高等数学（第三版）课件：极限与连续

极限与连续

第一节极限的概念一、数列的极限二、函数的极限三、极限的性质四、无穷小量与无穷大量一般地,按照确定的次序排列起来的无穷多个时，称为一个数列，简记为1.数列的概念其中

称为数列的通项或一般项．

数如

,即

当=

无限趋近于

．一、数列的极限2.数列的极限定义1对于数列，如果当无限增大时，通项无限趋近于某个确定的常数,则称常数为数列的极限，或称数列收敛于或(没有极限,我们称数列是发散的．,记为）．若数列单调递增的数列单调递减的数列有界数列数列对于每一个正整数都有≤,数列对于每一个正整数都有≥，

对于数列存在一个固定的常数得对于其每一项,都有≤,使结论:单调有界数列必有极限.例1考察下列数列的极限：（2）（1）;（2）解（1）二、函数的极限1．当时,函数的极限2．当时,函数的极限无限接近于观察函数当

时的变化趋势1．当时,函数的极限当

时,此时称当为函数,则称常数无限增大时,函数定义

若自变量某个确定的常数当时的极限，记为或．无限趋近于时函数极限的定义,可仿照上面定义给出.时函数,且当的极限也为时,函数,记为或如果当的极限为时,函数的极限为2．当时,函数的极限观察函数当

时的变化趋势无限接近于当

时,则称可以除的某邻域内有定义(定义设函数的函数值无限趋近于某个确定的常数在外）,如果当自变量趋近于()时,函数为函数当或．时的极限,记为往往只需要考虑点的一侧处函数值的大小无关.

注意:(1)在时的极限是否存在,与处有无定义及在点是以任意方式趋近于从时,函数的变化趋向．

(2)的,但在有些问题中,在点于趋近（记为时的左极限,以的左侧趋近于如果当为函数从）时为极限,则称当）．记为或（为为极限,则称（记为从以当时的右极限,记为或

趋近于的右侧)时如果当．定理２此定理常用来判断分段函数在分段点处的极限是否存在．例2判断函数在解函数在处的左、右极限因为,所以由定理２可知存在．点处是否有极限．无限趋近于某一常数函数极限的定义可以统一于如下定义．，则称为变量简记为

或．定义如果变量在自变量的某一变化过程中，的极限，三、极限的性质定理(唯一性定理)如果函数有极限，则其极限是唯一的．在某一变化过程中的某邻域,使得函数当则必存在定理(有界性定理)若函数时极限存在,在该邻域内有界．定理(数列极限存在准则)单调有界数列必有极限．的某邻域内的一切定理(两边夹定理)如果对于(可以除外),有≤≤,且．,则定义极限为零的变量称为无穷小量,简称无穷小.1．无穷小量例如:是当时的无穷小量是当是当时的无穷小量时的无穷小量四、无穷小量与无穷大量注意:1.无穷小量是个变量,而不是数;2.一个函数是无穷小量,必须指明自变量的变化趋势;3.零是唯一可称为无穷小量的数。时,函数为无穷小

但时，

函数不是无穷小

如:2．无穷小的性质定理在自变量的同一变化过程中（1）有限个无穷小的代数和仍是无穷小；（2）有限个无穷小的乘积仍是无穷小；（3）有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小，特别地，常数与无穷小的乘积仍是无穷小．为无穷小,又因为为有界量,因此当例3求解因为当时,≤时,为无穷小量，所以的某个变化过程中，若函数值的定义在自变量无限增大,则称无穷大量，简称无穷大．3．无穷大量绝对值为在此变化过程中的如时,函数为无穷大量

注意:任何常数都不是无穷大定理

在自变量的同一变化过程中,若则为无穷小;反之,若为无穷小且,则为无穷大．4．无穷小与无穷大的关系为无穷大,第二节极限的运算

一、极限的运算法则二、两个重要极限三、无穷小的比较一、极限的运算法则定理若,则（3）（1）（2）,则有(若)常数因子可以提到极限记号外面例1求解原式例2求解原式例3求解原式例4求

