母线平行于z轴的柱面,该柱面在曲面S上截下一小片曲面,在切平面T上截下一小片平面,由于的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积.曲面在点处的法线向量(指向朝上的那个)为它与z轴正向所成夹角的方向余弦为而所以这就是曲面的面积元素,故分析合理确定被积函数，结合对称性可解.解上半球面方程为例7.3.1求半径为R的球的表面积.所以7.3.2质心

平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为设有一平面薄片，占有

面上的闭区域,在点

处的面密度为

，假定

在

上连续.

在闭区域D上任取一点

及包含点

的一直径很小的闭区域(其面积也记为),则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

现在要求该薄片的质心坐标.特别地，如果平面薄片是均匀的，即面密度是常数，则平面薄片的质心(称为形心)为于是设平面薄片的质心坐标为，平面薄片的质量为M，则有之间的均匀薄片的质心.例7.3.2求位于两圆和，再计算薄片的质量M，代入公式即可.根据公式，计算平面薄片对x轴和y轴的力矩和解分析因为闭区域D对称于y轴，所以质心必位于y轴上，于是因为所以所求形心是7.3.3转动惯量

设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域D,在点P(x,y)处片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量.在闭区域D上任取一点P(x,y),及包含点P(x,y)的一直径很（其面积也记为小的闭区域），则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为的面密度为,假定

在D上连续.现在要求该薄解分析合理设置坐标系，以薄片的直径为轴，计算薄片对轴的转动惯量.薄片所占闭区域D可表示为例7.3.3求半径为

的均匀半圆薄片(面密度为常量)

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