解原式其中．的极限，有下面结论：一般地,对于有理函数（即两个多项式函数的商）例5下列做法是否正确?(1)解错.正确的为(2)解错.正确的为二、两个重要极限1.此极限也可记为：（式中□代表同一个变量）例６求解（令,当时,）例8求解例7求解2．这里的是一个无理数2.71828182845904…，此极限也可记为（式中□代表同一变量）例9求解1、问题的提出考察下列极限，例如，当时都是无穷小而，，没极限这一事实反映了同一过程中如时各个的快慢程度.小趋于无穷三、无穷小的比较为比为等价无穷小,记作高阶的无穷小,记作与与定义设（1）若,则称（2）若，为常数,则称（3）若,则称与．是自变量的同一变化过程中的两个无穷小,则在所论过程中：;为同阶无穷小;2、无穷小的比较是比例如:当时,高阶的无穷小当时,与是同阶无穷小))((阶无穷小是关于当时,的()当时,与是等价无穷小(令,则,当时,,于是)常见的等价无穷小:当时存在,则3、无穷小的等价代换定理设在自变量的同一变化过程中，且．无穷小的等价代换只能代换乘积因子注意:在乘积的极限运算中,等价的无穷小因子可以相互代换.，例10求解例11求解第三节函数的连续性

一、函数的连续性概念二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质

处有增量称为函数处连续，1．函数的连续性概念定义1设函数时,相应地函数有增量.如果当自变量增量也趋于零,即在点在的某邻域内有定义,当自变量在点趋于零时,函数增量,则称函数的连续点．

一、函数的连续性概念处的函数值,即的某邻域内有定义,如果若记,则,且当,故定义1又可叙述为时,处连续．定义2设函数在极限存在,且等于函数在,则称函数在点例1讨论函数在的连续性.证又,由定义可知,函数在处连续.在开区间（）内连续．有定义.在点注意是否存在或值为多少与无关,而处连续,首先必须在点2.如果函数在（）内每一点都连续,则称1.3.在处左(右)连续:函数处连续,必须同时满足以下三个条件：的某邻域内有定义；2．函数的间断点及其类型在点在上述三个条件中只要有一条不满足,则称函数在点处间断,称为函数的间断点．(1)(2)存在；(3)如果是函数的间断点,可将其分成两类:在点在点第一类间断点处的左右极限至少有处的左右极限存在;第二类间断点一个不存在.可去间断点无穷间断点振荡间断点其它其它例2考察函数在处的连续性.解为函数的第一类间断点,且为可去间断点.例3如图,考察函数解该函数在点处没有定义,所以函数在处间断;又因为不存在，趋于无穷，所以是函数的第二类间断点,在处的连续性.,极限且为无穷间断点.例4考察函数解该函数在所以函数在处间断,又因为当时,极限不存在,函数值在1与－1之间无是类间断点,且为振荡间断点.处没有定义,在处的连续性.限次地振荡,所以的第二、处连续．处连续,那么二、初等函数的连续性定理1（连续函数的四则运算）如果在点,,均也在

连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数．基本初等函数在其定义域内连续．定理2（反函数的连续性）连续函数的反函数在其对应区间上也是连续函数．例如在内连续,故在其定义域内连续.处连续,即定理3（复合函数的连续性）设函数在点处连续,且,又函数在函数在点处连续,则复合由连续函数复合而成的复合函数仍是连续函数．由以上三个定理可知：一切初等函数在其有定义的区间内是连续的．计算初等函数在其定义区间内某点只要计算在点处的函数值即可．处的极限,也没最小值;函数如函数三、闭区间上连续函数的性质定理4（最值定理）闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值．在在闭区间上有间断点最大值和最小值．内既没有最大值，,它在此区间上没有定理5（介值定理）设函数在闭区间续,